Schätztheorie/Aufgaben

500 Haushalte

  (Lösung)

In einem Ort wurde eine einfache Zufallsstichprobe vom Umfang $n=500$ Haushalte gezogen und die Haushaltsgrößen wie folgt festgestellt:

Haushaltsgröße
(Personen)	Anzahl der Haushalte
1	100
2	125
3	140
4	80
5	55
	$\sum =500$

Geben Sei ein Konfidenzintervall zum Signifikanzniveau 0,05 für die durchschnittliche Haushaltsgröße in Personen an.

Absolventen der Fakultät

  (Lösung)

Die Studentenvertretung der Fakultät vermutet, dass 60% der Absolventen der Fakultät unmittelbar nach Beendigung des Studiums einen Job erhalten. Wie groß muss der Stichprobenumfang mindestens gewählt werden, um ein Schätzintervall zum Konfidenzniveau $1-\alpha =0,95$ zu erhalten, bei dem der Schätzfehler maximal 0,2 beträgt?

Antibiotikumtabletten

  (Lösung)

Für einen Pharma-Hersteller ist der Wirkstoffgehalt (gemessen in Milligramm) in Antibiotikumtabletten von besonderer Bedeutung. Deshalb überwacht er statistisch den Fertigungsprozess durch die turnusgemäße Entnahme einer einfachen Zufallsstichprobe und die Berechnung des Konfidenzintervalls für den Wirkstoffmittelwert. Speziell in diesem Fall ist eine möglichst genaue Schätzung nötig, da eine nennenswerte Verschiebung des Milligrammbetrages je Tablette unangenehme Nebenwirkungen bei den Patienten hervorrufen würde. Aus dem langjährigen Herstellungsprozess ist Normalverteilung für die Zufallsvariable “Wirkstoffgehalt einer Tablette” mit einer Streuung $\sigma =10$ Milligramm bekannt.
Wie groß muss der Stichprobenumfang bei der turnusgemäßen Entnahme mindestens sein, um jeweils einen Schätzfehler von 2 Milligramm und ein Konfidenzniveau von 98% zu sichern?

Apfelsinen

  (Lösung)

Das Gewicht von Apfelsinen sei $N(\mu ;20{\mbox{g}})$. Aus einer umfangreichen Lieferung werden mittels einer einfachen Zufallsstichprobe 25 Apfelsinen ausgewählt. In dieser Stichprobe wurde ein Gesamtgewicht der 25 Apfelsinen von 7500g ermittelt.
Berechnen Sie mittels eines Konfidenzschätzverfahrens zum Konfidenzniveau $1-\alpha =0,8064$ das konkrete Schätzintervall für den Parameter $\mu$ der Grundgesamtheit.

Brikett

  (Lösung)

Otto hat bei einem Händler für 300 EUR eine Tonne Briketts gekauft. Er will prüfen, ob er für sein Geld mindestens den Gegenwert erhalten hat. Ist weniger als eine Tonne geliefert worden, so würde der Vorrat nicht für den ganzen Winter reichen und Otto müsste frieren. Von der Verbraucherzentrale erfährt er, dass ein Brikett dieser Sorte im Mittel 500g betragen sollte und das Gewicht dieser Briketts normalverteilt ist mit der Varianz $2500{\mbox{g}}^{2}$. Mittels einer einfachen Zufallsstichprobe wählt er 25 Briketts aus der Lieferung und wiegt sie auf der Küchenwaage. Es ergibt sich ein Stichprobenmittelwert von 510g.
Mit welcher Wahrscheinlichkeit wird dieser berechnete Wert überschritten?

Dichotome Grundgesamtheit

  (Lösung)

Gegeben sei eine Zufallsstichprobe (0, 0, 1) aus einer dichotomen Grundgesamtheit, d.h. die Zufallsvariable $X_{i}$ besitzt eine Bernoulli-Verteilung mit dem Parameter $\pi$. Leiten Sie mittels der Methode der kleinsten Quadrate einen Schätzwert für $\pi$ her!

Dioxinausstoß

  (Lösung)

Man nimmt an, dass der Dioxinausstoß einer Kosmetikfabrik normalverteilt ist und im Mittel 5 kg je Minute mit einer Standardabweichung von 1 kg betrage.

• Mit welcher Wahrscheinlichkeit wird der Durchschnitt einer Stichprobe vom Umfang $n=9$ zwischen 4 und 6 kg/min liegen?
• In welchem Bereich wird der Durchschnitt einer Stichprobe vom Umfang $n=9$ mit einer Sicherheit von 95% liegen?
• Wie groß müsste eine Stichprobe sein, um den durchschnittlichen Dioxinausstoß mit einer Sicherheit von 95% auf einen Schätzfehler von $e=0,5$ kg/min genau zu schätzen?
• Geben Sie zum Konfidenzniveau $1-\alpha$ das Konfidenzintervall für den durchschnittlichen Dioxinausstoß an.

