Zufallsvariable/Aufgaben

Ampeln

Lösung

Auf einer Hauptsträse regeln Ampeln an 4 Kreuzungen unabhängig voneinander den Verkehr. Jede von ihnen gestattet oder verbietet einem Auto die Weiterfahrt mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,5. Ein Auto fährt diese Hauptsträsse entlang. Aus verkehrstechnischen Gründen ist die Anzahl der Verkehrsampeln interessant, an denen das Auto bis zum ersten Halt vorbeifährt.

• Man bestimme deshalb die Wahrscheinlichkeit dafür, dass das Auto an keiner, an einer, an zwei, an drei bzw. an allen vier Ampeln vorbeifährt.
• Definieren Sie die zugehörige Zufallsvariable. Um welche Art von Zufallsvariable handelt es sich? Geben Sie die Wahrscheinlichkeitsfunktion dieser Zufallsvariablen an.

Auslastung der Schiffe

Lösung

Sie sind Chef/in in einer kleinen Reederei, die drei Schiffe besitzt. Die Auslastung der Schiffe ist zufällig, auf Grund langjähriger Erfahrung kennen Sie jedoch für jedes Ihrer Schiffe den Erwartungswert dieser Zufallsgröße. Außerdem sind Ihnen die Kosten bekannt, die entstehen, wenn ein Schiff im Hafen liegt, also nicht ausgelastet ist:

Schiff	Erwartete Auslastung	Kosten (in EUR)
	(Tage pro Jahr)	pro Tag im Hafen
1	300	1000
2	320	1200
3	270	700

Gehen Sie davon aus, dass ein Jahr 365 Tage hat. Berechnen Sie die erwarteten Kosten, die Ihnen durch die fehlende Auslastung Ihrer Schiffe in diesem Jahr enstehen werden.

Bahnstrecke Berlin – Nauen

Lösung

An einer Schranke der Bahnstrecke Berlin – Nauen wurden an einem Tag die Abstände der Zugfolge in Minuten gemessen. Die beobachtete Häufigkeitsverteilung für die klassierten Daten enthält die folgende Tabelle:

Klasse	absolute Klassenhäufigkeit $h(x_{i})$
0 - 30	14
30 - 60	18
60 - 90	6
90 - 120	2

Bestimmen Sie das zweite Quartil dieser Häufigkeitsverteilung.

Bauteile

Lösung

Ein Hersteller fertigt eine spezielle Sorte von Bauteilen nur für die beiden Kunden I und II. Die monatliche Nachfrage des Kunden I bzw. II wird durch das Merkmal X bzw. Y beschrieben. Die gemeinsame relative Häufigkeitsverteilung von X und Y lautet:

X		$\sum$
	0	1	2	3
0	0.015	0.03	0.045	0.060	0.15
1	0.040	0.08	0.115	0.165	0.4
2	0.045	0.09	0.140	0.175	0.45
$\sum$	0.100	0.20	0.300	0.400	1.000

• Ist die monatliche Nachfrage der beiden Kunden unabhängig voneinander?
• Wie groß ist die relative Häufigkeit, die Gesamtnachfrage der Kunden I und II zu befriedigen, wenn der Hersteller im nächsten Monat nur 1 Bauteil liefern kann?

Dichtefunktion einer Zufallsvariablen

Lösung

Es sei $f$ eine durch folgende Formel beschriebene gegebene Dichtefunktion der Zufallsvariablen $X$:

$f(x)={\begin{cases}0&{\text{für}}\quad -\infty <x\leq -1,\\a&{\text{für}}\qquad -1\leq x<3,\\0&{\text{für}}\quad \qquad 3\leq x<\infty \end{cases}}$ $a$ ist ein Parameter, der geeignet zu wählen ist. Man bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass $X$ positiv ist.

