توزيع نسبة العينة

خطأ رياضيات (خطأ في التحويل. أبلغ الخادوم («cli») عن: «SyntaxError: Illegal TeX function Found \begin{array}in 3:1»): {\displaystyle f(x_{i},\pi)=\left\{ \begin{array}[c]{ll}\pi^{x_{i}}(1-\pi)^... ...}\,\,\,\,x_{i}=0,\,1\\ 0 & \text{otherwise}\end{array}\right. }

مع التوقع $E(X_{i})=\pi \,$ والتباين $Var(X_{i})=\pi \cdot (1-\pi )$.

في هذه الحالة تتبع $X\,$ $1/n$ معامل ثابت , ينتج لذلك نسبة العينة ${\widehat {\pi }}$

لها التابع الاحتمالي المتعلق الى $X\,$. القيمة المتوقعة والتباين الى ${\widehat {\pi }}$ تساوي:

$E({\widehat {\pi }})=E(X/n)=E(X)/n=(n{\cdot \pi )}/n=\pi$

$Var({\widehat {\pi }})=\sigma ^{2}({\widehat {\pi }})=Var(X/n)=Var(X)/n^{2}=n{\cdot \pi \cdot (1-\pi )}/n^{2}=\pi \cdot (1-\pi )/n$

التقريب:

نلاحظ نسبة العينة ${\widehat {\pi }}=\sum X_{i}/n\ \$ هي متوسط المتغيرات العشوائية المستقلة $n\,$ لبيرنولي.

لذلك يمكن استعمال $X\sim H(N,M,n)$

خطأ رياضيات (خطأ في التحويل. أبلغ الخادوم («cli») عن: «SyntaxError: Illegal TeX function Found \begin 4:1»): {\displaystyle F_{H}(x;N,M,n)=\left\{ \begin{array}[c]{ll}\frac{\left( \beg... ...N-M)],\dots,min[n,M]\\ & \\ 0 & otherwise \end{array}\right. }

تعطى القيمة المتوقعة والتباين للمتغير الهندسي $X\,$ بواسطة :

$E(X)=n\cdot {\frac {M}{N}}=n\pi$

$Var(X)=\sigma ^{2}(X)=n\pi (1-\pi ){\frac {N-n}{N-1}}=n\cdot {\frac {M}{N}}\cdot {\frac {N-M}{N}}\cdot {\frac {N-n}{N-1}}$

${\widehat {\pi }}$ له تابع التوزيع المتعلق بأن $X=n\cdot {\widehat {\pi }}$.

التوقع والتباين الى ${\widehat {\pi }}$

$E({\widehat {\pi }})={\frac {1}{n}}E(X)=\pi$

$Var({\widehat {\pi }})=\sigma ^{2}({\widehat {\pi }})={\frac {1}{n^{2}}}\sigma ^{2}(X)={\frac {\pi (1-\pi )}{n}}\cdot {\frac {N-n}{N-1}}$

التقريبات :

لأجل $N\,$ و $M\,$ كبيرة و $n/N\,$ صغيرة, سيقرب التوزيع الهندسي بواسطة التوزيع الثنائي مع $\pi =M/N\,$.

قاعدة التجريب : $n/N\leq 0,05$

طبقا لنظرية النهاية المركزية لأجل حجم العينة الكبير بشكل كافي سيقرب التوزيع الهندسي بواسطة التوزيع الطبيعي حتى تحت فروض العينات بدون اعادة

$X\approx N(\mu ,\sigma ){\mbox{ ; }}\mu =E(X)=n\cdot \pi {\mbox{ , }}\sigma =\sigma (X)$

و

${\widehat {\pi }}\approx N(\mu ,\;\sigma ){\mbox{ ; }}\mu =E({\widehat {\pi }})=\pi {\mbox{ , }}\sigma =\sigma ({\widehat {\pi }})$

على التوالي ونعتبر حجم العينة كبير بشكل كافي اذا

$nM/N\geq 5,\ n(1-M/N)\geq 5\,\,and\,\,n/N\leq 0.05$