Sie messen zu 9 zufälligen Zeitpunkten den Dioxinausstoß (kg/min):

7,0; 4,0; 5,0; 10,0; 9,0; 6,0; 8,0; 6,5; 7,5

• Geben Sie das Schätzintervall zum Konfidenzniveau
  

$1-\alpha =0,98$ an.

Eintagsfliegen

  (Lösung)

Die Lebensdauer von Eintagsfliegen ist annähernd normalverteilt. Eine einfache Zufallsstichprobe vom Umfang $n=16$ ergibt eine durchschnittliche Lebensdauer von 1440 Minuten bei einer Varianz von $s^{2}=57600$.
Zu welchem Konfidenzniveau liefern die angegebenen Stichprobendaten ein Schätzintervall für den bekannten Erwartungswert $\mu$, dass mit $[1263,12;1616,88]$ übereinstimmt?

Erwartungstreue

  (Lösung)

Eine Grundgesamtheit habe den Mittelwert $\mu$ und die Varianz $\sigma ^{2}$.
Sei ($X_{1}$, $X_{2}$, $X_{3}$) eine einfache (theoretische) Zufallsstichprobe aus dieser Grundgesamtheit. Folgende drei Schätzfunktionen sind gegeben: ${\begin{aligned}{\widehat {\theta }}_{1}&=&{\frac {1}{3}}(X_{1}+X_{2}+X_{3})\\{\widehat {\theta }}_{2}&=&{\frac {1}{4}}(2X_{1}+2X_{3})\\{\widehat {\theta }}_{3}&=&{\frac {1}{3}}(2X_{1}+X_{3})\end{aligned}}$

• Welche dieser Schätzfunktionen sind erwartungstreu?
• Welcher Schätzfunktion würden Sie nach dem Kriterium der Wirksamkeit den Vorzug geben? (Begründung!)

Fahrradschläuche

  (Lösung)

Eine Maschine produziert Fahrradschläuche mit einem Durchmesser von 40cm. Man weiß aus Erfahrung, dass der Durchmesser der produzierten Fahrradschläuche vom Zufall abhängt und $N(\mu ;\sigma )$–verteilt ist. Um zu kontrollieren, ob die Maschine noch richtig eingestellt ist, werden 25 Fahrradschläuche zufällig ausgewählt. Aus den 25 Werten wurde ein mittlerer Durchmesser von 41cm bei einer Standardabweichung von 3cm ermittelt.

• Geben Sie explizit das Konfidenzintervall $[V_{u};V_{o}]$ für $\mu$ zum Niveau $1-\alpha$ an!
• Bestimmen Sie das Schätzintervall für $\mu$ ($1-\alpha =90\%$)!
• Wenn Sie davon ausgehen, dass die Stichprobenstandardabweichung garantiert kleiner oder gleich 5cm ist, wie groß müssen Sie dann den Stichprobenumfang mindestens wählen, damit das Schätzintervall maximal 1cm breit wird?

Faktenmagazin

  (Lösung)

Ein bekanntes deutsches Faktenmagazin möchte eine Untersuchung zum Verdienst von Akademikern durchführen. Dafür werden 25 Absolventen der Humboldt-Universität zu ihrem Einstiegsgehalt befragt. Der durchschnittliche Jahresverdienst der befragten Absolventen beträgt 74000 EUR. Die aus der Stichprobe ermittelte Standardabweichung beträgt 10000 EUR. Es wird unterstellt, dass das Einstiegsgehalt normalverteilt ist. Geben Sie ein Schätzintervall zum Konfidenzniveau $1-\alpha =0,99$ an.

Finanzamt

  (Lösung)

Otto N. wartet auf dem Finanzamt. Er weiß, dass die Zeit T, die ein Klient im Zimmer der Beamten verbringt, exponentialverteilt ist: $f(t)=\lambda \cdot e^{-\lambda t}$ Wenn Frau Hurtig Dienst hat, beträgt die durchschnittliche Zeit für die Abfertigung einer Person 3 Minuten, falls Herr Lasch Dienst hat, beträgt die durchschnittliche Zeit für die Abfertigung einer Person 5 Minuten.

Otto N. registriert, dass die drei vor ihm wartenden Personen nach 1 Minute, 5 Minuten und 3 Minuten das Zimmer der Beamten wieder verlassen.

• Stellen Sie die Likelihoodfunktion $L(\lambda )$ für dieses Stichprobenergebnis auf!
• Ermitteln Sie den Maximum-Likelihood-Schätzwert $\lambda$! Wer hat Ihrer Meinung nach Dienst?

