Testtheorie/Lösungen: Unterschied zwischen den Versionen
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Version vom 25. April 2019, 11:11 Uhr
Inhaltsverzeichnis
- 1 1000g–Portionen
- 2 Anzahl der Kinder
- 3 Arbeitsproduktivität
- 4 Ausfallsicherheit
- 5 Ausgaben für Urlaubsreisen
- 6 Batterien Lebensdauer
- 7 Benzinverbrauch Test
- 8 Chininhaltige Limonade
- 9 Dicke der Fahrbahndecke
- 10 Durchmesser von Wellen
- 11 Durchschnittsgewicht
- 12 Fachgebiete
- 13 FKK
- 14 Gewinnspiel–Automat
- 15 Grönländische Bohrlochkerne
- 16 Kaffee Packungen 2
- 17 Kaffee Packungen
- 18 Lagerhaltungsprobleme
- 19 Mietpreisbindung
- 20 Münzen
- 21 Neues Präparat
- 22 Paketversandfirma
- 23 Phosphatgehalt der Waschmittel (Gütefunktion)
- 24 Phosphatgehalt der Waschmittel
- 25 Schlampiges Gepäck-Handling
- 26 Schwergewichtsboxer
- 27 Skirennen (Gütefunktion)
- 28 Skirennen
- 29 Sollwerte
- 30 Spezialgefrierschränke (Gütefunktion)
- 31 Spezialgefrierschränke
- 32 Testfunktion
- 33 Torerfolge
- 34 Werbeaktion
- 35 Wetterlage und Geschäftslage
- 36 Wocheneinkommen
- 37 Zigarettenpreis
- 38 Zugkraft eines Drahtseiles
1000g–Portionen
d.h. ist das
Quantil der
Anzahl der Kinder
Unter
gilt:
– beobachtete absolute Häufigkeit
– unter
erwartete absolute Häufigkeit
für alle
und
für mindestens 80% der erwarteten Häufigkeiten erfüllt.
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
---|---|---|---|---|
16 | 25 | ![]() |
81 | 3,24 |
60 | 75 | ![]() |
225 | 3,00 |
92 | 75 | 17 | 289 | 3,853333 |
32 | 25 | 7 | 49 | 1,96 |
(kein Parameter war zu schätzen)
aus Tabelle der Chi–Quadrat–Verteilung für :
signifikant zum 1%–Niveau
Arbeitsproduktivität
: “Arbeitsproduktivität”,Verteilung unbekannt,
Stück/Stunde
: “Durchschnittliche Arbeitsproduktivität bei einer einfachen Zufallsstichprobe vom Umfang
”
ist approximativ
(Begründung: Zentraler Grenzwertsatz,
);
Fehler beim Parsen (Unbekannte Funktion „\begin“): \begin{aligned} \beta(\mu)&=&1-G(\mu)\\ G(\mu)&=&1-\left[P\left(V\leq c-\frac{\mu-\mu_0}{\sigma\sqrt{n}}\right)-P\left(V<-c-\frac{\mu-\mu_0}{\sigma\sqrt{n}}\right)\right]\\ \beta(\mu)&=&P\left(V\leq c-\frac{\mu-\mu_0}{\sigma\sqrt{n}}\right)-P\left(V<-c-\frac{\mu-\mu_0}{\sigma\sqrt{n}}\right)\\ \beta(\mu_1=5,6)&=&P(V\leq1,96-(5,6-5,5)/0,1)\\ &-&P(V<-1,96-(5,6-5,5)/0,1)\\ &=&P(V\leq0,96)-P(V\leq-2,96)\\ &=&P(V\leq0,96)-[1-P(V\leq2,96)]\\ &=&0,831472-[1-0,998462]\\ &=&0,831472-0,001538=0,829934\\ \beta(\mu_1=5,6)&=&0,8299\end{aligned}
Ausfallsicherheit
Betriebszeit eines Servers:
maximale mittlere Ausfallzeit lt. Hersteller: 1% von Stunden
Der Hersteller will seine Behauptung statistisch untermauern, wobei er das Risiko einer Fehlentscheidung möglichst klein halten will. Da nur Abweichungen von nach einer Seite von Bedeutung sind, wird ein einseitiger Test durchgeführt. Die Behauptung des Herstellers wird als Alternativhypothese formuliert, womit ein linksseitiger Test resultiert
Stunden
Stunden
Die Wahrscheinlichkeit eines Fehlers 1. Art “
”
ist das Signifikanzniveau
, mit dessen Vorgabe das Risiko eines derartigen Fehlers gering gehalten werden kann. Damit wird die Zielstellung des Herstellers bei der Durchführung des Tests eingehalten. Da
der Grundgesamtheit unbekannt ist, folgt die Teststatistik unter
einer t–Verteilung mit
Freiheitsgraden. Kritischer Wert:
Da
ist und damit in den Nichtablehnungsbereich von
fällt, besteht keine Veranlassung
abzulehnen.
