Grundbegriffe
Unabhängige Ereignisse
Wir haben gesehen, dass im allgemeinen die Vorinformation über das Eintreten von Ereignissen die Wahrscheinlichkeit für das Auftreten anderer Ereignisse beeinflusst. Im Allgemeinen gilt also:
Wenn aber
ist, so hängt das Eintreten von
nicht von dem Eintreten (oder Nichteintreten) des Ereignisses
ab.
und
sind dann voneinander unabhängige Ereignisse (stochastische Unabhängigkeit). Denn wenn
unabhängig ist von
, so ist auch
unabhängig von
.
Dann muss gelten:



Zusatzinformationen
Unabhängig
disjunkt
Beachten Sie den Unterschied zwischen den Begriffen "unabhängig" und "disjunkt":
Sind zwei Ereignisse
und
mit
und
disjunkt, dann gilt:
wegen
für die Wahrscheinlichkeit:
;
aber
Also gilt, dass
und
nicht unabhängig voneinander sein können, sofern sie disjunkt sind, und dass falls sie unabhängig voneinander sind, sie eine gemeinsame Schnittmenge besitzen müssen.
Somit schließen sich disjunkt und unabhängig gegenseitig aus.
Herleitung von Beziehungen bei Unabhängigkeit
Zu zeigen ist: Bei Unabhängigkeit gilt
.
Sind
und
unabhängige Ereignisse, so gilt
Multiplikation beider Seiten mit
und Ausmultiplizieren der linken Seite ergibt:
Nach Addieren des zweiten Terms der linken Seite und Anwenden der Definition für
ergibt sich:
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Gleichermaßen kann man zeigen, dass
gilt.