Abendessen
Gewicht der Apfel-Schale
Gewicht des Mandarinen-Netzes
Gesamtgewicht:
, da
.
Also:
Bäcker Backfrisch
![{\displaystyle Y\sim N(600;8)}](/mmstat/w/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=83a3016ca06774ba3c607266b00c0733&mode=mathml)
; ![{\displaystyle P(594\leq Y\leq 606)=0,546746}](/mmstat/w/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=54eb4c67248e77f01a065e8094b19464&mode=mathml)
Betriebe der chemischen Industrie
![{\displaystyle Y\sim B(750;0,01)}](/mmstat/w/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=9681b4a411b0c7086af0d40e9dca2018&mode=mathml)
![{\displaystyle E(Y)=7,5}](/mmstat/w/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=45c8c82649379c1eae737f90e3e5fdd3&mode=mathml)
ist approximativ
–verteilt.
![{\displaystyle P(Y<8)=0,5246}](/mmstat/w/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=70e800d9e5638895e635c3e7ce708bf6&mode=mathml)
![{\displaystyle P(Y\leq 5)=0,2414}](/mmstat/w/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=fbdaccc5f9b1ee5698a64e7ad1538d3b&mode=mathml)
Bogenschütze
![{\displaystyle X_{i}\sim {\mbox{Bernoulli}}(p){\mbox{ bzw. }}B(1;p)=B(1;0,6)}](/mmstat/w/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=754628a31f9adbe26e344c66c54058d4&mode=mathml)
![{\displaystyle Y=\sum _{i}X_{i}\sim B(n;p)=B(8;0,6)}](/mmstat/w/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=dcb3226f90c5192c4dec873700cbe2d7&mode=mathml)
: Anzahl der Treffer bei einem Schuß kann nur die Werte 1 (Treffer) oder 0 (kein Treffer) annehmen; dichotome Grundgesamtheit
;
; Wahrscheinlichkeiten konstant.
Da Grundgesamtheit unendlich groß ist, kann Modell mit Zurücklegen als Stichprobentechnik unterstellt werden
sind unabhängig voneinander. Die Bedingungen eines Bernoulli–Experiments sind erfüllt.
Treffer
![{\displaystyle P(Y=3)={\binom {8}{3}}\cdot 0,6^{3}\cdot 0,4^{5}=56\cdot 0,216\cdot 0,01024=0,1239}](/mmstat/w/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=9d5e343aa076cc0b55b62684b9bcc182&mode=mathml)
oder
;
Briefmarkenschalter
,
. Vor dem Schalter hat sich nach einer Minute eine Schlange gebildet, wenn in diesem Zeitraum mehr als 5 Kunden eingetroffen sind.
Computernetzwerk
:Wartezeit bis zum nächsten Defekt; X ist exponentialverteilt mit
(Tage bis zum nächsten Defekt);
. ![{\displaystyle P(X>21)={\mbox{exp}}(-21/10)={\mbox{exp}}(-2,1)=0,122}](/mmstat/w/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=11e72f30be5ac4acd5af2da14a20f77d&mode=mathml)
Dichtefunktion
Die Verteilung ist eine Exponentialverteilung mit
–Parameter 2. Da der Erwartungswert von
0,5 ist, ist die Varianz von
gesucht,
, also 0,25.
Eier
: “Anzahl der faulen Eier bei n=3 abhängigen Ziehungen”;
![{\displaystyle P(X=1)=0,6}](/mmstat/w/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=036a5a6b677ae4518247e018afe68151&mode=mathml)
![{\displaystyle P(X\leq 1)=0,8}](/mmstat/w/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=83d1f1bf9a28cec4265560a41f5f9aee&mode=mathml)
![{\displaystyle P(X=3)=0}](/mmstat/w/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=c35ceca11feda157c1cd8b5fcf38c3eb&mode=mathml)
![{\displaystyle E(X)=1}](/mmstat/w/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=74058a30baea70b267ca4560b6ce879b&mode=mathml)
: “Anzahl der guten Eier in Lieferung von 20 Eiern”
ist approximativ
verteilt.
: “Anzahl der faulen Eier in Lieferung von 20 Eiern”
ist approximativ
verteilt.