Dichtefunktion

Lösung

Gegeben sei die Funktion $f(x)={\left\{{\begin{array}{ll}{\frac {3}{8}}(4-4x+x^{2})&,\quad 0\leq x\leq 2\\0&,\quad {\mbox{sonst}}\end{array}}\right.}$

• Zeigen Sie, dass $f(x)$ die Dichtefunktion einer Zufallsvariablen $X$ sein kann.
• Wie lautet die Verteilungsfunktion von $X$?
• Bestimmen Sie den Erwartungswert $E[X]$ und die Varianz $Var(X)$.

Dichtefunktion und Erwartungswert

Lösung

Gegeben ist die Dichtefunktion

$f(x)=\left\{{\begin{array}{ll}0.25x+0.25&{\text{für }}0\leq x\leq 2\\0&sonst\end{array}}\right.$

Geben Sie für den Erwartungswert von $X$ die relevante Formel an und berechnen Sie den numerischen Wert des Erwartungswertes.

Diskrete Zufallsvariable

Lösung

Eine diskrete Zufallsvariable X hat die Wahrscheinlichkeitsfunktion $f(x)={\left\{{\begin{array}{ll}(x^{2}+4)/50&\quad {\mbox{für}}\quad x=0,1,2,3,4\\0&\quad {\mbox{sonst}}\end{array}}\right.}$ Berechnen Sie die folgenden Wahrscheinlichkeiten:

a) $P[\{X=2\}]$ b) $P[\{X<2\}]$ c) $P[\{X\leq 2\}]$ d) $P[\{X>3\}]$ e) $P[\{X<5\}]$

Fachliteratur

Lösung

Die jährlichen Ausgaben der Studierenden für Fachliteratur seien näherungsweise linkssteil dreieckverteilt (siehe Abbildung).

Datei:Bild2.pdf

• Berechnen Sie die Dichtefunktion $f(x)$ und die Verteilungsfunktion $F(x)$.
• Ermitteln Sie $E(X)$ und $Var(X)$.
• Geben Sie folgende Wahrscheinlichkeiten an: $P[\{X\leq 2\}]$, $P[\{2\leq X\leq 3\}]$, $P[\{X\geq 3\}]$.

Fernsehsendung

Lösung

Bei der Fernsehsendung "Wer blamiert sich mehr?" muss ein Kandidat in jeder Runde eine Frage beantworten, indem er eine von fünf vorgegebenen Antwortmöglichkeiten auswählt, von denen nur eine Antwort richtig ist. Die Fragen der einzelnen Runden beziehen sich nicht aufeinander. Sobald er eine Frage falsch beantwortet, ist das Spiel beendet und er erhält den Gewinn, der der letzten von ihm richtig beantworteten Frage zugeordnet ist. Die den einzelnen Spielrunden zugeordneten Gewinne sind wie folgt:

Runde 1: 100 EURRunde 2: 200 EURRunde 3: 300 EURRunde 4: 400 EUR

Beantwortet der Kandidat bereits die erste Frage falsch, dann erhält er keinen Gewinn. Beantwortet er die erste Frage richtig, die zweite Frage aber falsch, dann erhält er 100 EUR. Beantwortet er die erste und die zweite Frage richtig, die dritte Frage aber falsch, dann erhält er 200 EUR. Beantwortet er die erste, zweite und dritte Frage richtig, die vierte Frage aber falsch, dann erhält er 300 EUR. Beantwortet er alle Fragen richtig, dann erhält er 400 EUR.
Wie groß ist sein erwarteter Gewinn, wenn er die Antwort einer Spielrunde zufällig aus den fünf Antwortmöglichkeiten auswählt?

Feuerwehr

Lösung

Ein Feuer kann an folgenden Punkten entlang einer Strecke mit einer gewissen Wahrscheinlichkeit ausbrechen:

Punkt $x$	Wahrscheinlichkeit $P(x)$
-3	0,2
-1	0,1
0	0,1
1	0,4
2	0,2

Die Feuerwehr kann sich irgendwo entlang der Strecke aufstellen, d.h. an einem der fünf Punkte, aber auch an jeder anderen beliebigen Stelle.
An welcher Stelle entlang der Strecke sollte sich die Feuerwehr aufstellen, wenn sie die erwartete quadrierte Fahrstrecke zum Ort des nächsten Feuers minimieren will?