Ausgaben für Urlaubsreisen
Auswahlsatz Endlichkeitskorrektur kann vernachlässigt werden;
der Grundgesamtheit unbekannt;
;
hypothetischer Wert der Gesamtausgaben:
Teststatistik:Wert der Teststatistik für die Stichprobe:
Batterien Lebensdauer
–Anpassungstest
: Die Stichprobenverteilung der Lebensdauer der Batterien ist normalverteilt
: Die Stichprobenverteilung der Lebensdauer der Batterien ist nicht normalverteilt
- X: Lebensdauer einer Batterie
ist unter
–verteilt mit
Freiheitsgraden, wenn für alle
gilt (I – Anzahl der Klassen, k – Anzahl der zu schätzenden Parameter)
![]() |
Klassen | ![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
---|---|---|---|---|---|---|
1 | -300 | 10 | 160 | 1600 | 0.16 | 16 |
2 | 300-340 | 10 | 320 | 3200 | 0.12 | 12 |
3 | 340-460 | 60 | 400 | 24000 | 0.45 | 45 |
4 | 460- | 20 | 560 | 11200 | 0.27 | 27 |
100 | 40000 |
![]() |
Klassen | ![]() |
![]() |
![]() |
---|---|---|---|---|
1 | -300 | -6 | 36 | 2.25 |
2 | 300-340 | -2 | 4 | 0.33 |
3 | 340-460 | 15 | 225 | 5.00 |
4 | 460 | -7 | 49 | 1.82 |
![]() |
Fehler beim Parsen (Unbekannte Funktion „\begin“): \begin{aligned} \bar{x}&=\displaystyle\frac{1}{n}\sum_ix_ih_j=\frac{1}{100}\cdot40000=400\\ s&=100\\ p_1 & = P(V\leq300)=P\left(Z\leq\displaystyle\frac{300-400}{100}\right)\\ & = P(Z\leq-1)=1-P(Z\leq1)=1-0,841345\approx0,16\\ p_2 & = P(300\leq V\leq340)=P\left(\displaystyle\frac{300-400}{100}\leq Z\leq\displaystyle\frac{340-400}{100}\right)=\\ & = P(-1\leq Z\leq-0,6)= P(Z\leq1)-P(Z\leq0,6)\\ & = 0,841345-0,725747\approx0,12\\ p_3 & =P(340\leq V\leq460)=P\left(\displaystyle\frac{340-400}{100}\leq Z\leq\displaystyle\frac{460-400}{100}\right)\\ & =P(-0,6\leq Z\leq0,6)=2\cdot P(Z\leq0,6)-1\\ &=2\cdot0,725747-1\approx0,45\\ p_4 & = P(V\geq460)=P\left(Z\geq\displaystyle\frac{460-400}{100}\right)\\ & =1-P(Z\leq0,6)=1-0,725747\approx0,27\end{aligned}
Approximationsbedingung erfüllt; ;
Nicht–Ablehnungsbereich:
Ablehnungsbereich:
"
"
Auf einem Signifikanzniveau von 1% und basierend auf einer Zufallsstichprobe vom Umfang konnte statistisch bewiesen werden, dass es sich bei der Stichprobenverteilung der Lebensdauer der Batterien nicht um eine Normalverteilung handelt.
- Weiß man nicht; wir hoffen nicht!
Benzinverbrauch Test
zweiseitiger Test, da Abweichungen von der Behauptung, also nach beiden Seiten;
unbekannt;
Chininhaltige Limonade
,
= “Es wird importiert”
Kunden werden krank
: “Anzahl der Flaschen, die den Vorschriften nicht entsprechen, bei einer Zufallsstichprobe vom Umfang
”
ist unter
–verteilt
- Ablehnungsbereich:
, Nicht–Ablehnungsbereich:
Ablehnungsbereich
- Auf einem Signifikanzniveau von
und basierend auf einer Zufallsstichprobe vom Umfang
konnte statistisch nicht bewiesen werden, dass der Anteil der Flaschen, die den Vorschriften nicht entsprechen, kleiner als 10% ist, d.h. der Großhändler sucht sich einen neuen Importeur.