![{\displaystyle P(Z>2)=0,7939}](/mmstat/w/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=3eab07cab033778482d3b1711aa7b25f&mode=mathml)
![{\displaystyle E(Y)=16}](/mmstat/w/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=00b4f61340362b91802596062b6057f6&mode=mathml)
![{\displaystyle P(Z=16)=0}](/mmstat/w/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=8f0f530ff344b1321b74f3176e4e271a&mode=mathml)
Elektronisches Bauteil
: “Anzahl der Ausfälle pro Stunde”;
: “Wartezeit auf den nächsten Ausfall (in Std.)”; ![{\displaystyle Y\sim EX(2)}](/mmstat/w/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=44e5d555998376b45b37bd5690fcc3ef&mode=mathml)
![{\displaystyle P(Y>2)=0,01832}](/mmstat/w/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=6ade037c26dcda3a68bf82478ff40b5c&mode=mathml)
- Wahrscheinlichkeit, dass bis zum nächsten Ausfall mehr als eine, aber höchstens zwei Stunden vergehen.
![{\displaystyle P[(Y_{1}>2)\cap (Y_{2}>2)]=0,000335}](/mmstat/w/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=3e42175af20e8988d2f3493a680769e7&mode=mathml)
Fahrtkostenzuschuss
![{\displaystyle X_{i}={\mbox{täglicher Arbeitsweg eines Mitarbeiters}};X_{i}\sim N(\mu =50;\sigma ^{2}=32);i=1,\ldots ,50}](/mmstat/w/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=fdfcdc22c19cbca89bdf58c9313d425a&mode=mathml)
Reproduktivitätseigenschaft der Normalverteilung,
für alle
![{\displaystyle Y=\sum _{i=1}^{n}aX_{i}\sim N\left(\sum _{i=1}^{n}a\mu ,{\sqrt {\sum _{i=1}^{n}a^{2}\sigma ^{2}}}\right)}](/mmstat/w/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=f836cbd80009f2cc35527f8efb02bd45&mode=mathml)
![{\displaystyle \mu _{y}=na\mu =50\cdot 0,1\cdot 50=250,\;\sigma _{y}^{2}=na^{2}\sigma ^{2}=50\cdot 0,1^{2}\cdot 32=16}](/mmstat/w/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=dfa8d2e5c1bc43359f1d979325b231d5&mode=mathml)
![{\displaystyle P(Y>255)=1-P(Y\leq 255)=1-P(Z\leq (255-250)/4)}](/mmstat/w/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=e77ca8f40109adbe6329e540556fb2ca&mode=mathml)
![{\displaystyle =1-P(Z\leq 1,25)=1-0,89435=0,10565}](/mmstat/w/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=ddb4abd403c911a01395735ec35b6698&mode=mathml)
Formfehler
: “Anzahl der Formfehler bei
Belegen”
![{\displaystyle X\sim B(10;0,1)}](/mmstat/w/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=fd12e8a4cc31dea22707b36cc8410473&mode=mathml)
![{\displaystyle P(X>1)=0,2639}](/mmstat/w/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=54a5c8b73ed0df0c5a7d5d7625b16671&mode=mathml)
Gaststätte
: Anzahl der am Sonntagabend pro Stunde kommenden Gäste [Auftreten von unabhängigen Ereignissen in einem Kontinuum]
Gäste/Stunde; ![{\displaystyle X\sim PO(5)}](/mmstat/w/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=6d8b5ebfc72a1baa5f4aaeeae273e17c&mode=mathml)
![{\displaystyle P(X=1)=(\lambda ^{X}\cdot e^{-\lambda })/x!=5^{1}\cdot e^{-5}/1!=0,03369\approx 0,0337}](/mmstat/w/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=5d810ebd149ad49ea0cc1976f733129c&mode=mathml)
(Oder unter Verwendung der Tabelle der Verteilungsfunktion der Poisson–Verteilung:
)
Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass in der ersten Stunde genau ein Gast erscheint, beträgt 3,37%.
: Wartezeit auf den nächsten Gast am Sonntagabend; ![{\displaystyle Y\sim EX(\lambda )=EX(25)}](/mmstat/w/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=ad80b6b55c33b73597813d5af0902f40&mode=mathml)
am Sonntagabend (5 Stunden
60 Minuten) d.h.
Minuten
Stunden
Im Mittel vergehen am Sonntagabend 12 Minuten zwischen der Ankunft zweier Gäste.
