Kombinatorik/Aufgaben

6 aus 49

Lösung

Sie spielen 6 aus 49 möglichen Zahlen (ohne Zusatzzahl). Wie viele mögliche Tips können Sie abgeben?

(6 aus 49 bedeutet, dass Sie aus 49 mögliches Zahlen 6 Zahlen auswählen.)

Angebotsmöglichkeiten

Lösung

Ein Markt wird von zwei Unternehmen beherrscht. Sie haben die folgenden Aktionsparameter:

1. Unternehmen:
Preis, Menge, Qualität, Werbung, Lieferbedingungen, Zahlungsbedingungen

2. Unternehmen:
Standort, Preis, Menge, Qualität, Werbung, Lieferbedingungen, Zahlungsbedingungen

Wenn die beiden Unternehmen vereinbaren, immer nur zwei Parameter innerhalb einer bestimmten Zeitperiode zu ändern, niemals aber Menge und Preis gleichzeitig, wieviele unterschiedliche Angebotsmöglichkeiten kann es dann auf dem Markt geben?

Anzahl der Abweichungen

Lösung

Gegeben sind $n=50$ Beobachtungswerte $x_{1},\ldots ,x_{50}$ eines Merkmals $X$. Zur Konstruktion eines Streuungsmaßes sollen die absoluten Abweichungen eines jeden Beobachtungswertes von jedem anderen Beobachtungswert ermittelt werden.
Wie groß ist die Anzahl der zu ermittelnden absoluten Abweichungen?

Arbeitsgänge

Lösung

Eine Produktionsfolge enthalte 9 Arbeitsgänge: drei Arbeitsgänge A, zwei Arbeitsgänge B und vier Arbeitsgänge C. Jeder Arbeitsgang kann zu jeder Zeit ausgeführt werden.
Wieviele Möglichkeiten der Einteilung gibt es?

Blindenschrift

Lösung

Die Blindenschrift besteht aus zwei Zeichen (Erhöhung und Vertiefung), die zu 6 Punkten angeordnet werden. Reicht dies aus, um das Alphabet, Satzzeichen und Zahlen darzustellen?

Bridge

Lösung

Das Bridge–Spiel enthält insgesamt 52 verschiedene Karten. Jeder Spieler erhält 13 Karten. Wie viele verschiedene Spiele (zu 13 Karten) kann ein Spieler erhalten?

Bücher

Lösung

Im “Jahr des Buches” haben Sie vorsorglich 9 Bücher unterschiedlicher Titel als Geschenke gekauft. 6 Geburtstage stehen bevor. Wieviele Verteilungsmöglichkeiten gibt es, wenn jedes Geburtstagskind nur ein Buch erhalten soll?

Bunte Häuser

Lösung

Wie viele Möglichkeiten gibt es, drei Häuser in einer Straße mit den drei verschiedenen Farben Blau, Weißund Rot anzustreichen, wobei jede Farbe nur für ein Haus reicht?

Bunte Häuser

Lösung

Wie viele Möglichkeiten gibt es, 5 Häuser in einer Straße mit den 5 verschiedenen Farben anzustreichen, wobei jede Farbe nur für ein Haus reicht?

Camel Cup

Lösung

Ein Scheich hat in seinem Stall 50 Kamele und zur Vorbereitung auf den “Camel Cup” in Australien lässt er jeden Tag nacheinander drei Testausritte machen.
Um nicht immer die Qual der Wahl zu haben, zieht er blind jeden Tag aus einer Urne mit 50 von 1 bis 50 durchnumerierten Kugeln drei Kugeln nacheinander; gezogene Kugeln legt er direkt in die Urne zurück. Jede der Nummern repräsentiert ein Kamel, so dass die Chance besteht, mit einem, zwei oder drei verschiedenen Kamelen die Testausritte zu machen.

• Wieviele Möglichkeiten gibt es für den Scheich, die Testausritte am einem Tag durch das Ziehen von 3 Kugeln auszuwählen?
• Wieviele Möglichkeiten gibt es die Testausritte mit einem, zwei bzw. drei verschiedenen Kamelen zu machen?

Code-Schlösser

Lösung

Eine Sicherheitsfirma produziert unter anderem Code-Schlösser. Die Codes bestehen aus einem der beiden Buchstaben A oder B und 4 Ziffern (1 bis 9). Wieviele mögliche fünfstellige Codes der Form: Buchstabe, Ziffer$_{1}$ Ziffer$_{2}$ Ziffer$_{3}$ Ziffer$_{4}$ gibt es, wenn keine Ziffer mehr als dreimal in einem Code vorkommen soll?

Computerraum-Code

Lösung

Student Schusslig hat den Computerraum-Code für diese Woche vergessen. Er erinnert sich einzig und allein daran, dass der Code genau zwei aufeinander folgende Ziffern 5 enthielt (nicht aber drei oder vier aufeinander folgende Ziffern 5). Der Code besteht stets aus 4 Ziffern (0 bis 9). Wie viele Zahlenkombinationen muss Student Schusslig maximal ausprobieren, um die Tür zum Computerraum zu öffnen?

