مثال لاختبار متوسط المجتمع

مثال لاختبار متوسط المجتمع

سنصور الأن كيف المعلومات حول المجتمع تؤثر في اختيار الاختبار الاحصائي , تعتمد مجالات القرار على العينة.

تنتج اطارات السيارة بتغيير مزيج المواد الخام التي تدخل في عملية الانتاج في محاولة لزيادة متوسط عمر الناتج. أولا بعد بيع الاطارات الجديدة , انتقد المنافسون متوسط العمر للاطارات الجديدة لا يتجاوز عمر الاطارات القديمة وهو معلوم 38000 كم.

المتغير العشوائي هو العمر الحالي لمجتمع الاطارات الجديدة والمقاس بالكم ويشار له بواسطة $X$ وادعاء المنتجين بأن توقعه $E(X)=\mu$ أكبر من من الأنواع القديمة $\mu _{0}=38000$

تريد الادارة اختبار الادعاء بشكل علمي وتأمل لجان التحقق الاحصائي بأن متوسط العمر للاطارات يزداد بمعنى: $\mu \leq \mu _{0}$ لكن يريدون تصغير خطر عمل القرار الخاطئ حتى يتجاوز انتقادات المنافسين

الفرضيات

حيث الانحرافات باتجاه واحد هو موضوع اهتمامنا , سنجري الاختبار الأحادي الجانب نشير لادعاء المنتجين كفرضية بديلة , ينتج لدينا الاختبار الأحادي الجانب الأيمن:

$H_{0}:\;\mu \leq \mu _{0}\quad {\mbox{(38000 km)}}$

$H_{1}:\;\mu >\mu _{0}\quad {\mbox{(38000 km)}}$

مقابل , حيث: $\mu _{0}=38000$

هل يدعم هذا الاجراء رأي المنتجين , نجيب على هذا السؤال بتحليل الأخطاء الممكنة .

رفض $H_{0}$ , ينتج احتمال خطأ النوع الأول, يصنع قبول الفرضية الصفرية خطأ النوع الثاني .

يؤكد المنتجون على خطأ النوع الأول بأنه صغير , فأثارها أكثر شدة من تلك خطأ النوع الثاني مع مرور عملية الانتاج والعينة الملائمة للاطارات تزداد بشكل تدريجي.

يعطى الاحتمال الأعظم لخطأ النوع الأول بواسطة مستوى الدلالة $\alpha$ , يسيطر على عنصر الانتاج لهذا يتماشى الاختبار مع المنتجين .

احتمال عمل خطأ النوع الثاني غير معلوم , لهذا متوسط العمر الحقيقي لمخرجات الاجراءات الجديدة غير معلومة.

احتمال عدم تحقق زيادة في متوسط عمر الاطارات قد حدث بالفعل وذلك سعر المنتج ليدفع لاختيار النمط المحافظ للادعاء كفرضية بديلة , والمراقبة الفعالة لمستوى الدلالة لذلك نحتفظ بخطأ النوع الأول صغير.

البديل الأول

مستوى الدلالة وحجم العينة

سنعتبر الاختبار عند مستوى الدلالة $\alpha =0,05$, تأخذ العينة من الحجم $n=10$ من المخرجات , كمجتمع كبير بشكل معقول , تعتبر العينة كعينة عشوائية بسيطة.

الاختبار الاحصائي وتوزيعه, مجالات القرار

أجريت عينة الاطارات قبل تنفيذ التغيرات في عملية الانتاج , لذلك التقلبات في عمر الاطارات توصف بواسطة التوزيع الطبيعي مع الانحراف المعياري $\sigma =1500{\mbox{ km}}$

بفرض هذا التغير صالح في نظام الانتاج الجديد لدينا توزيع متوسط العينة تحت شروط الفرضية الصفرية:

تحت $H_{0}$ الاختبار الاحصائي هو:

$V={\frac {{\overline {X}}-\mu _{0}}{\sigma }}{\sqrt {n}}$

ينتج لذلك التوزيع الطبيعي المعياري :

$V\sim N(0;1)$.

القيمة الحرجة c حيث  : يمكن ايجادها من جدول التوزيع الطبيعي المعياري التجميعي $c=z_{0,95}=1,645$ حيث تكون مجالات القرارات الناتجة:

قبول المجال لأجل $H_{0}$

$H_{0}:\;\{v|v\leq 1,645\}$.

رفض المجال لأجل $H_{0}$

$H_{0}:\;\{v|v>1,645\}$.