![{\displaystyle X\sim B(n;p)=B(25;0,3)}](/mmstat/w/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=e98a9a6fc1ebf52b8bca54be0508aa33&mode=mathml)
(2 mögliche Ereignisse:
;
;
; unabhängige Versuche)
; ![{\displaystyle P(X\leq x)=0,9995}](/mmstat/w/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=6e99f51eb80d24cadc083b9cdae92bb6&mode=mathml)
(aus Tabelle der Verteilungsfunktion der
)
Die Kapatitätsgrenze ist bei 15 Nachbestellungen erreicht.
Gemeindegröße
Allgemein gilt
mit
dem
–Quantil der Standardnormalverteilung und
dem
–Quantil der Normalverteilung der Gemeindegröße. Aus den Angaben ergeben sich zwei Gleichungen:
![{\displaystyle q_{\alpha }=(x_{\alpha }-\mu )/\sigma }](/mmstat/w/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=c8d742c160574e2651092c27db144e22&mode=mathml)
![{\displaystyle q_{1-\beta }=(x_{1-\beta }-\mu )/\sigma }](/mmstat/w/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=95ad1f148dd5f7d60b5ce49f9f9db744&mode=mathml)
mit ![{\displaystyle \alpha =0,033626;\quad \beta =0,008894;\quad 1-\beta =1-0,008894=0,991106}](/mmstat/w/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=e6af0639fa969b227a2c034f39e710ed&mode=mathml)
Durch Auflösen der beiden Gleichungen nach
ergibt sich:![{\displaystyle \sigma ={\frac {x_{1-\beta }-x_{\alpha }}{q_{1-\beta }-q_{\alpha }}}}](/mmstat/w/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=ae417c6e36d74fa20680abe7db03bb33&mode=mathml)
Geschirr
Zwei mögliche Ereignisse:
![{\displaystyle A:{\mbox{Geschirr geht an einem bestimmten Tag kaputt und }}}](/mmstat/w/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=a404b5eb7ee2c7de3c6ffb36d009e562&mode=mathml)
;
Unabhängigkeit des Eintretens der Ereignisse von Tag zu Tag;
;
![{\displaystyle \quad X\sim B(n;p)\quad n=5;\quad p=0,7;\quad {\mbox{gefragt: }}P(X=2)=?}](/mmstat/w/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=f93e804432509c7bbf9ac218dcb5b838&mode=mathml)
oder unter Verwendung der Tabellen der Verteilungsfunktion der Binomialverteilung:
![{\displaystyle n=5;\quad p^{*}=1-p=0,3;\quad y=n-x=5-2=3}](/mmstat/w/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=4be56a729b4821367bdcee42a5a5b636&mode=mathml)
Gleichverteilung
stetige Gleichverteilung
![{\displaystyle E(X)=(a+b)/2=16;\;a+b=32}](/mmstat/w/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=1d9310762a0629110702c77d351aa1ca&mode=mathml)
![{\displaystyle Var(X)=(b-a)^{2}/12=12;\;(b-a)^{2}=12^{2};\;b-a=12;\;a=b-12;\;b=12+a}](/mmstat/w/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=be5c58da8f2e5b68b52a5b2b89c20644&mode=mathml)
![{\displaystyle b-12+b=32;\;b=22;\;a+12+a=32;\;a=10}](/mmstat/w/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=9a7f06f8fbddf0ebcf570360ec33bf3d&mode=mathml)
Jahresrendite
Zur Berechnung des Jahresendvermögens ist der Anlagewert mit dem zufälligen Jahreswachstumsfaktor zu multiplizieren. Letzterer ergibt sich aus der in Prozent angegebenen Rendite, indem sie durch 100 dividiert und anschließend zur Zahl 1 addiert wird:
Jahresendvermögen: ![{\displaystyle J=150000(1+R/100)}](/mmstat/w/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=cf163b933b780a5dadd35a2546bad28c&mode=mathml)
![{\displaystyle Var(J)=Var[150000(1+R/100)]=Var(150000+1500\cdot R)=Var(1500\cdot R)=1500^{2}\cdot Var(R)}](/mmstat/w/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=fb884c91e8a1a391171aaa5ab1d9a855&mode=mathml)