Fluggesellschaft

  (Lösung)

Für eine Fluggesellschaft soll die Auslastung der innerdeutschen Flüge untersucht werden. Als Auslastung wird hier der Anteil der belegten Plätze an den insgesamt verfügbaren Plätzen bezeichnet:${\text{Auslastungsanteil in }}\%=100{\frac {\text{belegte Plätze}}{\text{verfügbare Plätze}}}$

Sie sind damit beauftragt, ein Schätzintervall für den Auslastungsanteil anzugeben. Es wird von Ihnen erwartet, dass Sie eine Methode verwenden, die mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,99 ein Konfidenzintervall liefert, dass den wahren Auslastungsanteil enthält. Ihre Stichprobe besteht aus 200 zufällig ausgewählten Sitzen auf innerdeutschen Flügen. Von diesen waren 180 belegt. Geben Sie das entsprechende Schätzintervall an.

Gasverbrauch

  (Lösung)

Die Erfahrung hat gezeigt, dass der Gasverbrauch eines bestimmten Heizungstyps bei Maximaleinstellung normalverteilt ist und im Mittel $5{\mbox{ m}}^{3}$ beträgt. Es wird eine Stichprobe vom Umfang 36 gezogen, die eine Varianz von $4{\mbox{ m}}^{6}$ ergibt.
In welchem Bereich wird der Stichprobenmittelwert mit einer Sicherheit von 95% liegen?

Glücksspiel

  (Lösung)

Die Studentin Fritzi versucht mit Glücksspiel ihr Bafög aufzubessern. An ihrem Lieblingsautomaten hat sie schon 50 Spiele gemacht. Dabei ergaben sich folgende Erträge bei jeweils gleichem Einsatz pro Spiel:

Gewinn minus Einsatz	-1	0	1	2	4
Anzahl	36	11	1	1	1

Geben Sie ein Konfidenzintervall zum Signifikanzniveau 0,05 für den erwarteten Ertrag (Gewinn minus Einsatz) an.

Handybesitzer

  (Lösung)

Ein Telekommunikationsunternehmen will mittels einer einfachen Zufallsstichprobe den Anteil der Handybesitzer in einer Großstadt schätzen.
Berechnen Sie den notwendigen Stichprobenumfang für ein 95%-Konfidenzintervall der Länge 0,06 für den wahren Anteil $\pi$ der Handybesitzer, so dass für jeden möglichen Wert von $\pi$ der Stichprobenumfang ausreichend groß ist. Wie groß muss der Stichprobenumfang mindestens sein?

Jährliche Fahrleistung

  (Lösung)

Es wurden 20 Versicherte einer großen Kfz-Haftpflichtversicherung zufällig ausgewählt und nach ihrer jährlichen Fahrleistung X befragt. Es ist bekannt, dass die jährliche Fahrleistung normalverteilt ist. Die Auswertung der Befragungsaktion ergab eine durchschnittliche jährliche Fahrleistung
${\overline {x}}=25{\mbox{ }}[1000{\mbox{ km}}]$ und eine Varianz $s^{2}=80{\mbox{ }}[10^{6}{\mbox{km}}^{2}]$.

• Wie lautet das Konfidenzintervall zum Konfidenzniveau $1-\alpha$ für die durchschnittliche jährliche Fahrleistung eines Versicherten bei dieser Kfz-Haftpflichtversicherung?
• Bestimmen Sie das Schätzintervall zum Konfidenzniveau von 95%.

Jährliche Fahrleistung 2

  (Lösung)

Es wurden 20 Versicherte einer großen Kfz-Haftpflichtversicherung zufällig ausgewählt und nach ihrer jährlichen Fahrleistung $X$ befragt. Es ist bekannt, dass die jährliche Fahrleistung normalverteilt ist mit einer durchschnittlichen jährlichen Fahrleistung von 25 [1000 km]. Die Auswertung der Befragungsaktion ergab eine Varianz $s^{2}=80$ [$10^{6}$ km$^{2}$].
In welchem zentralen Schwankungsintervall wird der Stichprobenmittelwert mit einer Sicherheit von 95% liegen?

Jährliche Fahrleistung 3

  (Lösung)

Es wurden 100 Versicherte einer großen Kfz-Haftpflichtversicherung zufällig ausgewählt und nach ihrer jährlichen Fahrleistung $X$ befragt.
Die Auswertung der Befragungsaktion ergab eine durchschnittliche jährliche Fahrleistung ${\overline {x}}=25$ [in 1000 km] und eine Varianz $s^{2}=90,25$ $[10^{6}$ km$^{2}$]. Es ist bekannt, dass die jährliche Fahrleistung normalverteilt ist.
Bestimmen Sie ein Schätzintervall zum Konfidenzniveau
$1-\alpha =0,95$ für den Erwartungswert der jährlichen Fahrleistung eines Versicherten bei dieser Kfz – Haftpflichtversicherung.

