المفاهيم الاحتمالية

$P(\bullet )$ الذي يقيس درجة الارتباط المعينة مع $A$ (المجموعة الثانوية من فضاء العينة) كالتالي :

خطأ رياضيات (خطأ في التحويل. أبلغ الخادوم («cli») عن: «SyntaxError: Illegal TeX function Found \charin 1:28»): {\displaystyle P(A)=\frac{\char93 \left( \text{basic outcomes in }A\right) }{\ch... ...sing }A\right) }{\char93 \left( \text{elementary events comprising }S\right) } }

الخواص :

$0\leq P(A)\leq 1$

$P(\emptyset )=0$

$P(S)=1$

مثال : رمي حجر نرد فضاء العينة: $S=\{1,2,3,4,5,6\}$ نعرف الحادث `العدد الزوجي` $A=$ الحوادث الأولية في $A$: $\{2\}$,$\{4\}$,$\{6\}$ $P(A)={\frac {3}{6}}=0.5$ $P(A)$ للحادث $A$ كحد التكرار النسبي الى $A$ بمعنى : قيمة التكرار النسبي ستقترب اذا كررت التجربة بعدد لا نهائي من المرات . تفترض بأن النسخ مستقلة عن بعضها البعض . نشير $h_{n}(A)$ للتكرار المطلق الى $A$ الذي يقع في $n$ تكرار , سيعرف التكرار النسبي الى $A$ كالتالي: $f_{n}(A)={\frac {h_{n}(A)}{n}}$ وفقا للمفهوم الاحصائي للاحتمال لدينا $P(A)=\lim _{n\rightarrow \infty }f_{n}(A)$ بما أن $0\leq f_{n}(A)\leq 1$ يتبع ذلك $0\leq P(A)\leq 1$. مثال : قذف قطعة نقود نرمز بواسطة $T$ للحادث ` ظهور النقش ` . لخصت التكرارات المطلقة و النسبية الى $A$ بعد$n$ تجربة في الجدول للأسفل . تعرض هذه العينة المفصلة التقارب غير الرتيب الى $0.5$, الاحتمال النظري لظهور النقش في الرميات المكررة لقطعة نقدية `مناسبة`..

n	$h_{n}(A)$	$f_{n}(A)$
10	7	0.700
20	11	0.550
40	17	0.425
60	24	0.400
80	34	0.425
100	47	0.470
200	92	0.460
400	204	0.510
600	348	0.580
800	404	0.505
1000	492	0.492
2000	1010	0.505
3000	1530	0.510
4000	2032	0.508
5000	2515	0.503

تصور سلسلة التكرارات النسبية $f_{n}\left(A\right)$ كتابع لحجم العينة حيث تزود بعض البديهيات لمفهوم التقارب .

$P$ هو قياس الاحتمال, انه التابع الذي يحدد عدد $P(A)$ لكل حادث $A$ من فضاء العينة $S$.

القاعدة1

$P(A)$ حيث $P(A)\geq 0$ .

القاعدة2

$P(S)=1$

القاعدة3

اذاالحادثين $A$ و $B$ تبادليين ($A\cap B=\emptyset$), عندئذ

$P(A\cup B)=P(A)+P(B)$

بعض الخواص الرئيسية للاحتمال

لدينا الحوادث $A,B,A_{1},A_{2},\ldots \subset S$ و $P(\bullet )$ قياس الاحتمال.

عندئذ تتبع الخواص التالية من البديهيات الثلاثة

$P(A)\leq 1$

$P({\overline {A}})=1-P(A)$

$P(\emptyset )=1-P(S)=0$

$\left(A\cap B=\emptyset \right)\Rightarrow P(A\cap B)=P(\emptyset )=0$

اذا $\ A\subset B$ عندئذ $P(A)\leq P(B)$

اذا $A_{i}\cap A_{j}=\emptyset$ لأجل $i\neq j$ عندئذ $P(A_{1}\cup A_{2}\cup \ldots )=P(A_{1})+P(A_{2})+\ldots$

$P(A\backslash B)=P(A)-P(A\cap B)$

قاعدة جمع الاحتمالات

لدينا الحادثين $A$ و $B$ عندئذ:

$P\left(A\cup B\right)=P\left(A\right)+P\left(B\right)-P\left(A\cap B\right)$

نوسع ذلك لثلاثة حوادث $A$,$B$,$C$

$P(A\cup B\cup C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(A\cap B)-P(A\cap C)-P(B\cap C)+P(A\cap B\cap C)$