Konfidenzintervall für den Erwartungswert bei unbekannter Varianz/Beispiel: Haushaltsnettoeinkommen
Aus MM*Stat
Beispiele
Haushaltsnettoeinkommen
Für eine Grundgesamtheit von Privathaushalten sei die Zufallsvariable das Haushaltsnettoeinkommen (in €).
Das mittlere Haushaltsnettoeinkommen dieser Grundgesamtheit, d.h. der Erwartungswert , ist unbekannt und soll geschätzt werden.
Über die Punktschätzung hinaus soll ein Konfidenzintervall zum Konfidenzniveau und für die konkreten Stichproben das Schätzintervall angegeben werden.
Zur Schätzung von wird der Stichprobenmittelwert
als Schätzfunktion verwendet.
Eine Zufallsstichprobe vom Umfang liefert die Stichprobenwerte .
Nach Einsetzen dieser Stichprobenwerte in die Schätzfunktion erhält man einen Schätzwert
als Punktschätzung für das mittlere Haushaltsnettoeinkommen der Grundgesamtheit.
Die Angabe des Konfidenzintervalls wird entscheidend von den Informationen, die über die Grundgesamtheit vorliegen, bestimmt.
Konfidenzintervall bei normalverteilter Grundgesamtheit
Es wird wiederum davon ausgegangen, dass die Zufallsvariable (Haushaltsnettoeinkommen) in der Grundgesamtheit normalverteilt ist, jedoch sei nunmehr die Standardabweichung unbekannt: .
Für die Bestimmung eines Konfidenzintervalls für muß die Varianz geschätzt werden, was mittels der Schätzfunktion erfolgt.
Aufgrund dieser Informationen ist
ein Konfidenzintervall für den unbekannten Parameter der Zufallsvariablen (Haushaltnettoeinkommen) zum Konfidenzniveau
Zum vorgegebenen Konfidenzniveau findet man in der Tabelle der Verteilungsfunktion der t-Verteilung:
.
Nach der Ziehung der Stichprobe ist
das sich für die Stichprobe ergebende Schätzintervall, in dem die Punktschätzwerte und sowie einzusetzen sind.
Um diese Veränderung in der Bestimmung des Konfidenzintervalls zu veranschaulichen, wird von den gleichen 25 einfachen Zufallsstichproben vom Umfang wie unter Punkt 1.1. ausgegangen.
Für die Stichprobe Nr. 25, deren Stichprobenwerte in der Tabelle 1 enthalten sind, ergibt sich ein mittleres Haushaltsnettoeinkommen von
und eine Standardabweichung
und damit das Schätzintervall
Die Interpretation dieses Schätzintervalls ist wie vorher.
Tabelle 3 enthält das mittlere Haushaltsnettoeinkommen , die Standardabweichung , das Schätzintervall sowie den Schätzfehler für die 25 Zufallsstichproben.