;
;
Dicke der Fahrbahndecke
Der Bauunternehmer muss nachweisen, dass die Fahrbahndecke zu dünn ist, da er nur dann Abzüge hinnehmen muss.
Risikobetrachtung:
|
|Fahrbahndecke o.k., müsste keine Abzüge hinnehmen
Dies ist für den Bauunternehmer das größere Risiko, das gleich dem Fehler 1. Art ist, für den die Wahrscheinlichkeit mit vorgegeben ist.
Durchmesser von Wellen
- Ablehnungsbereich:
Nicht–Ablehnungsbereich
- Fehler 2. Art
Ablehnungsbereich
- Fehler 1. Art
Durchschnittsgewicht
: “Gewicht des i-ten Hähnchens”;
;
,
= “Angebot zurückweisen”
gutes Geschäft vermasselt
: “Durchschnittliches Gewicht eines Hähnchens bei einer Zufallsstichprobe vom Umfang
”
ist unter
–verteilt
ist unter
t–verteilt mit
Freiheitsgraden
- Ablehnungsbereich:
, Nicht–Ablehnungsbereich:
Ablehnungsbereich
- Fehler 2. Art
Ablehnungsbereich
- Fehler 1. Art
Fachgebiete
Anwendung des Chi-Quadrat-Anpassungstests zur Prüfung der Hypothese, ob die von Bärbel beobachtete Verteilung () mit der theoretisch erwarteten Verteilung (Gerdas Behauptung:
) übereinstimmt. Beide Approximationsbedingungen sind erfüllt.
Prüfwert: Fehler beim Parsen (Unbekannte Funktion „\begin“): \begin{aligned} v&=&\sum_i[(h_i-np_i)^2/np_i]\\ &=&(5-10)^2/10+(35-30)^2/30+(50-40)^2/40+(10-20)^2/20\\ &=&25/10+25/30+100/40+100/20=(300+100+300+600)/120\\ &=&1300/120=10,83\approx10,8\end{aligned}
FKK
Anwendung des –Unabhängigkeitstests, weil die Beziehung zwischen zwei nominalskalierten Zufallsvariablen zu prüfen ist.
: Neigung zu FKK;
: Region
: X und Y sind unabhängig;
: X und Y sind nicht unabhängig
XY | alt | neu | ![]() |
---|---|---|---|
für | 20 (26,7) | 20 (13,3) | 40 |
gegen | 80 (73,3) | 30 (36,7) | 110 |
![]() |
100 | 50 | 150 |
(in Klammern die erwarteten )
ist unter
approximativ
–verteilt mit
Freiheitsgrad.
Ablehnungsbereich der :{
}
Ablehnungsbereich
Auf einem Signifikanzniveau von 1% und basierend auf einer Zufallsstichprobe vom Umfang konnte statistisch bewiesen werden, dass die Neigung zu FKK von der Region der Befragten abhängig ist.
Gewinnspiel–Automat
,
,
,
,
asymptotisch
daher für
Fehler beim Parsen (Unbekannte Funktion „\begin“): \begin{aligned} 0,05 &= P(V\leq c|H_0) \\ &= P\Big( \frac{\overline{U} - \mu_0}{\sqrt{S^2}} \sqrt{n} \leq \frac{c-\mu_0}{\sqrt{S^2}} \sqrt{n} \Big) \\ &= \Phi\Big( \frac{c-\mu_0}{\sqrt{S^2} \sqrt{n}} \Big) \\ \\ 0,95 &= 1-\Phi\Big( \frac{c-\mu_0}{\sqrt{S^2} \sqrt{n}} \Big) \\ &= \Phi\Big( -\frac{c-\mu_0}{\sqrt{S^2} \sqrt{n}} \Big) \\ \\ 1,64 &= -\frac{c-\mu_0}{\sqrt{S^2} \sqrt{n}} = - \frac{c-0}{\sqrt{0.82}} \sqrt{50} \end{aligned}
Grönländische Bohrlochkerne
Gegeben: C;
C;
C (diese Stichprobenergebnisse werden nicht benötigt);
C
Da die Forscher nachweisen wollen, dass eine Erwärmung des Eises stattgefunden hat wird ein rechtsseitiger Test durchgeführt:
C) gegen
C). Daher
.