Kaltwasserverbrauch

  (Lösung)

Man nimmt an, dass der Kaltwasserverbrauch pro Spülgang eines bestimmten Geschirrspülautomaten mit einer Standardabweichung von 2 Litern normalverteilt ist.
Wie groß müsste mindestens eine einfache Zufallsstichprobe sein, um den durchschnittlichen Kaltwasserverbrauch mit einem Konfidenzniveau von 95% auf einen Schätzfehler von
$e=0,5$ Liter genau zu schätzen?

Kilometerleistung

  (Lösung)

• Bei einem Test wurden 49 zufällig ausgewählte PKW’s des gleichen Typs mit der gleichen Kraftstoffmenge ausgestattet. Mit dieser Füllung legten sie im Durchschnitt 50 km zurück. Die Standardabweichung der Grundgesamtheit ist mit 7 km als bekannt vorausgesetzt.
  • Geben Sie explizit das Konfidenzintervall $[V_{u},V_{o}]$ für die durchschnittliche Kilometerleistung $\mu$ dieses PKW-Typs zum Konfidenzniveau 1 - $\alpha$ an!
  • Bestimmen Sie das Schätzintervall für $\mu$
    

($1-\alpha =95\%$)!

• • Wie groß müsste der Stichprobenumfang $n$ gewählt werden, wenn bei gleichem Konfidenzniveau das
    

Schätzintervall für $\mu$ eine Breite von 2 km aufweisen soll?

• Einige Zuschauer dieser Testveranstaltung werden zufällig von einem Reporter ausgewählt und nach ihrer Zugehörigkeit zum ADAC befragt. Unter den 200 befragten Personen befanden sich 40 Mitglieder des ADAC. Bestimmen Sie das Schätzintervall für $\pi$ ($1-\alpha =99\%$)!
• Ein geschäftstüchtiger Automatenaufsteller hat am Rande der Zuschauertribüne einen Kaffee-Automaten aufgestellt, der die Plastikbecher zu je 0,2$\,\ell$ gegen Einwurf einer Münze mit Kaffee füllt. Man kann davon ausgehen, dass die Füllmenge annähernd normalverteilt ist. Eine Zufallsstichprobe vom Umfang $n=5$ ergab folgende Werte in $\ell$: 0,18; 0,25; 0,12; 0,20; 0,25.
  • Geben Sie explizit das Konfidenzintervall $[V_{u};V_{o}]$ für die durchschnittliche Füllmenge $\mu$ dieses Kaffee-Automaten zum Konfidenzniveau $1-\alpha$ an!
  • Bestimmen Sie das Schätzintervall für $\mu$
    

($1-\alpha =95\%$)!

Konfidenzniveau

  (Lösung)

Die Daten einer Strichprobe vom Umfang $n=100$ aus einer Verteilung ergeben für den Erwartungswert $\mu$ der Grundgesamtheit das Schätzintervall [1,6;6,4]. Für die Stichprobenvarianz $S^{2}$ lieferten die Stichprobenwerte die Realisation $s^{2}=100$.
Wie groß ist das Konfidenzniveau $1-\alpha$ des zugehörigen Konfidenzintervalls?

Konfidenzniveau 2

  (Lösung)

Die Daten einer Stichprobe vom Umfang $n=100$ aus einer Verteilung ergeben für den Erwartungswert $\mu$ der Grundgesamtheit das Schätzintervall $[2,1;5,9]$. Für die Stichprobenvarianz $S^{2}$ lieferten die Stichprobenwerte die Realisation
$s^{2}=100$.
Wie groß ist das Konfidenzniveau $1-\alpha$ des zugehörigen Konfidenzintervalls?

Konzentration des Stoffes E

  (Lösung)

Eine Umweltgruppe möchte die mittlere Konzentration des Stoffes E im Wasser schätzen. Man geht davon aus, dass die Konzentration des Stoffes E im Wasser einer Normalveteilung folgt. Eine einfach Zufallsstichprobe von 9 Wasserproben liefert nachstehende Konzentrationswerte:
10; 8; 10; 12; 1; 15; 9; 13; 12.
Berechnen Sie das Schätzintervall für die mittlere Konzentration des Stoffes E im Wasser zum Konfidenzniveau $1-\alpha =0,9$. Runden Sie das Ergebnis auf drei Stellen nach dem Komma.