Tabelle 3: Mittleres Haushaltsnettoeinkommen (€) , Standardabweichung , Schätzintervall und Schätzfehler für 25 Zufallsstichproben vom Umfang
1 | 2413,40 | 1032,150 | 1930,34 | 2896,46 | 966,12 |
2 | 2317,00 | 872,325 | 1908,74 | 2825,26 | 816,52 |
3 | 2567,50 | 1002,008 | 2098,55 | 3036,45 | 937,90 |
4 | 2060,90 | 812,365 | 1680,71 | 2441,09 | 760,38 |
5 | 2363,50 | 1376,648 | 1719,22 | 3007,78 | 1288,56 |
6 | 2774,30 | 1213,779 | 2206,24 | 3342,63 | 1136,12 |
7 | 2298,80 | 843,736 | 1903,92 | 2693,68 | 789,76 |
8 | 2241,15 | 1116,827 | 1718,46 | 2763,84 | 1045,38 |
9 | 1915.30 | 1113,122 | 1394,35 | 2436,25 | 1041,90 |
10 | 2062,15 | 856,069 | 1661,50 | 2462,80 | 801,30 |
11 | 2267,75 | 1065,227 | 1769,21 | 2766,29 | 997,08 |
12 | 2163,10 | 1040,966 | 1675,92 | 2650,28 | 974,36 |
13 | 2635,00 | 1154,294 | 2094,78 | 3175,22 | 1080,44 |
14 | 2126,50 | 1103,508 | 1610,05 | 2642,95 | 1032,90 |
15 | 2243,15 | 1126,913 | 1715,74 | 2770,56 | 1054,82 |
16 | 2361,25 | 1166,260 | 1815,43 | 2907,07 | 1091,64 |
17 | 2607,25 | 848,019 | 2210,37 | 3004,13 | 793,76 |
18 | 2319,55 | 941,236 | 1879,04 | 2760,06 | 881,02 |
19 | 2203,85 | 974,980 | 1747,55 | 2660,15 | 912,60 |
20 | 2395,25 | 899,461 | 1974,29 | 2816,21 | 841,92 |
21 | 2659,00 | 969,720 | 2205,16 | 3112,84 | 907,68 |
22 | 2168,50 | 763,222 | 1811,31 | 2525,69 | 714,38 |
23 | 2110,30 | 1127,608 | 1582,57 | 2638,03 | 1055,46 |
24 | 1884,90 | 928,420 | 1450,39 | 2319,41 | 869,02 |
25 | 2415,00 | 1001,065 | 1946,49 | 2883,51 | 937,02 |
Die folgende Abbildung enthält die grafische Darstellung der 25 Punktschätzwerte und Schätzintervalle.
Auch hier wird einzig und allein zum Zweck der Veranschaulichung der wahre Mittelwert der Grundgesamtheit als gestrichelte Linie in die Grafik eingefügt.
In diesem Fall überdeckt nur ein Schätzintervall (der Stichprobe Nr. 24) nicht den wahren Wert des mittleren Haushaltsnettoeinkommens.
Aus Tabelle 3 und Abb. 2 ist zu erkennen, dass hier die Länge der Intervalle und der Schätzfehler von Stichprobe zu Stichprobe variieren und somit Zufallsvariablen sind.
Die Ursache liegt in der unbekannten Standardabweichung der Grundgesamtheit, die geschätzt werden muss und in verschiedenen Schätzwerten resultiert.
Konfidenzintervall bei beliebig verteilter Grundgesamtheit
Es soll jetzt der in der Praxis am häufigsten auftretende Fall betrachtet werden, dass die Verteilung der Zufallsvariablen und die Standardabweichung in der Grundgesamtheit unbekannt sind.
Um überhaupt ein Konfidenzintervall angeben zu können, muss der Stichprobenumfang ausreichend groß sein, so dass der Zentrale Grenzwertsatz zur Anwendung kommen kann. Es wird gewählt.
Dann ist
ein approximatives Konfidenzintervall für den unbekannten Parameter der Zufallsvariablen (Haushaltnettoeinkommen) zum näherungsweisen Konfidenzniveau
Zum vorgegebenen Konfidenzniveau findet man in der Tabelle der Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung:
.
Für 50 einfache Zufallsstichproben sind in der Abb. 3 die Punktschätzwerte und Schätzintervalle enthalten, wobei wiederum einzig und allein zum Zweck der Veranschaulichung der wahre Mittelwert der Grundgesamtheit als gepunktete Linie in die Grafik eingefügt wurde.
Auf die Angabe der numerischen Resultate wird verzichtet.
Auch hier ist zu sehen, dass die Länge der Intervalle und der Schätzfehler von Stichprobe zu Stichprobe variieren und somit Zufallsvariablen sind, was auf die unbekannte Standardabweichung der Grundgesamtheit zurückzuführen ist.
Von den 50 Schätzintervallen überdeckt zwei Schätzintervalle (4%) nicht den wahren Wert des mittleren Haushaltsnettoeinkommens.