Es ist der Wert der Gütefunktion C) zu berechnen, denn
- die Gütefunktion
gibt die Wahrscheinlichkeit der Ablehnung von
in Abhängigkeit vom Parameter
an:
- für alle zulässigen Werte von
gilt in Wirklichkeit die Alternativhypothese und mit der Ablehnung der Nullhypothese wird eine richtige Entscheidung getroffen; das ist hier wegen
C
C
gegeben;
- es ist
“
”
.
Fehler beim Parsen (Unbekannte Funktion „\begin“): \begin{aligned} G(\mu=-24,8)&=&1-P\left(V\leq z_{1-\alpha}-\frac{\mu-\mu_0}{\sigma/\sqrt{n}}\right)\\ &=&1-P\left(V\leq1,96-\frac{-24,8-(-25)}{2}\sqrt{100}\right)\\ &=&1-P(V\leq0,96)=1-0,831482=0,168518\approx0,17\end{aligned}
Kaffee Packungen 2
Grundgesamtheit: , Verteilung von
unbekannt,
, Grundgesamtheit kann als sehr groß angesehen werden, mittleres Füllgewicht
unbekannt
hypothetischer Wert:
einfache Zufallsstichprobe: , Stichprobenvariablen sind i.i.d.
linksseitiger Test auf und
Teststatistik :
aus Tabelle der Verteilungsfunktion
, da aufgrund des großen Stichprobenumfangs und des ZGS die Verteilung von
approximativ normalverteilt ist; kritischer Wert:
(wegen Symmetrie der Normalverteilung)
Ablehnungsbereich der ![]() |
![]() |
Nichtablehnungsbereich der ![]() |
![]() |
Fehler 2. Art: fälschliche Beibehaltung der , d.h. “
”
;
“
”|
Inhalt der Gütefunktion:
Es ist (wahr) ; es gilt in Wirklichkeit die Alternativhypothese und mit der Ablehnung von
wird eine richtige Entscheidung getroffen. Es ist
“
”
Berechnung der Gütefunktion: Fehler beim Parsen (Unbekannte Funktion „\begin“): \begin{aligned} G(\mu)&=&P\left(V\leq-z_{1-\alpha}-\frac{\mu-\mu_0}{\sigma/\sqrt{n}}\right)=P\left(V\leq-1,64-\frac{497-500}{15/\sqrt{100}}\right)\\ &=&P\left(V\leq-1,64-\frac{-3}{1,5}\right)=P(V\leq-1,64+2)=P(V\leq0,36)\\ &=& 1-\beta=0,64058\end{aligned}
Kaffee Packungen
g
g
|
Abfüllmenge o.k.|ärger mit dem Kunden
klein halten
: Durchschnittliche Füllmenge einer Kaffeepackung in einer einfachen Zufallsstichprobe vom Umfang
: Füllmenge der i–ten Kaffeepackung;
für alle i, unabhängig
ist unter
–verteilt.
ist unter
–verteilt.
für
aus Tabelle der
Ablehnungsbereich: Nicht–Ablehnungsbereich: Ablehnungsbereiches
Auf einem Signifikanzniveau von
und basierend auf einem Stichprobenumfang von
konnte statistisch bewiesen werden, dass die wahre durchschnittliche Füllmenge einer Packung bei der neuen Kaffeebohnensorte der Norm entspricht.
Fehler beim Parsen (Unbekannte Funktion „\begin“): \begin{aligned} \beta & = 1-G(\mu=501)=1-P(\overline{X}>\overline{x}_c|\mu=501)\\ & = P(\overline{X}\leq\overline{x}_c|\mu=501)\\ & = P\Big( V\leq c-\frac{\mu-\mu_0}{\sigma/\sqrt{n}} \Big)\\ & = P\Big( V\leq2-\frac{501-500}{2} \Big)\\ & = P(V\leq1,5)=0,933193\end{aligned}
Die Wahrscheinlichkeit für einen Fehler 2. Art ist 93,32%, wenn in Wahrheit die mittlere Abfüllmenge
g beträgt.