العينة وحساب الاختبار الاحصائي

نفرض متوسط العمر للاطارات المختارة العشوائية العشرة هو ${\bar {x}}=39100{\mbox{ km}}$

عندئذ قيمة الاختبار الاحصائي هي:

$v={\frac {39100-38000}{1500}}{\sqrt {10}}=2,32$

قرار الاختبار والتعاريف

لما 2.32 تقع في مجال الرفض لأجل $H_{0}$, سترفض الفرضية الصفرية على أساس العينة من الحجم $n=10$ ومستوى الدلالة $\alpha =0,05$

رأينا احصائيا بأن الاطارات الجديدة تستخدم بشكل أطول من الاطارات القديمة .ذلك يعني  : التوقع $E(X)=\mu$ , الاطارات أكبر من القيمة النظرية $\mu _{0}=38000{\mbox{ km }}$

ينتج الاختبار قبول الفرضية البديلة $H_{1}$ , يزداد متوسط العمر , يعمل المنتجون خطأ النوع الأول $('H_{1}'|H_{0})$

اذا الفرضية الصفرية تصف بشكل صحيح يزداد متوسط العمر لكن احتمال حدوث هذا الخطأ يبقى صغير مع مستوى الدلالة $\alpha =0,05$

اذا الفرضية البديلة صحيحة , عملنا القرار الصحيح $('H_{1}'|H_{1})$.

الاحتمال $P('H_{1}'|H_{1})=1-\beta$ لهذا الموقف سيحسب فقط لعنصر المجتمع الصحيح , بفرض هذه القيمة $\mu =39000$

القوة تكون:

$=1-P\left(V\leq 1,645-{\frac {39000-38000}{1500}}{\sqrt {10}}\right)$	$G(\mu =39000)$
	$=1-P\left(V\leq -0,463\right)=1-\left[1-P\left(V\leq 0,463\right)\right]$
	$=0,783=1-\beta$

البديل الثاني

مستوى الدلالة $\alpha =0,05$ وحجم العينة $n=10$ يبقى ثابت , نتابع

لنفرض التوزيع الطبيعي للاطارات الجديدة لكن نحذف الافتراض للانحراف المعياري الثابت نسمح الأن أن تتغير مع بدء الانتاج الجديد.

الاختبار الاحصائي وتوزيعه, مجالات القرار

نقدر الأن الانحراف المعياري المجهول الجذر التربيعي لتباين العينة $S$ علينا استخدام التابع الاحصائي $V$

$V={\frac {{\overline {X}}-\mu _{0}}{S}}{\sqrt {n}}$

تحت فرض $H_{0}$ له توزيع-t مع درجة الحرية $f=n-1=9$

يمكن مشاهدة القيمة الحرجة $c$ حيث $P(V\leq c)=1-\alpha =0,95$ كربيع أعلى 0.05 لتوزيع-t مع درجة الحرية 9 في جدول توزيع-t ونجده ليكون: $c=t_{0,95;9}=1,833$.

لهذا مجالات قرارنا:

مجال القبول للفرضية $H_{0}$:

$H_{0}:\;\{t|t\leq 1,833\}$

مجال الرفض للفرضية $H_{0}$:

$H_{0}:\;\left\{t|t>1,833\right\}$

نلاحظ بأن حجم مجال القبول ازداد , هذا بسبب اضافة عدم الدقة حول العنصر المجهول $\sigma$

يجب أن يكون هناك سماح أكبر للتغير في الاختبار الاحصائي لنفس مستوى الدلالة ولحجم العينة في الاختبار الطبيعي للانحراف المعياري المعلوم.

العينة وحساب الاختبار الاحصائي

مع متوسط العينة ${\bar {x}}$ , سيحسب الانحراف المعياري للعينة $s$ نفرض قيمهم الفعلية ${\bar {x}}=38900{\mbox{ km}}$ و $s=1390{\mbox{ km}}$.

لهذا قيمة الاختبار الاحصائي الفعلية هي:

$v={\frac {38900-38000}{1390}}{\sqrt {10}}=2,047$

قرار الاختبار والتعاريف

عند $v=2,047$ تقع في مجال الرفض سترفض الفرضية الصفرية $H_{0}$ على أساس العينة من الحجم $n=10$ ومستوى الدلالة $\alpha =0,05$

سنكون قادرين ثانية احصائيا اظهار التوقع الحقيقي (والمجهول) $E(X)=\mu$ لعمر الاطارات الجديدة يزداد عن قيمته النظرية $\mu _{0}=38000{\mbox{ km}}$

بالطبع لانعرف العنصر الحقيقي $\mu$ واذا حدث ليكون أقل من أو يساوي 38000 كم ,

عملنا خطأ النوع الأول لهذا رفضنا الفرضية الصفرية الصحيحة $P('H_{1}'|H_{0})$

في اختبار مستوى الدلالة قيدنا احتمال هذا الخطأ ليكون 5% (تعتمد القيمة الحالية على العنصر الحقيقي $\mu$)

اذا العنصر الصحيح $\mu$ يتوضع ضمن المجال المحدد بواسطة الفرضية البديلة ,

عملنا القرار الصحيح في رفض الفرضية الصفرية $('H_{1}|H_{1})$.

