اختبار استقلال كاي مربع

اختبار استقلال كاي مربع,المثال الداعم لاستعمال اختبار كاي مربع للاستقلال,مثال أخر: اختبار كاي مربع للاستقلال

9.6 اختبار استقلال كاي مربع

يسمح لنا اختبار كاي مربع للاستقلال لاختبار الاستقلال الاحصائي . نفرض المتغيرين العشوائيين $X$ و $Y$ المشاهدة على العناصر الاحصائية ($i=1,\ldots ,n$) .

الأزواج المشاهدة مستقلة (العينة العشوائية البسيطة) اذا $X$ و $Y$ متغيرات عشوائية منقطعة , تشاهد بالقيم الحقيقية $x_{k}(k=1,\ldots ,K)$ على التوالي $y_{j},\;(j=1,\ldots ,J)$ اذا $X$ و $Y$ متغيرات مستمرة.

يقسم فضاء العينة لفئات منفصلة (مجالات) في هذه الحالة $x_{k},\;(k=1,\ldots ,K)$ و $y_{j},\;(j=1,\ldots ,J)$

تشير للقيم الممثلة ضمن الفئات . (عادة مراكز الفئات) و $J$ و $K$ تشير للعدد الاجمالي للفئات.

التمثيل المناسب للتوزيع التكراري المشترك المشاهد هو الجدول التكراري الثنائي البعد .

الجدول التكراري الثنائي البعد:

$x\quad y$		$y_{1}$	$\cdots$	$y_{j}$	$\cdots$	$y_{J}$	RV $x$
$x_{1}$		$h_{11}$	$\cdots$	$h_{1j}$	$\cdots$	$h_{1J}$	$h_{1\bullet }$
$\vdots$		$\vdots$	$\cdots$	$\vdots$	$\cdots$	$\vdots$	$\vdots$
$x_{k}$		$h_{k1}$	$\cdots$	$h_{kj}$	$\cdots$	$h_{kJ}$	$h_{k\bullet }$
$\vdots$		$\vdots$	$\cdots$	$\vdots$	$\cdots$	$\vdots$	$\vdots$
$x_{K}$		$h_{K1}$	$\cdots$	$h_{Kj}$	$\cdots$	$h_{KJ}$	$h_{K\bullet }$
RV $x$		$h_{\bullet 1}$	$\cdots$	$h_{\bullet j}$	$cdots$	$h_{\bullet J}$	$h_{\bullet \bullet }=n$

هنا $\,h_{kj}$ تشير للتكرار المطلق للزوج المشاهد $\left(x_{k},y_{j}\right)$, بمعنى: $X$ تفرض $x_{k}$ أو القيمة من فئة $k$ و $Y$ تفرض $y_{j}$ أو القيمة من فئة $j$

$h_{kj}=h\left(\left\{X=x_{k}\right\}\cap \left\{Y=y_{j}\right\}\right)\;;\quad k=1,\ldots ,K,\quad j=1,\ldots ,J$

يحتوي العمود الأخير التوزيع الهامشي المشاهد الى $X$ المكون للتكرارات الهامشية المطلقة $h_{k\bullet }=h\left(X=x_{k}\right)\;;k=1,\ldots ,K$.

نشير للتكرارات مع $X$ شوهد في $x_{k}$(مركز الفئة) المتعلق بقيمة $Y$

نجد في السطر الأخير التوزيع الهامشي المشاهد الى $Y$ المعطى بواسطة التكرارات الهامشية المطلقة $h_{j\bullet }=h\left(Y=y_{j}\right)\;;j=1,\ldots ,J$

تكرارات $Y$ مشاهدة في $y_{j}$ تبعا الى $X$.