Fehler beim Parsen (Unbekannte Funktion „\begin“): \begin{aligned} G(\mu=499) & = 1-P \Big( V\leq c-\frac{\mu-\mu_0}{\sigma/\sqrt{n}} \Big)=1-P\Big( V \leq 2-\frac{499-500}{2} \Big)\\ & = 1-P(V\leq2,5)=1-0,99379=0,00621\\ & = P(\text{“} H_1 \text{”}|H_0)=\alpha(\mu=499)\end{aligned}
Die Wahrscheinlichkeit für einen Fehler 1. Art (unberechtigte Annahme der
) beträgt
, wenn das wahre
ist. Fehler beim Parsen (Unbekannte Funktion „\begin“): \begin{aligned} G(\mu=502) & = 1-P\Big(V\leq2-\frac{502-500}{2}\Big)=1-P(V\leq1)\\ & = 1-0,841345=0,158655\\ & = P(\text{“} H_1 \text{”}|H_1)=1-\beta(\mu=502) \end{aligned} Die Wahrscheinlichkeit für die berechtigte Annahme der
, wenn das wahre
ist, beträgt 15,8655%.
Lagerhaltungsprobleme
Chi-Quadrat-Anpassungstest bei Wahl der hypothetischen Verteilung Poisson-Verteilung. Der Parameter
ist unbekannt und muss aus der Stichprobe geschätzt werden:
. Aus der Tabelle der Verteilungsfunktion der Poisson–Verteilung PO(2,0) lassen sich die unter
gültigen Wahrscheinlichkeiten
ermitteln. (5. Spalte der folgenden Tabelle). Für alle Klassen ist die Voraussetzung
erfüllt. Die Anzahl der Freiheitsgrade des Chi–Quadrat–Anpassungstests beträgt
mit
der Anzahl der Klassen und
der Anzahl der aus der Stichprobe zu schätzenden Parameter. Damit resultiert:
.
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
---|---|---|---|---|---|
1 | 0 | 17 | 0 | 0,1353 | 13,53 |
2 | 1 | 20 | 20 | 0,2707 | 27,07 |
3 | 2 | 27 | 54 | 0,2707 | 27,07 |
4 | 3 | 18 | 54 | 0,1804 | 18,04 |
5 | 4 | 18 | 72 | 0,0902 | 9,02 |
6 | 5 und mehr | 0 | 0 | 0,0527 | 5,27 |
![]() |
100 | 200 | 1,0000 | 100 |
Aus der Tabelle der Verteilungsfunktion der Chi–Quadrat–Verteilung findet man:
Mietpreisbindung
–Anpassungstest
: “Mietpreissteigerung [in %]”
: Stichprobenverteilung folgt einer Gleichverteilung in
: Stichprobenverteilung folgt nicht einer Gleichverteilung in
[%];
[%]
[%]
ist unter
approximativ (
für alle
)
–verteilt mit
Freiheitsgraden
Ablehnungsbereich:
, Nicht–Ablehnungsbereich:
-
1 0-1 0 0,2 20 -20 400 20 2 1-2 0 0,2 20 -20 400 20 3 2-3 10 0,2 20 -10 100 5 4 3-4 10 0,2 20 -10 100 5 5 4-5 40 0,2 20 20 60 3600 180 6 5- 40 0 0 Ablehnungsbereich
Auf einem Signifikanzniveau von 0,5% und basierend auf einer Zufallsstichprobe vom Umfang
konnte statistisch bewiesen werden, dass die Stichprobenverteilung keiner Gleichverteilung im Bereich
folgt.
Münzen
: Stichprobenverteilung stimmt mit der vermuteten Verteilung überein
: Stichprobenverteilung stimmt nicht mit der vermuteten Verteilung überein
8 mögliche Ereignisse: ;
;
;
;
;
;
;
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
---|---|---|---|---|---|---|---|
1 | 0 | 24 | 1/8 | 30 | -6 | 36 | 1,2 |
2 | 1 | 108 | 3/8 | 90 | 18 | 324 | 3,6 |
3 | 2 | 85 | 3/8 | 90 | -5 | 25 | 0,277 |
4 | 3 | 23 | 1/8 | 30 | -7 | 49 | 1,633 |
Ablehnungsbereich: , Nicht–Ablehnungsbereich:
Ablehnungsbereich
Neues Präparat
|
Einführung des Präparates|Hersteller lügt; Krankenkassen zahlen, obwohl Heilungsquote minimal
Anzahl der Patienten, bei denen Heilerfolg eintritt, bei einer Zufallsstichprobe vom Umfang
- V ist unter
- Nicht-Ablehnungsbereich:
; Ablehnungsbereich:
- *#
Die Wahrscheinlichkeit für einen Fehler 2. Art (unberechtigte Annahme von ) beträgt 91,65%, wenn die wahre Heilungsquote 50% beträgt.
