مثال أخر: اختبار كاي مربع للاستقلال

مثال أخر: اختبار كاي مربع للاستقلال

يقترح شخص ما أن عدد العيوب لسيارة ما مستقل احصائيا عن عمرها , نريد اختبار هذه الفرضيات عند مستوى الدلالة $\alpha =0,05$ باستعمال اختبار كاي مربع للاستقلال.

المتغير العشوائي $X$: عدد العيوب المقاسة بالقيمة الفعلية: $x_{1}$: لا عيوب, $x_{2}$: عيب واحد, $x_{3}$ : 2 عيب أو أكثر.

المتغير العشوائي $Y$: عمر السيارات يصنف كالتالي: $y_{1}$ سنة $y_{2}$ سنة و $y_{3}$ سنوات وسنوات

الفرضيات

يتم تطبيق الاختبار الاحصائي باستعمال اختبار كاي مربع للاستقلال تستعمل كمخرجات التكرارات المشتركة المتوقعة وهي بدورها محسوبة باستعمال فرض الاستقلال, تذكر فرضيات الاستقلال كفرضية صفرية:

$H_{0}$

X و Y مستقلة احصائيا مقابل

$H_{1}$

X و Y ليست مستقلة احصائيا أو

$H_{0}:\;p_{kj}=p_{k\bullet }\cdot p_{\bullet j}{\mbox{ }}\;\left(k,j\right)$

مقابل

$H_{1}:\;p_{kj}\neq p_{k\bullet }\cdot p_{\bullet j}{\mbox{ }}\left(k,j\right)$

على الأقل زوج واحد.

الاختبار الاحصائي وتوزيعه , مجالات القرار

نستعمل الاختبار الاحصائي لاختبار كاي مربع للاستقلال:

$V=\sum _{k=1}^{K}\sum _{j=1}^{J}{\frac {\left(H_{kj}-{\widehat {e}}_{kj}\right)^{2}}{{\widehat {e}}_{kj}}}$

تحت الفرضية $H_{0}$ يقرب $V$ لتوزيع كاي مربع مع درجة الحرية $f=(K-1)(J-1)$.

تحدد مجالات القرار للفرضية الصفرية بعد سحب العينة وتحليلها :

• أولا : نقدر التكرارات المطلقة المشتركة المتوقعة.

• عندئذ ستفحص شروط التقريب وتنشأ التراكيب الضرورية للفئات أو القيم.

• تحديد درجات الحرية والقيم الحرجة.

العينة وحساب الاختبار الاحصائي

يختار مركز الشرطة عند مواقف مختلفة عشوائيا 110 سيارات ويقيسون العمر وعدد العيوب في الجدول بالأسفل.

تلخص التكرارات الهامشية والمشتركة المطلقة في هذه العينة مع التكرارات المتوقعة تحت فرض الفرضية الصفرية وتحسب كالتالي:

${\widehat {e}}_{kj}={\frac {h_{k\bullet }\cdot h_{\bullet j}}{n}}$

العيوب$(x_{k})$		العمر $(y_{j})$			التوزيع الهامشي $X$
		$<1$	1-2	2
0	المشاهدة	30	14	5	49
	المتوقعة	26,7	13,4	8,9
1	المشاهدة	18	10	4	32
	المتوقعة	17,5	8,7	5,8
$\geq 2$	المشاهدة	12	6	11	29
	المتوقعة	15,8	7,9	5,3
التوزيع الهامشي $Y$		60	30	20	110

تكون شروط التقريب كافية لما التكرارات المشتركة المطلقة المتوقعة مساوية أو أكبر من ${\widehat {e}}_{kj}\geq 5$

نشاهد X و Y في $K=3$ و $J=3$ بالتوالي ولدينا $f=(K-1)(J-1)=4$ درجة الحرية.

القيمة الحرجة عند $P(V\leq c)=0,95$ تشاهد في جدول توزيع كاي مربع لما $c=\chi _{1-\alpha ;(f)}^{2}=\chi _{0,95;4}^{2}=9,49$.

بتطبيق مجالات القرار التالية :

مجال الرفض لأجل $H_{0}$:

$H_{0}:\;\left\{v|v>9,49\right\}$

مجال القبول لأجل $H_{0}$:

$H_{0}:\;\left\{v|v\leq 9,49\right\}$

تكون قيمة الاختبار الاحصائي الفعلية:

$v={\frac {\left(30-26,7\right)^{2}}{26,7}}+{\frac {\left(14-13,4\right)^{2}}{13,4}}+\ldots +{\frac {\left(11-5,3\right)^{2}}{5,3}}=10,5$

قرار الاختبار والتعاريف

لما قيمة الاختبار الاحصائي $V$ تقع في مجال الرفض للفرضية الصفرية , لذلك سنرفض الفرضية الصفرية باعطاء عناصر اختبارنا (حجم العينة $n=110$ ومستوى الدلالة $\alpha =0,05$).

نتحقق اذا المتغيرات العشوائية $X$ عدد العيوب و $Y$: عمر السيارات مستقلة احصائيا.

اذا هذا ليس صحيح في المجتمع عملنا خطأ النوع الأول في العينات المعادة احتمال الحدوث هذا باعطاء مستوى الدلالة $\alpha =0,05$. .