Gemeinsame Verteilung

Lösung

Die gemeinsame Verteilung der diskreten Zufallsvariablen X und Y sei durch folgende unvollständige Wahrscheinlichkeitstabelle gegeben:

X		$\sum$
	0	1	2
0	0.02	0.04	$\Box$	0.4
1	$\Box$	$\Box$	0.30	$\Box$
$\sum \$	0.04	$\Box$	$\Box$	$\Box$

Entscheiden Sie was gilt:

a) $P(X=Y)=0,02$	b) $P(X+Y=2)=0,3$
d) $P(X\cdot Y=1)=0,4$	e) $E(X+Y)=2$
c) $P(Y-X=1)=0,32$	f) $E(X-Y)=-0,5$
g) $Var(X)=0,24$	h) $Var(Y)=0,8$

Glücksrad

Lösung

Ein ideales Glücksrad kann zufällig jeden Wert im Intervall $[0;60]$ annehmen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass dieses Glücksrad den Wert 14,08 annimmt?

Herstellung eines Gutes

Lösung

Ein Unternehmen stellt nur ein Gut her und bietet es zum Preis von 6 EUR
je Stück an. Die monatliche Absatzmenge sei eine Zufallsvariable X mit $E(X)=$ 1000 Stück und $Var(X)=$ 500 Stück$^{2}$. Die Kosten je Stück sind durch folgende Gleichung bestimmt: $Y=250+3X$. Der Umsatz ergibt sich aufgrund folgender Gleichung: $Z=6X$.

• Bestimmen Sie den Erwartungswert und die theoretische Varianz des monatlichen Umsatzes.
• Bestimmen Sie den Erwartungswert und die theoretische Varianz der monatlichen Kosten.
• Bestimmen Sie den Erwartungswert und die theoretische Varianz des monatlichen Gewinns.

ICE

Lösung

Der ICE 594 “Gebrüder Grimm” fährt von Frankfurt nach Berlin. Der Fahrplan sieht folgendermaßen aus:

Von	Abfahrt	Nach	Ankunft	Länge
Frankfurt	15:14	Hanau	15:28	23 km
Hanau	15:29	Fulda	16:08	81 km
Fulda	16:10	Kassel	16:41	90 km
Kassel	16:43	Göttingen	17:00	44 km
Göttingen	17:02	Hildesheim	17:31	78 km
Hildesheim	17:33	Braunschweig	17:58	43 km
Braunschweig	18:00	Wolfsburg	18:17	32 km
Wolfsburg	18:19	Berlin Zoo	19:34	169 km

Wie schnell fährt der ICE 594 (in km/h) im Durchschnitt, wenn nur die reine Fahrzeit zugrunde gelegt wird?

Intervall–Bestimmung

Lösung

Eine stetige Zufallsvariable $X$ habe im Intervall $[a,b]$ die Verteilungsfunktion $F(x)={\frac {x}{6}}-{\frac {1}{3}},\quad x\in [a,b]$

• Bestimmen Sie $a$ und $b$.
• Ermitteln Sie die Dichtefunktion $f(x)$
• Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten $P(6\leq X\leq 8)$ und $P(X=5)$.

Kinder

Lösung

In der folgenden Tabelle ist die Anzahl der Kinder von sechs Personen angegeben:

Person	$P_{1}$	$P_{2}$	$P_{3}$	$P_{4}$	$P_{5}$	$P_{6}$
Anzahl der Kinder	6	2	0	1	2	1

Aus diesen Personen werden drei Personen zufällig ausgewählt (Modell ohne Zurücklegen).

Sei $X$: ”Gesamtzahl der Kinder dieser drei ausgewählten Personen”.

