المثال الداعم لاستعمال اختبار كاي مربع للاستقلال

في عام 1991 و 1996 تم عرض السؤالين التاليين الى 18 مواطن ألماني مختارين بشكل عشوائي :

1- تقييم الوضع الاقتصادي الراهن.

2- ماهي التوقعات الاقتصادية للعام القادم.

سألنا المشاركين حول ابداء رأيهم بالقياسات التالية:

السؤال الأول :

1= جيد جدا, 2= جيد ,3= مقبول,4= سيئ, 5= سيئ جدا

السؤال الثاني:

1=تحسن كبير, 2= تحسن , 3= لا تغير, 4= سيئ,5= سيئ جدا

تحول الأسئلة للمتغيرات العشوائية : $X_{1}:$ "الوضع الاقتصادي الحالي" , $X_{2}:$ "التوقعات الاقتصادية" مع القيم الفعلية فوق.

بالاضافة المتغير الثالث : $Y$ "نوع الاقليم" مع التصنيفات : ألمانيا الغربية وألمانيا الشرقية .

نريد الاختبار عند مستوى الدلالة $\alpha =0,05$ حيث المتغيرات العشوائية $X_{1}:$ و $Y$ على التوالي $X_{2}:$ و $Y$ تجرى في عامي 1991 و 1996 كمتغيرات مستقلة احصائيا.

الفرضيات - الاختبار الاحصائي وتوزيعه :

ينبغي ذكر استقلال المتغيرات العشوائية في الفرضية $H_{0}$ لحساب التكرارات المشتركة المطلقة المتوقعة والاختبار الاحصائي:

$H_{0}$

$X_{1}:$ و $Y$ مستقلة احصائيا. مقابل

$H_{1}$

$X_{1}:$ و $Y$ غير مستقلة احصائيا و :

$H_{0}$

$X_{2}:$ و $Y$ مستقلة احصائيا. مقابل

$H_{1}$

$X_{2}:$ و $Y$ غير مستقلة احصائيا.

نستعمل الاختبار الاحصائي لاختبار كاي مربع للاستقلال:

$V=\sum _{k=1}^{K}\sum _{j=1}^{J}{\frac {\left(H_{kj}-{\widehat {e}}_{kj}\right)^{2}}{{\widehat {e}}_{kj}}}$

تحت الفرضية $H_{0}$ يقرب لتوزيع كاي مربع مع درجة الحرية $f=(K-1)(J-1)$.

لا يمكن تحديد مجالات القرار للفرضية الصفرية قبل سحب العينة وتحليلها لأننا نريد اتباع المنهج التالي:

• أولا: نقدر التكرارات المطلقة المشتركة المتوقعة.

• على هذا الأساس نفحص الشروط التقريبية وبالضرورة نجمع القيم أو الفئات.

• الأن نحدد درجات الحرية والقيم الحرجة.

العينة وحساب الاختبار الاحصائي- قرار الاختبار

تحتوي الجداول من 1 الى 4 التكرارات المطلقة المشتركة في العينات للأعوام 1991 و 1996 كذلك التكرارات المشتركة المطلقة المتوقعة لأجل الفرضية الصفرية الصحيحة تحسب كالتالي:

${\widehat {e}}_{kj}={\frac {h_{k\bullet }\cdot h_{\bullet j}}{n}}$

والفروقات $h_{kj}-{\widehat {e}}_{kj}$

الجدول 1: الوضع الاقتصادي الحالي $(X_{1})$ مقابل الاقليم $(Y)$:

1991

الوضع الاقتصادي الحالي$(X_{1})$		الاقليم $(Y)$		التوزيع الهامشي $X_{1}$
		الغرب	الشرق
جيد جدا	المشاهدة	209	165	374
	المتوقعة	184,8	189,2
	الفرق	24,2	-24,2
جيد	المشاهدة	744	592	1336
	المتوقعة	660,1	675,9
	الفرق	83,9$	-83,9
مقبول	المشاهدة	431	647	1078
	المتوقعة	532,6	545,5
	الفرق	-101,6	101,6
سيئ	المشاهدة	36	39	75
	المتوقعة	37,1	37,9
	الفرق	-1,1	1,1
سيئ جدا	المشاهدة	4	15	19
	المتوقعة	9,4	9,6
	الفرق	-5,4	5,4
التوزيع الهامشي $Y$		1424	1458	2882

الجدول 2  : الوضع الاقتصادي الحالي $X_{1}$ مقابل الاقليم $Y$

1996

الوضع الاقتصادي الحالي($X_{1}$)		الاقليم($Y$)		التوزيع الهامشي $X_{1}$
		الغرب	الشرق
جيد جدا	المشاهدة	20	6	26
	المتوقعة	17,2	8,8
	الفرق	2,8	-2,8
جيد	المشاهدة	264	116	380
	المتوقعة	251,3	128,7
	الفرق	12,7	-12,7
مقبول	المشاهدة	1006	557	1563
	المتوقعة	1033,7	529,3
	الفرق	-27,7	27,7
سيئ	المشاهدة	692	335	1027
	المتوقعة	679,2	347,8
	الفرق	12,8	-12,8
سيئ جدا	المشاهدة	141	73	214
	المتوقعة	141,5	72,5
	الفرق	-0,5	0,5
التوزيع الهامشي $Y$		2123	1087	3210