- 2.
- 2.
Die Wahrscheinlichkeit für eine berechtigte Annahme der beträgt 1,16%, wenn die wahre Heilungsquote 40% beträgt.
Paketversandfirma
V ist unter
approximativ
;
;
Ablehnungsbereich der
;
;
Ablehnungsbereich
Auf einem Signifikanzniveau von und basierend auf einer Stichprobe vom Umfang
konnte statistisch gezeigt werden, dass mehr als 90% der Pakete den Empfänger innerhalb einer Woche erreichen. Das Unternehmen beauftragt die Versandfirma mit dem Versand ihrer Pakete.
Phosphatgehalt der Waschmittel (Gütefunktion)
Der Verlauf der Gütefunktion ist nicht abhängig vom Stichprobenergebnis, aber abhängig vom Stichprobenumfang.
Phosphatgehalt der Waschmittel
: “Phosphatgehalt des i-ten Paketes”;
ist beliebig verteilt mit
;
g
,
= “Phosphatgehalt zu hoch”
Phosphatgehalt stimmt; dies ist aus Sicht des Fabrikanten die schlimmere Fehlentscheidung.
: “Durchschnittlicher Phosphatgehalt eines Paketes bei einer Zufallsstichprobe vom Umfang
”
ist unter
approximativ
–verteilt wegen Zentralem Grenzwertsatz,
ist unter
approximativ
–verteilt
- Ablehnungsbereich:
, Nicht–Ablehnungsbereich:
Nicht–Ablehnungsbereich
- Es konnte statistisch bewiesen werden, dass der Richtwert überschritten wird. Die Firma spricht aber von einem statistischen Beweis, dass der Richtwert eingehalten wird (der
!).
ist sehr klein! Kommt bei dieser Hypothesenformulierung nur der Firma zugute, d.h. nur bei einem ganz extrem großen Stichprobenwert von
muss die Firma das Produkt vom Markt nehmen (
).
- Wenn der wahre Wert des mittleren Phosphatgehalts 21,09g ist, würden 50% der Stichproben einen Mittelwert unter 21,09g und der Rest einen Mittelwert über 21,09g ergeben. Bei
nimmt der Prüfwert den Wert
an, was genau der Grenze des Ablehnungsbereiches entspricht. Im Fall von 50% der möglichen Stichproben bekommt man also einen Prüfwert, der nicht zum Ablehnungsbereich gehört.
Schlampiges Gepäck-Handling
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() | ||
---|---|---|---|---|---|---|---|
1 | 0 | 460 | 0,449 | 449 | 11 | 121 | 0,269 |
2 | 1 | 350 | 0,360 | 360 | -10 | 100 | 0,278 |
3 | 2 | 135 | 0,144 | 144 | -9 | 81 | 0,563 |
4 | 3 | 40 | 0,038 | 38 | 2 | 4 | 0,105 |
5 | 4 | 15 | 0,008 | 8 | 7 | 49 | 5,125 |
6 | ![]() |
0 | 0,001 | 1 | -1 | 1 | 1 |
: Stichprobenverteilung des Gepäckverlustes entspricht einer Poisson-Verteilung,
: Stichprobenverteilung des Gepäckverlustes entspricht nicht einer Poisson-Verteilung
ist unter
approximativ (
für alle
,
für
der
)
–verteilt mit
Freiheitsgraden
- Ablehnungsbereich:
, Nicht–Ablehnungsbereich:
- siehe obige Tabelle
Ablehnungsbereich
läßt sich statistisch nicht beweisen! Auf einem Signifikanzniveau von
und basierend auf einer Zufallsstichprobe vom Umfang
konnte lediglich statistisch bewiesen werden, dass es sich um eine Poisson-Verteilung handelt.