Varianz der Rendite R:
da Rendite als gleichverteilt zwischen 6 und 8% angenommen wurde
![{\displaystyle Var(R)=(b-a)^{2}/12=(8-6)^{2}/12=1/3}](/mmstat/w/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=970a256dd28ba2309cf7f093faa6c9e1&mode=mathml)
Damit resultiert:
![{\displaystyle Var(J)=1500^{2}\cdot Var(R)=1500^{2}\cdot 1/3=750000}](/mmstat/w/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=555370e6a6f3c9bd904b2711d53cc96b&mode=mathml)
EUR
Kommode
Hypergeometrische Verteilung mit
,
und
;
Wert der Wahrscheinlichkeitsfunktion für ![{\displaystyle x=2}](/mmstat/w/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=566162f3afaf9f5f67e7d7ca7a4b424e&mode=mathml)
Kornflakes
![{\displaystyle X\sim B(26;0,75)}](/mmstat/w/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=12fe636c45c35e13630493faf70465e0&mode=mathml)
- genau 3 Poster:
;
höchstens 4 Poster:
;
genau 6 Poster:
;
höchstens 1 Poster:
Packungen mit Coupons
Landwirtschaftsexperte
Ereignis
Ereignis ![{\displaystyle {\overline {A}}:{\mbox{BSE-freies Rind}}}](/mmstat/w/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=c43fece26ee7ccc7e4392339d2926bb3&mode=mathml)
und ![{\displaystyle P({\overline {A}})=1-p=0,90}](/mmstat/w/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=8446ffb09a14adeb07e5a4d8b1368682&mode=mathml)
sehr große Gesamtheit (europäischer Rinderbestand), so dass mit oder ohne Zurücklegen keine Rolle spielt
![{\displaystyle X={\mbox{Anzahl des Auftretens BSE--verseuchter Rinder bei n Ziehungen}}}](/mmstat/w/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=55e9d774a9a2731c7ce875f253d6a880&mode=mathml)
Wertebereich: ![{\displaystyle 0,1,2,\ldots ,n}](/mmstat/w/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=45e8a3ee2f0187877589e2462d3210a8&mode=mathml)
mit
und unbekanntem ![{\displaystyle n}](/mmstat/w/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=7b8b965ad4bca0e41ab51de7b31363a1&mode=mathml)
Gegeben: ![{\displaystyle P(X\geq 1)\geq 0,95}](/mmstat/w/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=ad1b51d57148763d92b967ab314d471c&mode=mathml)
Ermittlung von
:
![{\displaystyle P(X\geq 1)=1-P(X=0)=0,95}](/mmstat/w/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=9a7c4af4ab65b0b677cb688b3f890105&mode=mathml)
![{\displaystyle P(X\geq 1)=1-P(X=0)=1-\displaystyle {\binom {n}{0}}\cdot 0,10^{0}\cdot (0,90)^{n-0}=1-0,90^{n}=0,95}](/mmstat/w/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=540b33ebb916803ca5be67ecab8f7da7&mode=mathml)
![{\displaystyle \rightarrow 0,90^{n}=0,05;\qquad n=\ln 0,05/\ln 0,9=28,4332}](/mmstat/w/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=3b4ea304c4148ec3de245a589f7ee68d&mode=mathml)
Es muss also mindestens
gewählt werden.
Kontrolle:
![{\displaystyle X\sim B(28;0,10):\qquad P(x\geq 1)=1-P(X=0)=1-0,0523=0,9477}](/mmstat/w/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=9bfac8ac24f96abed17217ed888529c8&mode=mathml)
wird nicht eingehalten
![{\displaystyle X\sim B(29;0,10):\qquad P(X\geq 1)=1-P(X=0)=1-0,0471=0,9529}](/mmstat/w/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=fb599c555be9b7095b3de15ba6329865&mode=mathml)
eingehalten.
Miss–Wahl
Es bezeichne X die Anzahl der geeigneten Kandidatinnen. Die Zufallsvariable X genügt einer
. Gesucht ist
.
