Quelltext der Seite Parameter eindimensionaler Verteilungen (stochastisch)/Beispiel: Autounfälle

=={{Vorlage:Beispiele}}==

===Autounfälle===

Die [[Zufallsvariable]] <math>X\;</math> bezeichne die Anzahl der Autounfälle pro Woche an einer Straßenkreuzung einer Stadt. 

Aufgrund langjähriger Registrierung sind die folgenden [[Wahrscheinlichkeit]]en für die einzelnen [[Ausprägung]]en von <math>X\;</math> bekannt:

{| border="1" cellpadding="3" style="text-align:center;margin:1em 1em 1em 0; background:#f9f9f9; border:1px #AAA solid; border-collapse:collapse; empty-cells:show;"
|align="center"|<math>\,x_{i}</math>
|align="center"|0
|align="center"|1
|align="center"|2
|align="center"|3
|align="center"|4
|align="center"|5
|-
|align="center"|<math>\,f(x_{i})</math>
|align="center"|0,08
|align="center"|0,18
|align="center"|0,32
|align="center"|0,22
|align="center"|0,14
|align="center"|0,06
|}

Der [[Erwartungswert]] von <math>X</math>, d.h. die im Mittel erwartete Anzahl von Autounfällen über sehr viele Wochen, ergibt sich mittels folgender Berechnungen:

{| border="1" cellpadding="3" style="text-align:center;margin:1em 1em 1em 0; background:#f9f9f9; border:1px #AAA solid; border-collapse:collapse; empty-cells:show;"
|align="center"|<math>\,x_{i}</math>
|align="center"|0
|align="center"|1
|align="center"|2
|align="center"|3
|align="center"|4
|align="center"|5
|-
|align="center"|<math>\,f(x_{i})</math>
|align="center"|0,08
|align="center"|0,18
|align="center"|0,32
|align="center"|0,22
|align="center"|0,14
|align="center"|0,06
|-
|align="center"|<math>\,x_{i} \cdot f(x_{i})</math>
|align="center"|0
|align="center"|0,18
|align="center"|0,64
|align="center"|0,66
|align="center"|0,56
|align="center"|0,30
|}

Damit ist:

<math>E[X]=\mu =\sum x_{i}f(x_{i})=2,34</math>

Natürlich kann eine solche Anzahl von Autounfällen nicht tatsächlich auftreten. 

<math>E[X] = 2,34</math> gibt jedoch an, wo die [[Wahrscheinlichkeitsfunktion]] von <math>X</math> ihr Zentrum hat.

Für die Ermittlung der [[Standardabweichung (stochastisch)|Standardabweichung]] von <math>X</math> sind weitere Berechnung notwendig:

{| border="1" cellpadding="3" style="text-align:center;margin:1em 1em 1em 0; background:#f9f9f9; border:1px #AAA solid; border-collapse:collapse; empty-cells:show;"
|align="center"|<math>x_{i}^{2}</math>
|align="center"|0
|align="center"|1
|align="center"|4
|align="center"|9
|align="center"|16
|align="center"|25
|-
|align="center"|<math> x_{i}^{2}f(x_{i}) </math>
|align="center"|0
|align="center"|0,18
|align="center"|1,28
|align="center"|1,98
|align="center"|2,24
|align="center"|1,50
|}

<math>Var(X)=\sigma ^{2}=\sum x_{i}^{2}f(x_{i})-\mu^{2}=7,18-2,34^{2}=1,7044\ \Rightarrow \sigma =1,306</math>

Es ist somit zu erwarten, dass an der betrachteten Straßenkreuzung im Mittel pro Woche 2,34 Autounfälle mit einer [[Streuung]] von 1,306 auftreten.