• Geben Sie tabellarisch die Wahrscheinlichkeitsfunktion von $X$ an.
• Geben Sie die Verteilungsfunktion von $X$ an.
• Stellen Sie die Wahrscheinlichkeitsfunktion und die Verteilungsfunktion von $X$ graphisch dar.
• Mit welcher Wahrscheinlichkeit tritt bei den drei zufällig ausgewählten Personen eine Gesamtzahl der Kinder
  • kleiner oder gleich 4,
  • größer als 8,
  • größer 3 und kleiner 9 auf?

Konstante a

Lösung

Es sei $f$ eine durch $f(x)=\left\{{\begin{array}{ll}ax^{2}(1-x)&0\leq x\leq 1,\\0&sonst\\\end{array}}\right.$

gegebene Funktion. Man bestimme die Konstante $a$ so, dass $f$ die Dichtefunktion einer stetigen Zufallsvariablen ist.

Konstanten

Lösung

Gegeben sei die folgende Funktion $f(x)={\left\{{\begin{array}{ll}ax^{2}&\quad {\mbox{für}}\quad 0\leq x<3\\-bx+1&\quad {\mbox{für}}\quad 3\leq x\leq 4\\0&\quad {\mbox{sonst}}\end{array}}\right.}$ mit $a,b>0$. Diese Funktion ist an der Stelle $x=3$ stetig.

• Bestimmen Sie die positiven Konstanten $a$ und $b$ derart, dass $f(x)$ die Dichtefunktion der Zufallsvariablen $X$ darstellt.
• Bestimmen Sie die Verteilungsfunktion $F(x)$.

Lostrommel

Lösung

In einer Lostrommel befinden sich 1000 Lose, die von 1 bis 1000 durchnummeriert sind. Jedes Los mit den beiden Endziffern 33, 44, 55, 66 oder 77 gewinnt 5 EUR. Auf jedes Los mit den Endziffern 0, 1, 2 oder 8 entfallen 2 EUR Gewinn. Alle anderen Lose sind Nieten.

Die Zufallsvariable $X$ beschreibe den Gewinn, der auf ein zufällig ausgewähltes Los entfällt.

• Geben Sie tabellarisch die Wahrscheinlichkeitsfunktion von $X$ an.
• Geben Sie die Verteilungsfunktion von $X$ an.

Maschinenbauunternehmen

Lösung

Eine Abteilung eines Maschinenbauunternehmens stellt Großanlagen eines bestimmten Typs her. Die Wahrscheinlichkeiten, dass im Geschäftsjahr eine bestimmte Anzahl von Anlagen abgesetzt werden kann, haben folgende Werte:

Anlagenzahl	0	1	2	3	4	5
Wahrscheinlichkeit	0.05	0.15	0.25	0.30	0.15	0.10

Die Fixkosten der Abteilung belaufen sich auf 1 Mio. EUR; je gebauter Anlage entstehen variable Kosten in Höhe von 500.000 EUR. Der Erlös pro abgesetzte Anlage beträgt 1 Mio. EUR.
Berechnen Sie den erwarteten Gewinn (bzw. Verlust) der Abteilung.

Mautpflichtige Brücke

Lösung

Die folgende Tabelle gibt die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Anzahl der Personen pro Fahrzeug, die über eine mautpflichtige Brücke fahren, an:

Anzahl der Personen	1	2	3	4	5	6
Wahrscheinlichkeit	0,05	0,43	0,27	0,12	0,09	0,04

Die folgenden alternativen Möglichkeiten zur Preisgestaltung werden in Betracht gezogen:

• EUR 0,50 pro Fahrzeuginsasse
• EUR 0,50 sowohl für das Fahrzeug als auch den Fahrer und EUR 0,35 für jeden weiteren Insassen.

Berechnen Sie die erwarteten Einnahmen pro Fahrzeug für jede der beiden Alternativen.

MegaShop

Lösung

In einem Gewinnspiel der Firma MegaShop werden folgende Preise unter allen Einsendern ausgelost:

1	Preis	zu	1000 Euro
4	Preise	zu	500 Euro
100	Preise	zu	20 Euro

Wieviele Einsender dürfen sich höchstens beteiligen, damit der Erwartungswert eines Gewinnes für jeden Einsender mindestens 5 Euro beträgt?