Oder aus der Tabelle der Verteilungsfunktion der
:
![{\displaystyle f_{B}(x;n;p)=F_{B}(n-x;n;1-p)-F_{B}(n-x-1;n;1-p)}](/mmstat/w/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=4372c25f9c54694764259bc5f12d155c&mode=mathml)
Mittagszeit
: “Anzahl der zwischen 13 und 15 Uhr eintreffenden Kunden”;
![{\displaystyle U_{1}\sim EX(8)}](/mmstat/w/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=5413b2a4245a39aea9e2906025012642&mode=mathml)
![{\displaystyle P(U_{1})>1/4)=0,1353}](/mmstat/w/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=33569dfbb75f653c3b3ca665d84633f7&mode=mathml)
![{\displaystyle P(U_{1}>1/4+1/8|U_{1}>1/4)=0,3679}](/mmstat/w/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=782e62e1dbab87ecc85dacd065fcac5b&mode=mathml)
- **
ist stetig gleichverteilt in
![{\displaystyle P(U_{2}\leq 1+1/2|U_{2}>1)=0,25}](/mmstat/w/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=42abd9b597a44a4a32d0da2c5cd075fc&mode=mathml)
Parkplaketten
;
![{\displaystyle X\sim B(n;p)=B(3;0,4)}](/mmstat/w/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=ad74c34dc3fdd50558fcbed07a137270&mode=mathml)
![{\displaystyle P(X\geq 2)=1-P(X<2)=1-P(X\leq 1)=1-F_{B}(1;3;0,4)=0,352}](/mmstat/w/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=8d1e16a21f376f5328ea30f49f715f00&mode=mathml)
Pizza– und Kuchenverkauf
![{\displaystyle X_{A}={\mbox{Anzahl der Kuchen-Kunden in 20 Minuten}}\sim {\mbox{Poisson}}(4)}](/mmstat/w/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=1a806b8e2f199bbbc67b841deb1ce5af&mode=mathml)
![{\displaystyle X_{B}={\mbox{Anzahl der Pizza-Kunden in 20 Minuten}}\sim {\mbox{Poisson}}(1)}](/mmstat/w/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=99a3e486b3293f97cbd051eb66d6d25c&mode=mathml)
![{\displaystyle T_{A}={\mbox{Wartezeit auf ersten Kuchen-Kunden}}\sim {\mbox{Exp}}(4)}](/mmstat/w/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=e1527e1a6ad1bbd2df5306c78926400c&mode=mathml)
![{\displaystyle T_{B}={\mbox{Wartezeit auf ersten Pizza-Kunden}}\sim {\mbox{Exp}}(1)}](/mmstat/w/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=2d0eb9b2f97752b7eda640b6a31af42d&mode=mathml)
Da:
folgt
Polizeistation
![{\displaystyle X={\mbox{Zeit bis zur ersten Unfallmeldung}}\sim {\mbox{EX}}(0,5)}](/mmstat/w/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=f7f5444a19830ca0690ca1af8c618205&mode=mathml)
für
und ![{\displaystyle \lambda =0,5}](/mmstat/w/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=66567ffcf0b6dda83c555c497881a887&mode=mathml)
Produktionsanlage
X: Anzahl der Ausschußstücke
Wegen p klein und n groß ist
mit ![{\displaystyle \lambda =np=500\cdot 0,002=1}](/mmstat/w/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=cceb44f018b1fa1cf48d7266e43ddfb1&mode=mathml)
Mindestens 499 Stück normgerecht entspricht ![{\displaystyle (X=0)\cup (X=1)=(X\leq 1)}](/mmstat/w/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=479ec95ada2a6700daec3cc9bf1892c2&mode=mathml)
(aus Tabelle der Poisson–Verteilung)
Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass unter
Stück mindestens 499 Stück normgerecht sind, beträgt 73,58%.