Schwergewichtsboxer
,
das will er beweisen
: “Anzahl der von J.Knockout gewonnenen Kämpfe bei einer Zufallsstichprobe vom Umfang
”
ist unter
–verteilt
- Ablehnungsbereich:
, Nicht–Ablehnungsbereich:
Ablehnungsbereich
- Fehler 2. Art
- Auf einem Signifikanzniveau von
und basierend auf einer Zufallsstichprobe vom Umfang
Kämpfen konnte statistisch nicht gezeigt werden, dass J. Knockout der bessere Boxer ist.
Skirennen (Gütefunktion)
;
;
- Die Skizze ist in den Lösungen nicht enthalten.
Skirennen
,
= “Hang bleibt wie gesteckt”
Krankenhaus überfüllt
: “Anzahl der Gäste, die ausscheiden, bei einer Zufallsstichprobe vom Umfang
”
ist unter
–verteilt
- Ablehnungsbereich:
, Nicht–Ablehnungsbereich:
Ablehnungsbereich
- Auf einem Signifikanzniveau von
und basierend auf einer Zufallsstichprobe vom Umfang
konnte statistisch nicht bewiesen werden, dass die Ausfallquote kleiner als 10% ist.
Sollwerte
,
: “Füllgewicht der i-ten Konserve”;
;
: “Durchschnittliches Füllgewicht einer Konserve bei einer Zufallsstichprobe vom Umfang
”
ist unter
–verteilt
unbekannt, aber
Verwendung der Normalverteilung
ist unter
approximativ
–verteilt
Ablehnungsbereich:
, Nicht–Ablehnungsbereich:
Ablehnungsbereich
; Produktionsprozeß stoppen.
,
(das will Abnehmer beweisen!)
Spezialgefrierschränke (Gütefunktion)
- **
- Die Skizze ist in den Lösungen nicht enthalten.
Spezialgefrierschränke
C,
C
“Kunden zufrieden?”
Ruin
: “Durchschnittliche Temperatur eines Spezialgefrierschrankes bei einer Zufallsstichprobe
”
: “Temperatur des
–ten Spezialgefrierschrankes”;
;
ist unter
–verteilt
ist unter
-verteilt
- Ablehnungsbereich:
, Nicht–Ablehnungsbereich:
- **
Ablehnungsbereich
- Auf einem Signifikanzniveau von 2,275% und basierend auf einer Zufallsstichprobe vom Umfang n = 100 konnte statistisch bewiesen werden, dass die durchschnittliche Temperatur der Geräte unter -25
C liegt. Somit keine Produktionsveränderung notwendig.
- Auf einem Signifikanzniveau von 2,275% und basierend auf einer Zufallsstichprobe vom Umfang n = 100 konnte statistisch bewiesen werden, dass die durchschnittliche Temperatur der Geräte unter -25
- **
Ablehnungsbereich
- Auf einem Signifikanzniveau von 2,275% und basierend auf einer Zufallsstichprobe vom Umfang
konnte statistisch nicht bewiesen werden, dass die durchschnittliche Temperatur der Geräte unter -25
C liegt. Somit Produktionsveränderung notwendig.
- Fehler 2. Art
- Frage kann nicht beantwortet werden; Fehler ist unterlaufen oder nicht.
- Auf einem Signifikanzniveau von 2,275% und basierend auf einer Zufallsstichprobe vom Umfang
ist an der Nahtstelle der Hypothesen stets am größten
Testfunktion
Für den Ablehnungsbereich gilt
.
Für jedes ist
, d.h. das vorgegebene Signifikanzniveau wird nicht eingehalten.
Oder: ;
,
für
,
;
für
,
.
für
,
.
Torerfolge
: “Torerfolge pro Spiel”
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
---|---|---|---|---|---|---|---|
1 | 0 | 18 | 0,0334 | 10 | 8 | 64 | 6,40 |
2 | 1 | 24 | 0,1134 | 34 | -10 | 100 | 2,94 |
3 | 2 | 56 | 0,1929 | 58 | -2 | 4 | 0,07 |
4 | 3 | 63 | 0,2187 | 66 | -3 | 9 | 0,14 |
5 | 4 | 61 | 0,1858 | 56 | 5 | 25 | 0,45 |
6 | 5 | 39 | 0,1263 | 38 | 1 | 1 | 0,03 |
7 | 6 | 26 | 0,0716 | 21 | 5 | 25 | 1,19 |
8 | 7 | 6 | 0,0348 | 10 | -4 | 16 | 1,60 |
9 | 8 | 5 | 0,0148 | 4 | 1 | 1 | 0,25 |
10 | 9 | (2)2 | 0,0056 | (3)2 | -1 | 1 | 0,33 |
11 | ![]() |
0 | 0,0027 | 1 |
Werte in Klammern, wenn alle Werte mit in einer Klasse.