Platten

Lösung

Eine Stanzmaschine produziert kleine rechteckige Platten, deren Nennmaß
in der Länge 10mm und in der Breite 5mm beträgt. Da die Maschine nicht ganz exakt arbeitet, weicht die Länge einer Platte mit einer Wahrscheinlichkeit von 20% um -2mm vom Nennmaß ab. Bei der Breite kommt es mit einer Wahrscheinlichkeit von 30% zu einer Abweichung von +1mm vom Nennmaß. Andere Abweichungen als diese treten nicht auf. Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine Platte genau im Nennmaß gefertigt wird, beträgt 60%.

Geben Sie in tabellarischer Form die Wahrscheinlichkeitsfunktion für die Plattenfläche (in mm$^{2}$) an und berechnen Sie, welche Plattenfläche man unter den gegebenen Voraussetzungen erwarten kann.

Qualitätskontrolle

Lösung

Bei einer Qualitätskontrolle findet eine dreifache Kontrolle statt. Von den fehlerhaften Stücken werden bei der 1. Kontrolle 80% entdeckt. Von den nicht entdeckten fehlerhaften Stücken stellt die 2. Kontrolle 60% als fehlerhaft fest, bei der 3. Kontrolle werden schließlich 30% der fehlerhaften Stücke entdeckt. Die Entdeckung eines fehlerhaften Stücks kostet bei der 1. Kontrolle 5 Euro, bei der 2. Kontrolle 10 Euro und bei der 3. Kontrolle 20 Euro. Bei den übersehenen fehlerhaften Stücken findet eine Kundenreklamation statt, wobei der Kunde für jedes fehlerhafte Stück 50 Euro erhält. Die Zufallsvariable $X$ beschreibe den Betrag, den ein fehlerhaftes Stück bis zu seiner Entdeckung verursacht.
Bestimmen Sie den Erwartungswert der Zufallsvariablen $X$.

Rechteckverteilung

Lösung

Die stetige Zufallsvariable $X$ ist im Intervall $[-2,6]$ rechteckverteilt.

• Geben Sie die Dichtefunktion $f(x)$ und die Verteilungsfunktion $F(x)$ an und skizzieren Sie beide.
• Ermitteln Sie $E(X)$ und $Var(X)$.
• Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass
  • $X$ negativ ist,
  • $X$ betragsmäßig kleiner als 1 ist,
  • $P(X\leq 2|X{\mbox{ positiv}})$?

Spielkasino

Lösung

In einem Spielkasino wird ein neues Glücksspiel angeboten, bei dem faire Münzen geworfen werden. Im ersten Durchgang des Spiels werden eine grüne und eine rote Münze geworfen. Falls mindestens eine der Münzen Zahl zeigt, ist der Gewinn 1,- EUR. Im anderen Fall ist der Gewinn für die erste Runde 0,- EUR. Im zweiten Durchgang wird die rote Münze ein zweites Mal geworfen. Falls die rote Münze Zahl zeigt und im ersten Durchgang gewonnen wurde, ist der Gewinn für die zweite Runde ebenfalls 1,- EUR. Anderenfalls ist der Gewinn für die zweite Runde 0,- EUR.
Berechnen Sie die gemeinsame Verteilung für die Zufallsvariablen
$X={\mbox{Gewinn in der ersten Runde und }}Y={\mbox{Gewinn in der zweiten Runde}}$.

Umweltschützer

Lösung

Eine Gruppe von Umweltschützern fährt auf das Meer hinaus und sammelt treibende Giftfässer ein. Die Wahrscheinlichkeitsfunktion für
$X$: “Anzahl der am 1. Tag in einer Region gefundenen Fässer” lautet:

$x$	3	4	5
$P(X=x)$	1/4	2/4	1/4

• Mit welcher Wahrscheinlichkeit werden die Umweltschützer am 1. Tag mindestens vier Fässer in einer neuen Region finden?
• Wie viele Fässer finden sie durchschnittlich am 1. Tag in einer neuen Region? Berechnen Sie auch die Varianz von $X$.