Kugelschreiber

  (Lösung)

Ein Unternehmen stellt Kugelschreiber her, die jeweils aus einer Schreibmine, einer Metallfeder und einer Kunststoffhülle bestehen. Das Gewicht der Schreibminen hat die Standardabweichung 0,4 g, das Gewicht der Metallfedern die Standardabweichung 0,2 g, das Gewicht der Kunststoffhüllen die Standardabweichung 0,4 g. Alle drei Gewichte sind voneinander unabhängig und normalverteilt. Aus der Produktion von Kugelschreibern wird eine einfache Zufallsstichprobe vom Umfang $n=25$ gezogen. In dieser Stichprobe wird ein Gesamtgewicht der 25 Kugelschreiber von 375 g ermittelt.
Berechnen Sie mittels eines Konfidenzschätzverfahrens zum Konfidenzniveau $1-\alpha =0,8064$ das konkrete Schätzintervall für den Erwartungswert $\mu$ des Gewichts eines Kugelschreibers.

Lampen

  (Lösung)

Eine Lieferung von $N=1000$ Lampen soll mittels einer einfachen Zufallsstichprobe vom Umfang $n=20$ untersucht werden. Mit Hilfe der Zufallsvariablen $X$: “Anzahl der defekten Lampen in der Stichprobe vom Umfang $n=20$” soll die Anzahl $d$ der defekten Lampen in der Lieferung geschätzt werden.

• Geben Sie eine erwartungstreue Schätzfunktion $\theta =f(X)$ für $d$ an und zeigen Sie, dass gilt: $E(\theta )=d$!
• In der vorliegenden Stichprobe ist die Anzahl der defekten Lampen gleich 3. Wie hoch schätzen Sie die Anzahl der defekten Lampen in der Lieferung?
• Sollte man nicht eine uneingeschränkte Zufallsstichprobe verwenden? Andert sich an dem Ergebnis in a), falls man dies tut?

Langlebensdauergarantie

  (Lösung)

Ein namhafter Hersteller von Stromsparlampen gibt eine “Lang lebensdauergarantie”-Garantie für seine Produkte. Um die Qualität der Produktion zu sichern, wird in regelmäßigen Abständen eine einfache Zufallsstichprobe von 100 Stromsparlampen ausgewählt und einem speziellen Dauertest unterzogen.
Bei der Stichprobe des letzten Quartals ergab sich die durchschnittliche Brenndauer von 1300 Stunden, die Varianz der Brenndauer wurde als
$\sum (X_{i}-{\overline {X}}_{i})^{2}/(n-1)=10000$ aus der Stichprobe geschätzt.
Geben Sie ein Konfidenzintervall zum Signifikanzniveau
$\alpha =0,02$ für die erwartete Brenndauer einer Stromsparlampe an.

Likelihood-Funktion

  (Lösung)

$X_{1},X_{2},X_{3}$ und $X_{4}$ sind unabhängige Zufallsvariablen, die Poisson-verteilt sind mit dem unbekannten Parameter $\lambda$. Eine Zufallsstichprobe hat folgende Realisationen ergeben:
$x_{1}=2$, $x_{2}=4$, $x_{3}=6$, $x_{4}=3$.

• Wie lautet die Likelihood-Funktion?
• Ermitteln Sie den Maximum-Likelihood-Schätzwert für den unbekannten Parameter $\lambda$.

Love–Parade

  (Lösung)

Die Durchführung der Love-Parade in Berlin ist heftig umstritten. Befürworter der Love-Parade weisen unter anderem darauf hin, dass dem Berliner Einzelhandel durch die Teilnehmer der Love Parade erhebliche Einnahmen entstehen. Um diesem Argument auf den Grund zu gehen, führt eine Berliner Tageszeitung eine Befragung von 100 zufällig ausgewählten Love-Parade-Teilnehmern durch. Beim Auswerten der Interviews wird ermittelt, dass die Befragten im Durchschnitt 350 EUR während des Love-Parade-Wochenendes ausgeben. Die Stichprobenvarianz der Pro-Kopf-Ausgaben beträgt 576 EUR$^{2}$.
Berechnen Sie das approximative Konfidenzintervall mit überdeckungswahrscheinlichkeit 95% für die mittleren Pro-Kopf-Ausgaben aller Love-Parade-Teilnehmer.

Mietverein

  (Lösung)

Der Mietverein in Brandelin will den durchschnittlichen Mietpreis einer $80{\mbox{ m}}^{2}$–Altbauwohnung schätzen. Man weiß, dass der Mietpreis einer solchen Wohnung normalverteilt ist mit einer Standardabweichung von $\sigma =180$ EUR.
Berechnen Sie den notwendigen Stichprobenumfang für ein 95%–Konfidenzintervall der Länge 120 für den wahren durchschnittlichen Mietpreis einer solchen Wohnung.

