مثال أخر لاختبار نسبة المجتمع

مثال أخر لاختبار نسبة المجتمع

لدى بروفسور احصائي انطباع بأن مكتبة الجامعة اشترت في العام الماضي كتب احصائية جديدة بأقل

نسبة عن السنوات الماضية , خلال السنوات الماضية المقدار النسبي للكتب الاحصائية وسط المشتريات الجديدة

كانت أكثر من 10 بالمئة, سأل أحد مساعديه للتحقق فيما اذا هناك تغير لصالح الأقسام الأخرى , بالنيابة

عن طلابه يريد تأمين أكبر عدد ممكن من الكتب الجديدة , يسأل مساعده لتصغير خطر عدم الشكوى لرئيس

المكتبة , عدم نقصان نسبة الكتب الاحصائية , يقرر المساعد أخذ عينة من 25 كتاب مأخوذة من ملف يحتوي المشتريات الجديدة على مدى الأشهر 12 الأخيرة .

يريد معرفة هل هذه الكتب احصائية ويقسم المتغير العشوائي الموضوع للمخرجات احصاء غير احصاء

بالطبع اذا اعتبرت المشتريات كنتيجة لعملية صنع القرار التي تقوم بها المكتبات , بالنسبة للاحصائيون الذين يعتمدون على العينة لأنهم لا يستطيعون الحصول على جميع المعلومات ذات الصلة ,

من مجتمع الكتب الاحصائية , يريد المساعد الاستدلال على مجتمع الكتب المشتراة حديثا , باستعمال الاختبار

الاحصائي ليسمح لانحرافات النسبة في العينة عن النسبة في المجتمع , يريد التحقق اذا النسبة تسقط تحت

المتوسط 10 بالمئة سنختبر نسبة المجتمع $\pi$ ونختار مستوى الدلالة المعياري $\alpha =0,05$

الفرضيات

يريد المساعد التحقق اذا النسبة تنخفض مادون 0,1 لذلك يطبق الاختبار الأحادي الجانب نتذكر بأن البروفسور يريد تصغير احتمال عدم الكشف بأن النسبة تنخفض لما دون $\pi _{0}=0,1$

لذلك يتجه للاختبار الأحادي الجانب الأيمن بمعنى: نعرض ادعاء البروفسور كفرضية صفرية أصلا في عدم رفضها

$H_{0}:\;\pi \leq \pi _{0}=0,1\quad H_{1}:\;\pi >\pi _{0}=0,1$

يتولى المساعد التحقيق في خصائص هذا الاختبار لدينا الموقف ما يدعى خطأ النوع الأول

$'H_{1}'|H_{0}=$ " لن تنخفض نسبة الكتب الاحصائية" | تنخفض النسبة .

يعطي الاحتمال الأكبر لهذا الموقف $P\left('H_{1}'|H_{0}\right)$ بواسطة مستوى الدلالة $\alpha$, والتي توضع مساوية الى $\alpha =0,05$

اذا الفرضية الصفرية مقبولة عندئذ يظهر خطأ النوع الثاني .

$'H_{0}'|H_{1}=$ "تنخفض نسبة الكتب الاحصائية " | لن تنخفض النسبة.

احتمال الحدوث هو $P\left('H_{0}'|H_{1}\right)=\beta$ غير معلوم لأن النسبة الحقيقية $\pi$ غير معلومة.

الاختبار الاحصائي وتوزيعه , مجالات القرار

سيخدم التقدير $X$: عدد الكتب الاحصائية في العينة من حجم 25 كتاب, $V$ الاختبار الاحصائي تحت الفرضية $H_{0}$

$V=X$ له التوزيع الثنائي مع العناصر $B(25;\;0,1)$

يدعم العدد العالي من الكتب الاحصائية في العينة الفرضية البديلة حيث نسبة الكتب الاحصائية

القيمة الحرجة $c$ هي القيمة الفعلية الى $X$ حيث $F_{B}\left(c\right)$ تساوي أو تتجاوز $1-\alpha =0,95$

يتطلب $F_{B}\left(x_{c}-1\right)<1-\alpha =0,95$ و $F_{B}\left(x_{c}\right)\geq 1-\alpha =0,95$.

في جدول تابع التوزيع التجميعي الى $B(25;\;0,1)$ سنجد $c=5$.

مجال الرفض للفرضية $H_{0}$

$\left\{v|v>5\right\}=\left\{6,7,\ldots ,25\right\}$

مع

$P\left(V>5|0,1\right)=0,0334=\alpha _{exakt}$.

يعطى مجال القبول للفرضية $H_{0}$ بواسطة:

$\left\{v|v\leq 5\right\}=\left\{0,1,2,3,4,5\right\}$

مع

$P\left(V\leq 5|0,1\right)=0,9666$.

العينة وحساب الاختبار الاحصائي

عينة الكتب 25 المختارة من قائمة السنوات الماضية المشتريات الجديدة والمصنفة لكتب احصائية كتب غير احصائية , الكمية الاجمالية للكتب الجديدة كبيرة بشكل كافي عن القيمة النظرية للعينة.

نسحب العينة العشوائية البسيطة بمعنى: تنفذ العينات بدون اعادة , مقدار الكتب الاحصائية في العينة $x=3$, قيمة الاختبار الاحصائية الفعلية $v$ .