تستخدم التعريفات التالية لبناء الجدول التكراري الثنائي البعد:

$h_{k\bullet }=\sum _{j=1}^{J}h_{kj}\;;\quad k=1,\ldots ,K;$

$h_{\bullet j}=\sum _{k=1}^{K}h_{kj}\;;\quad j=1,\ldots ,J;$

$h_{\bullet \bullet }=\sum _{k=1}^{K}h_{k\bullet }=\sum _{j=1}^{J}h_{\bullet j}=\sum _{k=1}^{K}\sum _{j=1}^{J}h_{kj}=n$.

الفرضيات

تفرض الفرضية الصفرية في اختبار كاي مربع للاستقلال أن $X$ و $Y$ مستقلة احصائيا, تنفي الفرضية البديلة هذا.

$H_{0}$:

$X$ و $Y$ مستقلين احصائيا مقابل :

$H_{1}$:

$X$ و $Y$ ليسا مستقلين احصائيا .

اذا الفرضية الصفرية صحيحة , تعطى قاعدة الضرب للحوادث المستقلة:

$P\left(X=x_{k}\right\}\cap \left\{Y=y_{j}\right)=P\left(X=x_{k}\right)\cdot P\left(Y=y_{j}\right)=p_{k\bullet }\cdot p_{\bullet j}=p_{kj}$

في الصيغة فوق:

$p_{kj}$ تشير لاحتمال $X$ بفرض $x_{k}$ و $Y$ بفرض $y_{j}$ .

$p_{k\bullet }$هو احتمال $X$ المشاهد في $x_{k}$ على التوالي لفئة $k$(الاحتمالات الهامشية الى $X$ )

$p_{\bullet j}$ احتمال $Y$ بفرض القيمة $Y_{i}$ أو المشاهدة في فئة $j$ (الاحتمالات الهامشية الى $Y$

لهذا سيكتب زوج الفرضيات:

H

مقابل

H

لأجل زوج واحد على الأقل.

بشكل عام مستوى الدلالة $\alpha$ وحجم العينة $n$ يكونان ثابتان قبل تطبيق الاختبار.

الاختبار الاحصائي وتوزيعه , مجالات القرار

لما يبنى الاختبار على المقارنة بين التكرارات المطلقة المشاهدة والتكرارات المطلقة المتوقعة تحت فرض الفرضية الصفرية , يبنى الاختبار الاحصائي حول التكرارات المطلقة .

كعينة مشاهدة تلخص في الجدول التقاطعي في عبارات التكرارات المطلقة المشتركة $h_{kj}\;(k=1,\ldots ,K\;j=1,\ldots J)$.

هذه المقادير هي مخرجات للتجربة العشوائية , نشير للمتغيرات العشوائية بواسطة $H_{kj}$.

اذا الفرضية الصفرية صحيحة , التكرارات المشتركة المتوقعة هي $e_{kj}=n\cdot p_{k\bullet }\cdot p_{\bullet j}$

الاحتمالات المشتركة $p_{kj}$ و الاحتمالات الهامشية $p_{k\bullet }$ و $p_{\bullet j}$ مجهولة ويجب تقديرها من العينة.

المقدرات غير المتحيزة والفعالة لأجل $p_{k\bullet }$ و $p_{\bullet j}$

هي التكرارات الهامشية النسبية $f_{k\bullet }=h_{k\bullet }/n$ و $f_{\bullet j}=h_{\bullet j}/n$.

هذا يتضمن بأننا نفرض التكرارات الهامشية الثابتة في الجدول التقاطعي الثنائي البعد.