Mietverein 2

  (Lösung)

Der Mietverein in Bärenhausen will den durchschnittlichen Mietpreis einer 80m$^{2}$ - Altbauwohnung schätzen. Dazu läßt er sich vom Wohnungsamt 36 derartige Wohnungen zufällig auswählen und die zur Zeit dafür bezahlte Miete erheben.

• Geben Sie zum Konfidenzniveau $1-\alpha$ das Konfidenzintervall für den durchschnittlichen Mietpreis einer 80m$^{2}$ - Altbauwohnung an und beschreiben Sie ausführlich die dort auftauchenden Größen.

Aus der Stichprobe wurden folgende Werte berechnet:
${\overline {x}}=950{\mbox{ EUR}}$; $s=180$ EUR

• Geben Sie das Schätzintervall zum Niveau $1-\alpha =0,98$ an.

Milchfettgehalt

  (Lösung)

Der Milchfettgehalt bei Kühen einer bestimmten Züchtung sei durch eine Zufallsvariable, die einer Normalverteilung mit dem Erwartungswert 3,7352 und der Varianz 0,0081 folgt, beschrieben. Um einen züchterischen Fortschritt zu erreichen, sollen die Tiere mit niedrigen Leistungen laufend ausgesondert und nur 61% als Zuchtkühe verwendet werden.
Geben Sie die untere Grenze für den Fettgehalt an, den die Milch eines Tieres haben soll, das als Zuchttier verbleiben soll.

Mittelwert und Varianz

  (Lösung)

Eine einfache Zufallsstichprobe vom Umfang $n=10$ aus einer Grundgesamtheit ergab folgende Werte:

 2; 4; 3; 5; 1; 4; 5; 1; 2; 3 

Schätzen Sie “möglichst gut” aus diesen Daten den Mittelwert und die Varianz der Grundgesamtheit.

Notwendiger Stichprobenumfang

  (Lösung)

Für die Bundesrepublik Deutschland soll mittels einer einfachen Zufallsstichprobe der Anteil der landwirtschaftlichen Betriebe mit BSE–Verdacht geschätzt werden. Berechnen Sie den notwendigen Stichprobenumfang für ein 99%–Konfidenzintervall der Länge 0,05 für den wahren Anteil $\pi$ der landwirtschaftlichen Betriebe mit BSE–Verdacht. Wieviel muss der Stichprobenumfang mindestens betragen?

PKWs in Berlin

  (Lösung)

Für Berlin soll mittels einer einfachen Zufallsstichprobe der Anteil der Haushalte mit mehr als einem PKW geschätzt werden. Berechnen Sie den notwendigen Stichprobenumfang für ein 95%-Konfidenzintervall der Länge 0,06 für den wahren Anteil $\pi$ der Haushalte mit mehr als einem PKW.
Der Stichprobenumfang muss mindestens betragen:

a) 433	b) 689	c) 748	d) 1050	e) 1068
f) 2663	g) 3912	h) 4101	i) 4998	j) 5012

Schwankungsintervall

  (Lösung)

In einer Grundgesamtheit sei $X$ eine normalverteilte Zufallsvariable mit dem Erwartungswert $\mu =354$ und der Varianz $\sigma ^{2}=506,25$. Aus dieser Grundgesamtheit wird eine einfache Zufallsstichprobe vom Umfang $n=81$ gezogen.
Bestimmen Sie die Grenzen eines zentralen Schwankungsintervalls für den Stichprobenmittelwert $X$ zur Sicherheitswahrscheinlichkeit $1-\alpha =0,95$.

Schweinemäster

  (Lösung)

Ein Schweinemäster möchte Informationen über das Gewicht seiner ausgewachsenen Mastschweine gewinnen. Dazu bittet er den gerade auf seinem Hof Urlaub machenden Studenten S. Tatistik um seine Mithilfe.

Sie ziehen eine Zufallsstichprobe vom Umfang $n=6$ Schweinen und wiegen diese. Es ergaben sich folgende 6 Meßwerte (in kg):
100; 104; 98; 100; 101; 97.

Nehmen Sie an, dass $X$: “Gewicht eines Schweins” eine $N(\mu ;\sigma )$–verteilte Zufallsvariable ist.