: Stichprobenverteilung entspricht einer
: Stichprobenverteilung entspricht nicht einer
ist unter
approximativ (
für alle
,
für mindestens
der
)
–verteilt mit
Freiheitsgraden
- Ablehnungsbereich:
, Nicht–Ablehnungsbereich:
Ablehnungsbereich
- Auf einem Signifikanzniveau von
und basierend auf einer Zufallsstichprobe vom Umfang
konnte statistisch nicht bewiesen werden, dass die Stichprobenverteilung der Torfolge nicht einer
entspricht.
Werbeaktion
,
,
,
,
;
asymptotisch:daher für
Fehler beim Parsen (Unbekannte Funktion „\begin“): \begin{aligned} 0,05 =& P(V\leq c|H_0)=P\Bigg(\frac{\overline{U}-\mu_0}{\sqrt{S^2}}\sqrt{n}\leq\frac{c-\mu_0}{\sqrt{S^2}}\sqrt{n}\Bigg)=\Phi\Big(\frac{c-\mu_0}{\sqrt{S^2}}\sqrt{n}\Big)\\ 0,95 =&1-\Phi\Big(\frac{c-\mu_0}{\sqrt{S^2}}\sqrt{n}\Big)=\Phi\Big(-\frac{c-\mu_0}{\sqrt{S^2}}\sqrt{n}\big)\\ 1,64=&-\frac{c-\mu_0}{\sqrt{S^2}}\sqrt{n}=-\frac{c-165}{\sqrt{900}}\sqrt{900} \end{aligned}
Wetterlage und Geschäftslage
: “Wetterlage”;
: “Geschäftslage”
-
=gut
=normal
=schlecht
=Regentag
5 10 5 20 =Sonnentag
15 5 10 30 20 15 15 50 : Wetter und Geschäftslage sind stochastisch unabhängig
: Wetter und Geschäftslage sind nicht stochastisch unabhängig
ja, da alle
ist unter
approximativ
–verteilt mit
Freiheitsgraden.
Tabelle mit
=gut
=normal
=schlecht
=Regentag
8 6 6 20 =Sonnentag
12 9 9 30 20 15 15 50 Ablehnungsbereich:
, Nicht–Ablehnungsbereich:
Ablehnungsbereich
Ablehnungsbereich:
, Nicht–Ablehnungsbereich:
Ablehnungsbereich
(i) Fehler 2. Art, (ii) Fehler 1. Art
Wocheneinkommen
X:Wocheneinkommen in diesem Stadtteil, Verteilung unbekannt, EUR;
:Durchschnittliches Wocheneinkommen in diesem Stadtteil,
ist approximativ (Zentraler Grenzwertsatz,
mit
,
,
,
,
,
Zigarettenpreis
: “Zigarettenkonsum des
–ten Rauchers pro Tag”;
;
ist beliebig verteilt mit
und
,
das will der Prokurist beweisen
: “Durchschnittlicher Zigarettenkonsum eines Rauchers pro Tag bei einer Zufallsstichprobe vom Umfang
”
ist unter
approximativ
–verteilt wegen Zentralem Grenzwertsatz und
ist unter
approximativ
- Ablehnungsbereich:
, Nicht–Ablehnungsbereich:
,
Ablehnungsbereich
- Fehler 2. Art
- Auf einem Signifikanzniveau von
und basierend auf einer Zufallsstichprobe vom Umfang
konnte statistisch nicht gezeigt werden, dass sich der durchschnittliche Zigarettenkonsum verringert hat.
Zugkraft eines Drahtseiles
;
;
;
;
;
Fehler beim Parsen (Unbekannte Funktion „\begin“): \begin{aligned} G(\mu) &= P\Big( V\leq-c-\frac{\mu-\mu_0}{\sigma}\sqrt{n}\Big)\\ G(14,8) &= P\Big( V\leq-1,41-\frac{14,8-15}{0,4964}\sqrt{49} \Big)\\ &= P(V\leq-1,41+2,82)\\ &= P(V\leq1,41)\\ &= 0,92073\\ \beta &= 1-0,92073=0,07927\end{aligned}