Einmaleins

Lösung

Wieviele verschiedene Aufgaben enthält das kleine Einmaleins?

Geburtstagsparty

Lösung

Sie haben Geburtstag. Zu ihrer Geburtstagsparty können Sie jedoch nur 6 von ihren 12 Freund(inn)en einladen, die für Sie alle gleichwertig sind.

• Wieviele Möglichkeiten haben Sie, aus ihren Freund(inn)en Geburtstagsgäste auszuwählen?
• Wieviele mögliche Sitzanordnungen gibt es für die 6 Gäste an der Geburtstagstafel?
• Sie haben 3 Freunde und 3 Freundinnen eingeladen. Wieviele mögliche Sitzanordnungen gibt es, wenn die 3 Freunde und die 3 Freundinnen jeweils als gleich angesehen werden?

Genua Wahl

Lösung

In Genua wurden zu Anfang des 17. Jahrhunderts aus 100 Senatoren jährlich durch das Los fünf Senatoren für höchste Ehrenstellen bestimmt.

“Ein Ratsherr Benedotto Gentile führte Wetten darauf ein, dass dieser oder jener Name werde gezogen werden, und einige Genuesische Bankiers versprachen jedem, der eine solche Wette zu wagen geneigt sei, den 20 000–fachen Betrag seines Einsatzes, wenn er alle 5 Namen rate, entsprechend weniger, wenn nur 4 oder 3 Namen erraten werden sollten.”

(Cantor, Politische Arithmetik oder die Arithmetik des täglichen Lebens, 2. Auflage, Leipzig 1903, S. 65 f.)

War das Angebot fair?

Geschenke für die Abteilungsleiter

Lösung

Die Chefsekretärin hat für die 5 Abteilungsleiter je ein Geschenk gekauft. Unter den 5 Geschenken sind genau zwei gleiche Geschenke. Wieviele Möglichkeiten hat sie, die 5 Geschenke auf die 5 Abteilungsleiter zu verteilen?

Hallenschwimmbad

Lösung

Paul möchte ins Hallenschwimmbad gehen, wo der Eintritt beträgt. Paul hat ein -Stück, zwei 50 Cent-Stücke und zehn 10 Cent-Stücke. Auf wie viele verschiedene Arten kann Paul die für den Eintritt in den Automaten stecken?

Hemden

Lösung

Ein Student ist zu einem Vorstellungsgespräch eingeladen, steht aber noch vor dem Problem, die passende Kleidung zu finden. Er hat vier Hemden (grau, weiß, blau, rot) und sechs Krawatten zur Verfügung, von denen eine grün und eine blau ist.
Wie viele Möglichkeiten hat der Student, Hemden und Krawatten zusammenzustellen, wenn er das rote Hemd weder mit der grünen noch mit der blauen Krawatte tragen möchte?

Lotto Toto

Lösung

Wie viele verschiedene Tipreihen gibt es bei der 13er Wette beim Lotto Toto?

(Toto: Bei der 13er–Wette wird der Spielausgang von 13 Fußballspielen vorhergesagt, wobei 1 = Heimsieg, 0 = Unentschieden und 2 = Sieg der Gastmannschaft bedeutet.)

Orientierungsrundgang

Lösung

Zu Beginn eines Semesters möchte eine Studierendengruppe an 5 Tagen jeweils einen Orientierungsrundgang durch die Universität für Erstsemester anbieten, der jeweils von einem Mitglied durchgeführt werden soll. Es haben sich fünf Mitglieder zur Verfügung gestellt.

• Wie viele verschiedene Möglichkeiten gibt es, jedem Mitglied einen Wochentag (Montag bis Freitag) zuzuordnen?
• Da Klaus erkrankt, wird Karl zweimal einen Rundgang leiten. Wie viele verschiedene Möglichkeiten für die namentliche Belegung der Rundgänge gibt es?
• Karl besteht plötzlich darauf, dass er nicht an zwei aufeinanderfolgenden Tagen einen Rundgang leiten will. Wie viele Möglichkeiten für die namentliche Belegung der Rundgänge gibt es jetzt?

Parkplätze

Lösung

Sie sind neuer Mitarbeiter in einer kleinen Firma. Bei der Einstellung teilt Ihnen Ihr neuer Chef mit, dass die Firma für ihre Angestellten Parkplätze zur Verfügung stellt. Leider stehen für die 9 Angestellten nur 5 Parkplätze zur Verfügung. Wie viele Möglichkeiten gibt es, die Parkplätze zu belegen, wenn alle Parkplätze gleich gut sind?

Pferdelotto

Lösung

Beim Pferdelotto gilt es, die 4 schnellsten Pferde eines bestimmten Rennens mit ihrer Reihenfolge des Eintreffens im Ziel vorherzusagen. Insgesamt gehen 23 Pferde an der Start. Wieviele verschiedene Tiplisten gibt es?