قرار الاختبار والتعاريف

لما $v=x=3$ تقع في مجال القبول للفرضية $H_{0}$

لن نرفض الفرضية الصفرية , على قاعدة العينة العشوائية من الحجم $n=25$ ومستوى الدلالة $\alpha =0,05$ , لايستطيع المساعد التمييز احصائيا أن نسبة الكتب الاحصائية تبقى فوق 10 بالمئة , تعني نتيجة هذا الاختبار هذا بأن الشكوى للمكتبة تبدو مبررة.

القوة

نعطي عناصر اختبارنا $\pi _{0}=0,1,\;n=25,\;\alpha =0,05$ و $c=5$

ما هو احتمال قبول الفرضية الصفرية اذا النسبة الحقيقية للكتب الاحصائية هي $\pi =0,2$؟ ذلك يعني نريد حساب احتمال خطأ النوع الثاني الذي يعطي العنصر المحدد لمجموعة العناصر المرتبطة بالفرضية البديلة $\pi =0,2$

$\beta \left(\pi =0,2\right)=P\left('H_{0}'|H_{1}\right)=P\left(V=X\in \;{\mbox{ }}H_{0}|\pi =0,2\right)=P\left(V\leq 5|\pi =0,2\right)$

في جدول التوزيع الثنائي التجميعي $B(25;0,2)$, نجد هذا الاحتمال ليكون 0,6167, اذا

ازدادت النسبة الحقيقية الى 20 بالمئة , توجد فرصة 61,67 بالمئة لعدم اكتشاف دلالة الانحراف عن النسبة النظرية 10 بالمئة

وهذا الاحتمال للشكوى غير المبررة الصادرة عن البروفسور باعطاء النسبة لترتفع الى 0,2

احتمال عمل خطأ النوع الثاني للنسب الحقيقية البديلة $\pi$ , يمكن حسابها بواسطة منحنى القوة

تلخص مستويات $G(\pi )$ و $1-G(\pi )$ , للقيم المتنوعة من $\pi$ في الجدول التالي:

$\pi$	الفرضية الصحيحة	$G\left(\pi \right)$	$1-G\left(\pi \right)$
$0$	$H_{0}$	$0=\alpha$	$1=1-\alpha$
$0,05$	$H_{0}$	$0,0012=\alpha$	0,9988
$0,1$	$H_{0}$	$0,0334=\alpha _{a}$	$0,9666=1-\alpha _{a}$
$0,15$	$H_{1}$	$0,1615=1-\beta$	$0,8385=\beta$
$0,20$	$H_{1}$	$0,3833=1-\beta$	$0,6167=\beta$
$0,25$	$H_{1}$	$0,6217=1-\beta$	$0,3783=\beta$
$0,30$	$H_{1}$	$0,8065=1-\beta$	$0,1935=\beta$
$0,35$	$H_{1}$	$0,9174=1-\beta$	$0,0826=\beta$
$0,40$	$H_{1}$	$0,9706=1-\beta$	$0,0294=\beta$
$0,45$	$H_{1}$	$0,9914=1-\beta$	$0,0086=\beta$
$0,50$	$H_{1}$	$0,9980=1-\beta$	$0,0020=\beta$
$0,60$	$H_{1}$	$0,9999=1-\beta$	$0,0001=\beta$
$0,70$	$H_{1}$	$1=1-\beta$	$0=\beta$

على سبيل المثال: اذا النسبة الحقيقية للكتب الاحصائية هي : $\pi =0$

لا تحتوي العينة أي كتب احصائية وسنتوقع $x=0$ ولن نرفض الفرضية الصفرية.

رفض الفرضية الصفرية هو حادث غير ممكن مع الاحتمال المتعلق والمساوي للصفر. القوة هي الاحتمال الشرطي لرفض الفرضية الصفرية والتي تعطي المقدار النسبي المساوي للصفر:

$G\left(\pi =0\right)=P\left(V=X\in {\mbox{ }}H_{0}|\pi =0\right)=P\left('H_{1}'|0\right)=0$

من جهة أخرى , تكون النسبة الحقيقية للكتب الاحصائية $\pi =0,35$ , تحسب القوة كالتالي:

$G\left(0,35\right)=P\left(V>5|\pi =0,35\right)=1-P\left(V\leq 5|\pi =0,35\right)=1-0,0826=0,9174$

حيث $P\left(V\leq 5|\pi =0,35\right)$ تشاهد في جدول تابع التوزيع التجميعي كقيمة الى $B(25;0,35)$ , لأجل $x_{c}=5$

$G(\pi =0,35)$هو احتمال رفض الفرضية الصفرية بشكل صحيح $P\left('H_{1}'|H_{1}\right)=1-\beta$

احتمالات رفض الفرضيات الصفرية وعدم رفضها يجب أن تجمع للواحد لأي قيمة عنصر حقيقية معطاة ضمن

المجال المحدد بواسطة الفرضية البديلة:

لأجل النسبة الحقيقية $\pi =0,35$, تنتج صيغة العينة المقادير لعمل خطأ النوع الثاني , يشار للاحتمال بواسطة لهذا نكتب :

أو

لما قيمة القوة عند النقطة $\pi =0,35$ , نحسب احتمال عمل خطأ النوع الثاني كالتالي:

اذا النسبة الحقيقية للكتب الاحصائية هي 35 بالمئة , 8.26 بالمئة لكل العينات من الحجم $n=25$ ستقود لقبول الفرضية الصفرية.

بمعنى , لن نكتشف الاختلاف الدلالي ما بين $\pi =0,35$ و $\pi _{0}=0,10$ .

يبين الشكل التالي منحنى القوة للاختبار الأحادي الجانب الأيمن (حيث ناقشنا): $\pi _{0}=0,1,\;n=25,\;\alpha =0,05$ و $c=5$