Parameter eindimensionaler Verteilungen (stochastisch)/Beispiel: Stetige Zufallsvariable

Beispiele

Stetige Zufallsvariable

$X$ sei eine stetige Zufallsvariable mit der Dichtefunktion

$f(x)={\begin{cases}0,25x-0,5&{\mbox{, wenn }}2<x\leq 4\\-0,25x+1,5&{\mbox{, wenn }}4<x\leq 6\\0&{\mbox{, sonst}}\end{cases}}$.

Für den Erwartungswert von $X$ ergibt sich:

$E[X]=\mu$	$\,=$	$\int _{-\infty }^{\infty }x\cdot f(x)\,dx$
	$\,=$	$\int _{2}^{4}x\cdot (0,25x-0,5)\,dx+\int _{4}^{6}x\cdot (-0,25x+1,5)\,dx$
	$\,=$	$\int _{2}^{4}(0,25x^{2}-0,5x)\,dx+\int _{4}^{6}(-0,25x^{2}+1,5x)\,dx$
	$\,=$	$\left[0,25{\frac {1}{3}}x^{3}-0,5{\frac {1}{2}}x^{2}\right]_{2}^{4}+\left[-0,25{\frac {1}{3}}x^{3}+1,5{\frac {1}{2}}x^{2}\right]_{4}^{6}$
	$\,=$	$\,4$

Die Varianz berechnet sich als:

$Var(X)=\sigma ^{2}$	$=\int _{-\infty }^{\infty }x^{2}\cdot f(x)\,dx-(E[X])^{2}$
	$=\int _{2}^{4}x^{2}\cdot (0,25x-0,5)\,dx+\int _{4}^{6}x^{2}\cdot (-0,25x+1,5)\,dx-4^{2}$
	$=\int _{2}^{4}(0,25x^{3}-0,5x^{2})\,dx+\int _{4}^{6}(-0,25x^{3}+1,5x^{2})\,dx-4^{2}$
	$=\left[0,25{\frac {1}{4}}x^{4}-0,5{\frac {1}{3}}x^{3}\right]_{2}^{4}+\left[-0,25{\frac {1}{4}}x^{4}+1,5{\frac {1}{3}}x^{3}\right]_{4}^{6}-16$
	$\,=0,6667.$

Die Standardabweichung $\sigma$ ist demzufolge 0,8165.

Für die stetige Zufallsvariable $X$ mit der oben gegebenen Dichtefunktion ist somit im Mittel ein Wert von 4 bei einer Streuung von 0,8165 zu erwarten.