Fahren die Umweltschützer einen zweiten Tag in dieselbe Region, verändert sich die Wahrscheinlichkeit für das Auftreten von Fässern. Die bedingten Wahrscheinlichkeiten für $Y$: “Anzahl der am 2. Tag in derselben Region gefundenen Fässer in Abhängigkeit vom Erfolg am 1. Tag” lauten: ${\begin{array}{ll}P(Y=0|X=3)=2/4&P(Y=0|X=4)=1/2\\P(Y=1|X=3)=1/4&P(Y=1|X=4)=1/2\\P(Y=2|X=3)=1/4&P(Y=2|X=4)=0\\&\\P(Y=0|X=5)=3/4&\\P(Y=1|X=5)=1/4&\\P(Y=2|X=5)=0&\\\end{array}}$

• Stellen Sie die gemeinsame Wahrscheinlichkeitsfunktion von X und $Y$ tabellarisch dar.
• Berechnen Sie die Kovarianz von $X$ und Y.
• Sind $X$ und $Y$ statistisch unabhängig? Begründung!

Die Umweltschützer bekommen eine Art “Fundprämie” für die gefundenen Fässer. Ein unbekannter Spender zahlt ihnen 5 EUR für jedes gefundene Fass; zusätzlich erhalten sie für jede Fahrt 10 EUR.

• Welchen Erlös in EUR können die Umweltschützer erwarten, wenn sie in einer neuen Region einmal am 1. Tag und einmal am 2. Tag auf das Meer fahren?

Würfelspiel

Lösung

Für ein Würfelspiel mit idealen Würfeln gilt folgende Regel: Ein Spieler darf auf eine der Zahlen 1, 2, 3, 4, 5, 6 setzen. Dann werden drei Würfel geworfen. Erscheint seine Zahl einmal, zweimal oder dreimal, so erhält er das 1–, 2– bzw. 3–fache seines Einsatzes. Erscheint seine Zahl nicht, verliert er seinen Einsatz.

Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeitsfunktion des Spielgewinns und berechnen Sie den Erwartungswert $E(X)$, wenn der Einsatz 1 EUR ist.

Zufallsvariable X

Lösung

Die Zufallsvariable $X$ hat folgende Dichtefunktion:

$f(x)=\left\{{\begin{array}{ll}{\frac {1}{8}}(x-3)&{\text{für }}3\leq x\leq 7\\0&sonst\end{array}}\right.$

Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis
$\{X>5\}$.

Zurückgelegte Strecke

Lösung

Ein Vertreter besucht täglich seine Kunden. Dabei legt er im Durchschnitt $\mu =140$ km zurück mit einer Varianz von $\sigma =144$ (km$^{2}$).
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit mindestens, dass die täglich zurückgelegte Strecke um höchstens 24 (km) vom Erwartungswert abweicht?

Zweidimensionale Zufallsvariable

Lösung

Die zweidimensionale Zufallsvariable $(X_{1},X_{2})$ besitze die folgende Wahrscheinlichkeitsfunktion:

$X_{1}$
	1	2	3
1	0.1	0.3	0.2
2	0.1	0.1	0.2

Bestimmen Sie den Erwartungswert von $X_{3}=X_{1}+X_{2}$.

Zweidimensionale Zufallsvariable und Erwartungswert

Lösung

Die zweidimensionale Zufallsvariable $(X_{1};X_{2})$ besitze die folgende Wahrscheinlichkeitsfunktion:

$X_{1}$
	1	2	3
1	0.1	0.1	0.2
2	0.2	0.1	0.1
4	0.1	0	0.1

Bestimmen Sie den Erwartungswert der Zufallsvariablen
$Y=X_{1}\cdot X_{2}$.