Parameter eindimensionaler Verteilungen (stochastisch)/Beispiel: Stetige Zufallsvariable

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Beispiele

Stetige Zufallsvariable

X sei eine stetige Zufallsvariable mit der Dichtefunktion

f(x)=\begin{cases}
0,25x-0,5 & \mbox{, wenn } 2<x\leq 4 \\
-0,25x+1,5  & \mbox{, wenn } 4<x\leq 6 \\
 0 & \mbox{, sonst}\end{cases}.

Für den Erwartungswert von X ergibt sich:

 E[X] = \mu \, = \int_{- \infty}^{\infty} x\cdot f(x)\, dx
\, =  \int_2^4 x\cdot (0,25 x - 0,5)\, dx + \int_4^6 x\cdot (-0,25 x +1,5)\, dx
\, =  \int_2^4 (0,25 x^2 - 0,5 x)\, dx + \int_4^6 (-0,25 x^2 + 1,5 x)\, dx
 \,=  \left[ 0,25 \frac{1}{3} x^3 - 0,5 \frac{1}{2} x^2 \right]_2^4 + \left[-0,25 \frac{1}{3} x^3 + 1,5 \frac{1}{2} x^2 \right]_4^6
\, = \, 4

Die Varianz berechnet sich als:

 Var(X) = \sigma^2  = \int_{- \infty}^{\infty} x^2\cdot f(x)\, dx - (E[X])^2
 = \int_2^4 x^2\cdot (0,25 x - 0,5)\, dx + \int_4^6 x^2\cdot (-0,25 x +1,5)\, dx - 4^2
 = \int_2^4 (0,25 x^3 - 0,5 x^2)\, dx + \int_4^6 (-0,25 x^3 + 1,5 x^2)\,dx - 4^2
 = \left[0,25 \frac{1}{4} x^4 - 0,5 \frac{1}{3} x^3\right]_2^4 + \left[-0,25 \frac{1}{4} x^4 + 1,5 \frac{1}{3} x^3\right]_4^6 - 16
\, = 0,6667.

Die Standardabweichung \sigma ist demzufolge 0,8165.

Für die stetige Zufallsvariable X mit der oben gegebenen Dichtefunktion ist somit im Mittel ein Wert von 4 bei einer Streuung von 0,8165 zu erwarten.