التوزيع الطبيعي

التوزيع الطبيعي,المثال التفاعلي للتوزيع الطبيعي,المثال الداعم للتوزيع الطبيعي ,المعلومات للتوزيع الطبيعي

6.7 التوزيع الطبيعي

يوزع المتغير العشوائي المستمر X توزيعا طبيعيا مع العناصر و ويشار له اذا وفقط اذا تابع كثافته الاحتمالي  :

تابع التوزيع له:

يعتمد التوزيع الطبيعي على العنصرين و , أي القيمة المتوقعة والانحراف المعياري للمتغير العشوائي X

القيمة المتوقعة, التباين و الانحراف المعياري

خاصتان هامتان للمتغيرات العشوائية الطبيعية :

التحويل الخطي:

لدينا X موزع توزيع طبيعي و Y هو تركيب خطي الى X:

عندئذ المتغير العشوائي Y له التوزيع الطبيعي أيضا :

$Y\sim N(a+b\mu ,\;|b|\cdot \sigma )$

قيم العناصر للمتغير العشوائي المحول , يتبع من قواعد الحساب مع القيم المتوقعة و التباينات:

$E(a+bX)=a+b\cdot E(X)$

$Var(a+bX)=b^{2}Var(X)=b^{2}{\sigma }^{2}$.

خاصة اعادة الانتاج  : دعنا نعتبر المتغيرات العشوائية n مع التوزيعات الطبيعية

مجموع المتغيرات العشوائية الموزعة طبيعيا والمستقلة , بمعنى

لأجل واحد على الأقل , ويكون له توزيع طبيعي ثانية

يعرض الشكل البياني تابع الكثافة والتوزيع للمتغير العشوائي ( N(2;1

تابع الكثافة الاحتمالي

تابع التوزيع

المتغير العشوائي المعياري:

يشير المتغير العشوائي Z بالمتغير العشوائي المعياري الذي يتمركز حول متوسطه ويقاس بانحرافه المعياري.

اذا X موزع طبيعيا, عندئذ Z له التوزيع الطبيعي أيضا.

التوزيع الطبيعي المعياري :

يشار التوزيع Z عادة بالتوزيع الطبيعي المعياري (1 ; 0 ) N .

تابع الكثافة الاحتمالي للتوزيع الطبيعي المعياري:

تابع التوزيع للتوزيع الطبيعي المعياري:

القيمة المتوقعة و التباين للتوزيع الطبيعي المعياري :

Var(Z) = 1 E(Z) = 0

يعرض تابع الكثافة والتوزيع للمتغير العشوائي الطبيعي المعياري بالأشكال التالية:

تابع الكثافة الاحتمالي (N(0;1

تابع التوزيع (N(0;1

العلاقة بين التوزيع الطبيعي و التوزيع الطبيعي المعياري N( )

أي يشار:

مجال الثقة:

مجال الثقة للمتغير العشوائي X المجال مع الحدود و

أي سيحتوي قيمة المتغير العشوائي X مع الاحتمال ( - 1 ), بمعنى ( -1 .100% ) من كل قيم X التي ستقع في هذا المجال و (.100% ) ستقع خارج المجال ( - 1 ) يشار عادة كدرجة ثقة.

للقيم المعروفة من القيمة المتوقعة من X, يبنى المجال لجعل احتمال X يقع خارج هذه المنطقة ( توجد منطقتين) مع الاحتمال 2 /

ندعو المجال

() = ( )

مجال الثقة المتناظر مع درجة الثقة .

- 1 =( P )

لتأكيد على أهمية الانحراف المعياري كعنصر قياس , انحراف X عن قيمته المتوقعة يقاس عادة بالجداء من

مجال الثقة له الصيغة

X c -

اذا المتغير العشوائي X هو N( ) عندئذ لأجل c + x=

الصيغ التالية:

و P(Z z ) = (z) = 1 - /2 .

القيمة الحرجة للاحتمال /2 - 1 يتم الحصول عليه من قيم الجدول للتوزيع الطبيعي المعياري .

باستعمال هذه القيم نحصل على مجال الثقة للمتغير العشوائي الموزع طبيعيا:

$[\mu -z_{1-\alpha /2}\sigma \leq X\leq \mu +z_{1-\alpha /2}\sigma ]$

والاحتمال "لهذا المجال":

$P(\mu -z_{1-\alpha /2}\sigma \leq X\leq \mu +z_{1-\alpha /2}\sigma )=1-\alpha$

مجال الثقة للمتغير العشوائي الموزع طبيعيا:

أي:

$P(\mu -z_{1-\alpha /2}\sigma \leq X\leq \mu +z_{1-\alpha /2}\sigma )=2\Phi (z)-1$.

لأجل z المعطاة نحسب درجات الثقة للمجال:

$P(\mu -z_{1-\alpha /2}\sigma \leq X\leq \mu +z_{1-\alpha /2}\sigma )$
	$0,6827\quad {\mbox{for }}\quad z=1$
	$0,9545\quad {\mbox{for }}\quad z=2$
	$0,9973\quad {\mbox{for}}\quad z=3$

من جهة أخرى نجد أيضا القيمة z التي تنتج درجة الثقة المطلوبة - 1

مثال:

$P(\mu -z_{1-\alpha /2}\sigma \leq X\leq \mu +z_{1-\alpha /2}\sigma )=0,95</mathz=1,96$