الجدول 3 : التوقعات الاقتصادية $X_{2}$ مقابل الاقليم $Y$

1991

التوقعات الاقتصادية($X_{2}$)		الاقليم ($Y$)		التوزيع الهامشي $X_{2}$
		الغرب	الشرق
تحسن كبير	المشاهدة	75	203	278
	المتوقعة	137,4	140,6
	الفرق	-62,4	62,4
تحسن	المشاهدة	449	763	1212
	المتوقعة	598,9	613,1
	الفرق	-149,9	149,9
عدم تغير	المشاهدة	684	414	1108
	المتوقعة	547,5	560,5
	الفرق	136,5	-136,5
سيئ	المشاهدة	200	62	262
	المتوقعة	129,5	132,5
	الفرق	70,5	-70,5
سيئ جدا	المشاهدة	16	6	22
	المتوقعة	10,9	11,1
	الفرق	5,1	-5,1
التوزيع الهامشي $Y$		1424	1458	2882

الجدول 4  : التوقعات الاقتصادية $X_{2}$ مقابل الاقليم $Y$

1996

التوقعات الاقتصادية ($X_{2}$)		الاقليم ($Y$)		التوزيع الهامشي $X_{2}$
		الغرب	الشرق
تحسن كبير	المشاهدة	9	6	15
	المتوقعة	9,9	5,1
	الفرق	-0,9	0,9
تحسن	المشاهدة	190	131	321
	المتوقعة	212,3	108,7
	الفرق	-22,3	22,3
عدم تغير	المشاهدة	809	444	1253
	المتوقعة	828,7	42,3
	الفرق	-19,7	19,7
سيئ	المشاهدة	960	426	1386
	المتوقعة	916,7	469,3
	الفرق	43,3	-43,3
سيئ جدا	المشاهدة	155	80	235
	المتوقعة	155,4	79,6
	الفرق	-0,4	0,4
التوزيع الهامشي $Y$		2123	1087	3210

تفي الشروط التقريبية لأجل الاختبارات الأربعة بمعنى : ${\widehat {e}}_{kj}\geq 5$ لكل الأزواج $(K,J)$

القيمة الحرجة عند $P(V\leq c)=0,95$ هي $c=\chi _{1-\alpha ;\left(K-1\right)\cdot \left(J-1\right)}^{2}=\chi _{0,95;4}^{2}=9,49$.

ولدينا $f=(K-1)(J-1)=4$. درجات الحرية مجالات القرار كالتالي:

مجال الرفض للفرضية $H_{0}$

$H_{0}:\;\left\{v|v>9,49\right\}$

مجال القبول للفرضية $H_{0}$

$H_{0}:\;\left\{v|v\leq 9,49\right\}$

تكون قيم كاي مربع والقرارات الناتجة للاختبارات الأربعة كالتالي:

السنة	المتغيرات العشوائية	قيمة الاختبار الاحصائي $v$	قرار الاختبار
1991	$X_{1},Y$	71,85	$H_{0}$
1996	$X_{1},Y$	6,15	$H_{0}$
1991	$X_{2},Y$	278,17	$H_{0}$
1991	$X_{2},Y$	14,61	$H_{0}$

التعاريف:

تصور الوضع الاقتصادي الحالي

في عام 1991 ترفض البيانات الفرضية الصفرية للاستقلال الاحصائي عند مستوى الدلالة $\alpha =0,05$

الموضع المتغيرات العشوائية : $X_{1}$ الوضع الاقتصادي الحالي, $Y$ مسح الاقليم هما مستقلان احصائيا.

تقبل البيانات 1996 لكننا نستطيع استخلاص المزيد من المعلومات اذا نظرنا للجداول التقاطعية نرى ذلك من مقارنة الاختلافات الموجبة العالية $h_{kj}-{\widehat {e}}_{kj}$ للعبارات الموجبة في الجدول 1

في عام 1991 يتجه الألمان الغربيون لتصنيف الوضع الاقتصادي أكثر ايجابية مقارنة بالألمان الشرقيون.

في عام 1996 توجد اختلافات موجبة لكن مجموعهم ليس دال احصائيا أي حدث نوع من التقارب في تقييم الحالة الاقتصادية الراهنة أنذاك.

التوقعات الاقتصادية:

كلا بيانات المسحين يرفض الفرضية الصفرية حيث المتغيرات العشوائية: $X_{2}$ التوقعات الاقتصادية ومسح الاقليم $Y$ مستقلان احصائيا عند مستوى الدلالة $\alpha =0,05$.

نلاحظ في كلا السنتين بأن الألمان الشرقيون لديهم نظرة ايجابية حول مستقبل الاقتصاد من الألمان الغربيون .

اذا قارنا الفروقات $h_{kj}-{\widehat {e}}_{kj}$ لكلا السنتين سنلاحظ نفس الميل للتجانس في الأراء (الشرق والغرب) لتقييم الوضع الاقتصادي الحالي.

لا يمكننا الاستنتاج أن الألمان الشرقيون والغربيون لهم أراء مختلفة , نوع الاستقلال بين $X_{2}$و $Y$ سيبين باستعمال الأدوات الاحصائية المناسبة لتحليل الاستقلال.