Pferderennen

Lösung

Bei einem Pferderennen laufen 10 Pferde. Eine Einlaufwette besteht darin, dass die ersten drei Pferde des Einlaufes in richtiger Reihenfolge angegeben werden.
Wie groß ist die Anzahl der möglichen Einlaufwetten?

Schachturnier

Lösung

An einem Schachturnier nehmen 12 Spieler teil. Wieviele mögliche Paarungen gibt es für das Finale zwischen den beiden besten Spielern des Turniers?

Schiffsignale

Lösung

Ein Schiff führt zur Signalgabe jeweils zwei blaue, grüne, schwarze, rote, gelbe und weiße Wimpel mit. Zwei aufgezogene Wimpel bilden jeweils ein Signal, wobei die Reihenfolge der Wimpel keine Rolle spielen darf, wenn die Signale aus jeder Richtung verständlich sein sollen. Wie groß ist die Anzahl möglicher Signale, die das Schiff geben kann?

Schließfach

Lösung

Herr Meyer hat seinen Schlüssel für das Schließfach am Bahnhof verloren. Die Schließfachnummer hat er leider vergessen. Er erinnert sich allerdings daran, dass es sich um eine vierstellige Zahl handelt, bei der zwei Ziffern gleich sind und dass als Ziffern die 3, 5 und 7 vorkommen. Wie viele Schließfächer müssen gesperrt werden?

Skatspieler

Lösung

Kann ein passionierter Skatspieler sämtliche möglichen Spiele (d.h. jede mögliche eigene Kartenkombination) im Laufe seines Lebens spielen? Dabei sei angenommen, dass jedes Jahr 365 Tage hat und der Skatspieler 200 Spiele täglich spielt.

(Skat: 32 Karten; 3 Spieler mit je 10 Karten; 2 Karten im Skat, d.h. verdeckt auf dem Tisch)

TEA

Lösung

• Wieviele Möglichkeiten gibt es, die Buchstaben des englischen Wortes TEA anzuordnen, wobei jeder einzelne nur einmal vorkommen darf?
• Wieviele Möglichkeiten gibt es, die Buchstaben des deutschen Wortes TEE anzuordnen, wobei jeder einzelne nur einmal vorkommen darf?

Unfallstation

Lösung

In der Unfallstation eines Krankenhauses arbeiten drei Arzte: N, O und P. Da die Aufteilung der Wochenenddienste (Samstag und Sonntag) große Schwierigkeiten bereitet, entscheiden sich die drei Arzte für ein Zufallsexperiment, um diese Aufteilung vorzunehmen. Es werden drei Zettel mit den Anfangsbuchstaben ihrer Namen in eine Urne getan. Für die Aufteilung werden dann nach dem Zufallsprinzip aus der Urne zwei Zettel gezogen.

Geben Sie die möglichen Ausgänge dieses Zufallsexperimentes an und berechnen Sie ihre Anzahl, wenn:

• mit der Aufteilung festgelegt werden soll, an welchem Tag ein Arzt Dienst hat (1. Ziehung steht für Samstag) und es möglich sein soll, dass ein Arzt an beiden Tagen Dienst hat
• Doppel–Dienst möglich ist, aber nicht bestimmt werden soll, an welchem Tag ein Arzt Dienst hat
• kein Doppel–Dienst möglich ist, aber bestimmt werden soll, an welchem Tag ein Arzt Dienst hat
• kein Doppel–Dienst möglich ist und nicht bestimmt werden soll, an welchem Tag ein Arzt Dienst hat.

Wagenreihungen

Lösung

Der Rangiermeister der Deutschen Bahn AG hat die Aufgabe, einen Zug aus 6 Wagen zusammenzustellen, wobei 2 Wagen der Klasse 1 und 4 Wagen der Klasse 2 sind. Wie viele verschiedene Wagenreihungen kann der Rangiermeister erstellen?

Wanderwege

Lösung

Wanderwege sollen mit Zeichen bestehend aus 2 farbigen Strichen gekennzeichnet werden. Wieviele Farben sind erforderlich, wenn

• für 36 Wanderwege die Reihenfolge der Farben zu beachten und eine Wiederholung der Farben zulässig ist?
• für 21 Wanderwege die Reihenfolge der Farben keine Rolle spielt und Wiederholung der Farben nicht auftreten darf?
• für 15 Wanderwege die Reihenfolge der Farben nicht berücksichtigt werden braucht und Wiederholung der Farben erlaubt ist?

Zahlenschlösser

Lösung

Wieviele dreistellige Zahlenschlösser mit nur ungeraden, aber verschiedenen Ziffern können hergestellt werden?

Zwei Würfel

Lösung

Es werden 3 Würfel gleichzeitig geworfen. Wieviele verschiedene Augenpaare können auftreten?