تعطى تقديراتنا للتكرارات المطلقة المشتركة المتوقعة تحت الفرضية $H_{0}$ بواسطة:

${\widehat {e}}_{kj}=n\cdot f_{k\bullet }\cdot f_{\bullet j}=n\cdot {\frac {h_{k\bullet }}{n}}\cdot {\frac {h_{\bullet j}}{n}}={\frac {h_{k\bullet }\cdot h_{\bullet j}}{n}}$

المقارنة بين التكرارات المطلقة المشتركة في العينة والمتوقعة تحت فرض الفرضية الصفرية تبنى على الفروق $H_{kj}-{\widehat {e}}_{kj}\;(k=1,\ldots ,K;\;j=1,\ldots J)$

الاختبار الاحصائي لهذه الفروق هو مجموع:

$V=\sum _{k=1}^{K}\sum _{j=1}^{J}{\frac {\left(H_{kj}-{\widehat {e}}_{kj}\right)^{2}}{{\widehat {e}}_{kj}}}$

تحت الفرضية $H_{0}$ يقرب الاختبار الاحصائي $V$ لتوزيع كاي مربع مع درجة الحرية $f=(K-1)(J-1)$

يكون التقريب كافي اذا ${\widehat {e}}_{kj}\geq 5$ لأجل أزواج $k,\;j$ .

عندها هذه الشروط غير كافية , نضيف القيم الفعلية (أو الفئات) لنركب مجموعات أكبر من المشاهدات الممكنة.

تشير $K$ و $J$ لأعداد الفئات في كلا المتغيرين.

القيمة الحرجة $c$ عند $P(V\leq c)=1-\alpha$ , تشاهد في جدول تابع التوزيع لكاي مربع التجميعي مع درجات الحرية (J-1)(K-1)

مجالات القرار هي :

مجال الرفض للفرضية $H_{0}$:

$\;\left\{v|v>\chi _{1-\alpha ;(K-1)\cdot \left(J-1\right)}^{2}\right\}$

مجال القبول للفرضية $H_{0}$:

$\;\left\{v|v\leq \chi _{1-\alpha ;(K-1)\cdot \left(J-1\right)}^{2}\right\}$

تحت الفرضية الصفرية نفرض احتمال الاختبار الاحصائي $V$ القيمة من مجال الرفض للفرضية $H_{0}$ والمساوي لمستوى الدلالة $\alpha =P(V>\chi _{1-\alpha }^{2}|f|H_{0})$

يشاهد احتمال الاختبار الاحصائي $V$ في مجال القبول للفرضية $H_{0}$

$P(V\leq \chi _{1-\alpha }^{2};f|H_{0})=1-\alpha$.

العينة وحساب الاختبار الاحصائي

بعد سحب حجم العينة $n$ ستسحب التكرارات المطلقة $h_{kj}$ لكل الأزواج الفعلية المشاهدة $\left(x_{k},y_{j}\right)$

يمكننا تعزيز التكرارات الهامشية التجريبية لأجل $X$ و $Y$ ونشتق التكرارات المطلقة المتوقعة ${\widehat {e}}_{kj}$

طبقا للصيغة في الأعلى. اذا خالفنا شروط التقريب يتطلب ذلك مزيد من التبويب.

والتكرارات $h_{kj}$, $h_{k\bullet }$, $h_{\bullet j}$ و ${\widehat {e}}_{kj}$ سيعاد حسابها .

بادخال $h_{kj}$ و ${\widehat {e}}_{kj}$ لصيغة الاختبار الاحصائي تنتج قيمة الاختبار الاحصائية الفعلية $V$ .

قرار الاختبار والتعاريف

اذا $v$ تقع في مجال الرفض للفرضية $H_{0}$. سنرفض الفرضية الصفرية على أساس العينة العشوائية من الحجم $n$ عند مستوى الدلالة $\alpha$.

في هذه الحالة لا يمكننا اظهار المتغيرات العشوائية $X$ و $Y$ مستقلة احصائيا.

بذلك عمل خطأ النوع الأول احتمال العينات المعادة (الاختبارات) تساوي لمستوى الدلالة $\alpha$.

اذا $v$ تقع في مجال القبول للفرضية $H_{0}$ سنقبل الفرضية الصفرية على أساس العينة العشوائية من الحجم $n$

لاتتعارض العينة احصائيا مع فرض الاستقلال عمل خطأ النوع الثاني في هذه الحالة اذا الفرضية البديلة صحيحة .