احتمال هذا الحادث $P('H_{1}'|H_{1})=1-\beta$ سيحسب (بشكل تقريبي) لمتوسط المجتمع الصحيح البديل $\mu$

اذا افترضنا الانحراف المعياري للعينة $s$ صحيح في المجتمع

البديل الثالث

بفرض حذف فرض التوزيع الطبيعي حيث الموقف أكثر ملائمة للتطبيقات العملية لاجراء الاختبار التقريبي حول $\mu$.

يتطلب ذلك حجم العينة أكبر من 30, اذا حجم العينة أصغر من 30

لا يمكننا تبرير تطبيق نظرية الحد المركزية كتقريب لن يكون كافي بشكل جيد

يقرر المنتجون اختيار العينة من الحجم $n=35$ اطار ونفرض اختبار مستوى الدلالة ليكون $\alpha =0,025$

الاختبار الاحصائي وتوزيعه, مجالات القرار

كما في البديل الثاني , التابع الاحصائي $V$ :

$V={\frac {{\overline {X}}-\mu _{0}}{S}}{\sqrt {n}}$

سيستخدم, نختار $n>30$ مشاهدات مستقلة يمكننا استخدام نظرية الحد المركزية

ونقرب توزيع هذا التابع الاحصائي المعياري بواسطة التوزيع الطبيعي المعياري:

$N(0;1)$

في العبارة فوق : $V$ لها توزيع طبيعي معياري تقريبي

للعينات المنتهية يخدم التوزيع الطبيعي المعياري كتقريب القيمة الحرجة$c$ حيث: $P(V\leq c)=1-\alpha =0,975$ الربيع

الأعلى (التقريبي) للتوزيع الطبيعي المعياري, $c=z_{0,975}=1,96$. ولدينا مجالات القرار التالية :

مجال القبول للفرضية $H_{0}$:

$H_{0}:\;\left\{t|t\leq 1,96\right\}$

مجال الرفض للفرضية $H_{0}$:

$H_{0}:\;\left\{t|t>1,96\right\}$.

العينة وحساب الاختبار الاحصائي

كما في البديل 2 نحسب كلا متوسط العينة ${\bar {x}}$ والانحراف المعياري للعينة $s$ كمقدرات لقيم عناصر مجتمعهم $\mu$ و $\sigma$ .

نفرض قيمهم ${\bar {x}}=38500{\mbox{ km}}$ و $s=1400{\mbox{ km}}$.

للعينة الجديدة من الحجم 35. عندئذ قيمة الاختبار الاحصائي الفعلي:

$v={\frac {38500-38000}{1400}}{\sqrt {35}}=2,11$

قرار الاختبار والتعاريف

لما $v=2,11$ تقع ضمن مجال الرفض سنرفض الفرضية الصفرية $H_{0}$ على أساس العينة من الحجم $n=35$ ومستوى الدلالة $\alpha =0,05$.

قادرين أن نميز احصائيا بأن متوسط المجتمع الحقيقي $E(X)=\mu$ لعمر الاطارات الجديدة أكبر من العمر الموقع للاطارات قبل تطبيق الاجراءات الجديدة $\mu _{0}=38000{\mbox{ km}}$

اذا الفرضية الصفرية صحيحة في الواقع , عملنا خطأ النوع الأول

نختار احتمال الحدوث لكي لا يتجاوز $\alpha =0,025$ لأي متوسط مجتمع حقيقي ضمن فضاء العنصر المحدد في $H_{0}$

باعطاء خطأ النوع الأول الصغير الاحتمال $\alpha =0,025$ من الأرجح أننا على صواب لرفض الفرضية الصفرية $('H_{1}'|H_{1})$. لكن الاحتمال $P('H_{1}'|H_{1})=1-\beta$

المتعلق سيحسب فقط لقيم العنصر الحقيقية المعينة. كما في البديل 2 افترضنا $\sigma$ معلوم لحساب هذا المقدار بوضع $s=1400{\mbox{ km}}$