Additionssatz: Unterschied zwischen den Versionen

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<math> P\left( A \cup B \cup C\right) =P(A)+P(B)+P(C)-P \left( A \cap B\right) -P\left( A \cap C\right) -P \left( B \cap C\right) +P \left( A \cap B \cap C \right) </math>
 
<math> P\left( A \cup B \cup C\right) =P(A)+P(B)+P(C)-P \left( A \cap B\right) -P\left( A \cap C\right) -P \left( B \cap C\right) +P \left( A \cap B \cap C \right) </math>
  
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Version vom 15. August 2018, 10:42 Uhr

Grundbegriffe

Additionssatz der Wahrscheinlichkeitsrechnung

Sind und zwei beliebige Ereignisse eines Zufallsexperiments, dann gilt

,

was als Additionssatz der Wahrscheinlichkeitsrechnung bezeichnet wird.

Die Erweiterung des Additionssatzes auf drei Ereignisse , und lautet:

Venn 5.png

Zusatzinformationen

Herleitung des Additionssatzes

  • Das Ereignis kann in die beiden disjunkten Ereignisse und zerlegt werden, so dass gilt
Das folgende Venn-Diagramm veranschaulicht die zugrunde liegenden Ereignisse.
Venn 6.svg
Für die Wahrscheinlichkeit erhält man nach Axiom 3
und nach Umformung
  • Das Ereignis kann in die beiden disjunkten Ereignisse und zerlegt werden, so dass gilt

Für die Wahrscheinlichkeit erhält man nach Axiom 3
Setzt man das Ergebnis des ersten Abschnittes für ein, folgt
.
was zu beweisen war.
Datei:Venn 7.svg

Beispiele

Skatspiel

Ein Skatspiel hat 32 Karten. Darin sind vier Damen und acht Herzkarten enthalten.

Gesucht sei die Wahrscheinlichkeit, aus dem unsortierten Kartenstapel zufällig eine Dame oder eine Herzkarte zu ziehen.

Für und ergibt sich nach der klassischen Definition der Wahrscheinlichkeit:

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit

Nach dem Additionssatz ergibt sich:

Die Wahrscheinlichkeit, aus dem unsortierten Kartenstapel zufällig eine Dame oder eine Herzkarte zu ziehen, beträgt .