• Führen Sie mit Hilfe obiger Daten eine erwartungstreue Punktschätzung für $E(X)=\mu$ bzw. $Var(X)=\sigma ^{2}$ durch!
• Geben Sie explizit das Konfidenzintervall für den tatsächlichen Gewichtsdurchschnittswert $\mu$ zum Konfidenzniveau $1-\alpha$ an!
• Bestimmen Sie das Schätzintervall für $\mu$ ($1-\alpha$ = 95%)!
• Verbalisieren Sie das Ergebnis von c).
• Welche Möglichkeiten haben Sie bei der Planung der Untersuchung, Einfluss auf die Länge des Schätzintervalls zu nehmen?
• Wie würde sich das Schätzintervall verändern, wenn $\sigma ^{2}$ = 6 als bekannt vorausgesetzt werden kann? (Begründung!)

Spielautomat

  (Lösung)

Ein Spielautomat besitzt folgende Wahrscheinlichkeitsverteilung für den Gewinn $X$ pro Spiel (in EUR):

$x$	-1	0	+1
$P(X=x)$	$p$	$p$	$1-2p$

Der Produzent dieser Spielautomaten beauftragt einen Statistiker, eine Schätzung für p durchzuführen, um eine Anhaltspunkt zu haben, ob sich der Wert von $p$ seit Inbetriebnahme der Spielautomaten geändert hat.

• Der Statistiker zieht eine Zufallsstichprobe vom Umfang $n=6$, d.h. er betätigt den Spielautomaten genau 6 mal und schreibt den jeweiligen Gewinn auf. Die Stichprobe ($X_{1}$, $X_{2}$, $X_{3}$, $X_{4}$, $X_{5}$, $X_{6}$) hat sich folgendermaßen realisiert: (-1, 1, -1, 0, 1, 1)
  

Verbalisieren Sie dieses Stichprobenergebnis.

• Geben Sie folgende Wahrscheinlichkeiten an:
  

$P(X=0)$; $P(X=-1)$; $P(X=1)$

• Wie würden Sie die Wahrscheinlichkeiten für den Gewinn $X$ pro Spiel aufgrund der obigen Stichprobe bestimmen, wenn Sie überhaupt keine Informationen über die Wahrscheinlichkeitsverteilung von $X$ besitzen?
• Wie groß ist $P\{(X_{1},X_{2},X_{3},X_{4},X_{5},X_{6})=(-1,1,-1,0,1,1)\}$, wenn man obige Wahrscheinlichkeitsverteilung unterstellt?
• Ermitteln Sie die Maximum-Likelihood-Schätzfunktion für $p$ bei diesem Problem.
• Schätzen Sie $p$ aufgrund des vorliegenden Stichprobenergebnisses nach der Maximum-Likelihood-Methode.
• Schätzen Sie $p$ aufgrund des vorliegenden Stichprobenergebnisses nach der Methode der kleinsten Quadrate.

Sportliche Betätigung

  (Lösung)

Von einem Meinungsforschungsinstitut wurde eine Studie über die sportliche Betätigung von Berliner Jugendlichen erarbeitet. Dazu wurden 200 Berliner Jugendliche zufällig und unabhängig ausgewählt und befragt. 180 der Befragten gaben an, regelmäßig Sport zu treiben. Sie sind beauftragt, ein Schätzintervall für den Anteil der regelmäßig Sport treibenden Berliner Jugendlichen anzugeben. Es wird von Ihnen erwartet, dass Sie eine Methode verwenden, die mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,99012 ein Konfidenzintervall liefert, dass den wahren Anteil enthält.
Geben Sie das entsprechende Schätzintervall an.

Startprobleme

  (Lösung)

Im Winter hat so manches Auto seine Startprobleme. Statistikstudent Karl weiß, dass $X$: “Anzahl der Startversuche bis sein Auto (endlich) anspringt” wie folgt verteilt ist: $P(X=x)=(1-p)^{x-1}\cdot p,$ wobei $p$ die unbekannte Wahrscheinlichkeit dafür ist, dass der Motor bei einem Startversuch anspringt. Um $p$ mit der Maximum-Likelihood-Methode zu schätzen, führt Karl unter gleichen Witterungsbedingungen zwei voneinander unabhängige Startversuchsreihen durch. Bei der ersten Versuchsreihe springt der Motor beim 7. Startversuch ($x_{1}=7$) und bei der zweiten Versuchsreihe springt der Motor beim 3. Startversuch ($x_{2}=3$) an.

• Stellen Sie allgemein ($p$ unbekannt) die Maximum-Likelihood-Funktion $L(p)=P\{(X_{1}=7)\cap (X_{2}=3)\}$ auf!
• Bestimmen Sie für den unbekannten Parameter $p$ den Maximum-
  

Likelihood-Schätzwert ${\widehat {p}}$ zur obigen Stichprobenrealisation!

Stichprobenmittelwert

  (Lösung)

Die Erfahrung hat gezeigt, dass der Gasverbrauch eines bestimmten Heizungstyps bei Maximaleinstellung normalverteilt ist und im Mittel $5{\mbox{m}}^{3}$ beträgt. Es wird eine Stichprobe vom Umfang 25 gezogen, die eine Varianz von $4{\mbox{m}}^{6}$ ergibt.
In welchem Bereich wird der Stichprobenmittelwert mit einer Sicherheit von 99% liegen? Runden Sie auf vier Dezimalstellen.

Studienmotivation

  (Lösung)

Die Studenten einer großen Universität werden nach ihre Studienmotivation befragt. Diese Zufallsvariable hat drei mögliche Realisationen:
0 (nicht motiviert), 1 (motiviert) und 2 (sehr motiviert).
Die unbekannten Anteile dieser Motivationsgrade in der Grundgesamtheit seien $\pi _{0}$, $\pi _{1}$ und $\pi _{2}$. Zu ihrer Schätzung wird eine einfache Zufallsstichprobe vom Umfang $n=10$ gezogen. Die Zufallsvariablen $X_{i}$ stellen den Motivationsgrad des $i$–ten Studenten der Stichprobe dar.
Als Schätzfunktion für $\pi _{1}$ wird ${\widehat {\pi }}_{1}={\frac {1}{10}}\sum _{i=1}^{10}(2X_{i}-X_{i}^{2})$ und für $\pi _{2}$ ${\widehat {\pi }}_{2}={\frac {1}{20}}\sum _{i=1}^{10}(X_{i}^{2}-X_{i})$ vorgeschlagen.

• Sind die beiden Schätzfunktionen erwartungstreu?

• Geben Sie eine erwartungstreue Schätzfunktion für den Anteil der nicht motivierten Studenten an.

• Schätzen Sie $\pi _{0}$, $\pi _{1}$ und $\pi _{2}$, wenn in der Stichprobe die folgenden Antworten auftraten:

  0; 2; 1; 0; 0; 2; 2; 1; 0; 2 

Trinkwasserverbrauch

  (Lösung)

Der sparsame Herr Übergenau kontrolliert genau den Trinkwasserverbrauch seines Haushalts. An 100 aufeinander folgenden Tagen hat er einen durchschnittlichen Wasserverbrauch von 12 l täglich mit einer Standardabweichung von 5 l festgestellt.
Geben Sie ein Konfidenzintervall zum Signifikanzniveau 0,05 für den täglichen Wasserverbrauch von Herrn übergenau an.

Unfallhäufigkeit

  (Lösung)

Sie interessieren sich für die Unfallhäufigkeit an einem Verkehrsknotenpunkt. Sowohl die Polizei als auch die Versicherungsgesellschaften haben diesen Sachverhalt bereits in der Vergangenheit untersucht, so dass Sie auf diese Unterlagen zurückgreifen können:

ll Versicherungsgesellschaft: &

$x$	0	1	2	$xe0,1,2$
$P(X=x)$	0,7	0,1	0,2	0

&
Polizei: &

$x$	0	1	2	$xe0,1,2$
$P(X=x)$	0,1	0,4	0,5	0

Leider unterscheiden sich beide Wahrscheinlichkeitsverteilungen doch recht erheblich voneinander. Um zwischen beiden Verteilungen entscheiden zu können, stellen Sie sich selbst an 5 zufällig ausgewählten Stichtagen an diese Straßenkreuzung und registrieren die Unfälle. Die Stichprobe ergab folgendes Ergebnis: (0, 2, 0, 2, 1)

• Für welche der beiden Verteilungen entscheiden Sie sich nach dem Maximum-Likelihood-Prinzip?
• Für welche der beiden Verteilungen entscheiden Sie sich nach der Methode der kleinsten Quadrate?

Weizenhektarerträge

  (Lösung)

Für 1996 wurden die Weizenhektarerträge [in dt/ha] für
Deutschland mittels einer einfachen Zufallsstichprobe ermittelt. Dabei wurden 48 Hektar aus den neuen Bundesländern und 96 Hektar aus den alten Bundesländern zufällig erfasst. Für die neuen Bundesländer ergab sich ein durchschnittlicher Hektarertrag von 60,4 dt/ha und für die alten Bundesländer ein durchschnittlicher Hektarertrag von 68,8 dt/ha. Aufgrund unterschiedlicher Bodenqualitäten ist die Varianz der Hektarerträge in Deutschland mit $\sigma ^{2}=324$ [dt/ha]$^{2}$ bekannt.
Berechnen Sie mittels eines Konfidenzschätzverfahrens zum Konfidenzniveau $1-\alpha =0,8064$ das konkrete Schätzintervall für den durchschnittlichen Hektarertrag für Weizen in Deutschland.