Bzw. ohne Approximation:
![{\displaystyle X\sim B(500;0,002)}](/mmstat/w/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=65b16df9da90229fbcf1f7ee4caeaf15&mode=mathml)
Prüfgebiete
Hypergeometrische Verteilung mit
,
und
;
Wert der Wahrscheinlichkeitsfunktion für ![{\displaystyle x=2}](/mmstat/w/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=566162f3afaf9f5f67e7d7ca7a4b424e&mode=mathml)
Prüfungsfragen
: “Anzahl des Auftretens einer beantwortbaren Frage bei
abhängigen Ziehungen”;
![{\displaystyle P(X=3)=0,0333}](/mmstat/w/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=04ca0b8a311454ea86776a3571452bf8&mode=mathml)
![{\displaystyle P(X\geq 1)=0,8333}](/mmstat/w/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=dde425c405551f3f44653fb35c98b2c3&mode=mathml)
Radrennen
Geamtzahl der Fahrer: ![{\displaystyle 10\cdot 3=30}](/mmstat/w/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=59055873ad039c2d1d18607e6747162a&mode=mathml)
Auswahl von 4 Fahrern aus 30 ohne Berücksichtigung der Reihenfolge und ohne Wiederholung:
Auswahl von 4 Fahrern aus 30, wobei 3 vom eigenen Team sind = Auswahl von einem Fahrer aus 27:
Wahrscheinlichkeit, dass alle drei Fahrer vom eigenen Team ausgewählt werden:
Oder über die hypergeometrische Verteilung:
Radrennfahrer
Ereignisse: Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („cli“) hat berichtet: „SyntaxError: Expected [, ;!_#%$&], [a-zA-Z], or [{}|] but "\\" found.in 1:61“): {\displaystyle A=\mbox{Unfall bei Anton},\;P(A)=1/12000;\; \\ B=\mbox{Unfall bei Bertram},\;P(B)=1/10000}
![{\displaystyle X={\mbox{Anzahl der Unfälle von Anton in zwei Wochen}}}](/mmstat/w/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=38428195d2a5f1b85f7e4e0c7491eaea&mode=mathml)
![{\displaystyle Y={\mbox{Anzahl der Unfälle von Bertram in zwei Wochen}}}](/mmstat/w/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=4b4400b33ac3b60c077fae2c34033bbb&mode=mathml)
In beiden Fällen:
Wahrscheinlichkeiten für das Eintreten des Ereignisses (Unfall) sehr klein,
d.h. seltene Ereignisse und Anzahl
der unabhängigen Versuche (gefahrene Kilometer in zwei Wochen) sehr groß:
![{\displaystyle n({\mbox{Anton}})=14({\mbox{Tage}})\cdot 180({\mbox{km/Tag}})=2520{\mbox{ km}};n({\mbox{Bertram}})=14({\mbox{Tage}})\cdot 210({\mbox{km/Tag}})=2940{\mbox{ km}}}](/mmstat/w/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=d288b117fa0fa54df49fdf1fcca968c2&mode=mathml)
mittlere Anzahl der Unfälle in zwei Wochen:
![{\displaystyle \lambda _{x}=2520/12000=0,21\quad \lambda _{y}=2940/10000=0,294}](/mmstat/w/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=8da2d4ebbcd427edccebb0adac4d9da6&mode=mathml)
![{\displaystyle X\sim {\mbox{PO}}(\lambda =0,21)=f_{PO}(x;\lambda )=(\lambda ^{x}/x!)e^{-\lambda };\;Y\sim {\mbox{PO}}(\lambda =0,294)}](/mmstat/w/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=c106678a746c357a6470ac4b78b354de&mode=mathml)
Da
und
unabhängig voneinander sind, gilt aufgrund der Reproduktivitätseigenschaft der Poisson-Verteilung:
![{\displaystyle Z=X+Y\sim {\mbox{PO}}(\lambda _{x}+\lambda _{y})={\mbox{PO}}(0,21+0,294)={\mbox{PO}}(0,504)}](/mmstat/w/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=df13eb5a54091dad152fc42f98354572&mode=mathml)
Gesuchte Wahrscheinlichkeit:
![{\displaystyle P(Z\leq 1|\lambda _{z}=0,504)=P(Z=0|\lambda _{z}=0,504)+P(Z=1|\lambda _{z}=0,504)}](/mmstat/w/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=b7d377cb53c104d0a63288b11aaf43b7&mode=mathml)
![{\displaystyle \displaystyle ={\frac {0,504^{0}}{0!}}e^{-0,504}+{\frac {0,504^{1}}{1!}}e^{-0,504}=e^{-0,504}+0,504\cdot e^{-0,504}=1,504\cdot e^{-0,504}}](/mmstat/w/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=731a041e6e7be7c1f85b8c7804dce421&mode=mathml)
![{\displaystyle =0,90858\approx 0,909}](/mmstat/w/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=c7b58a30fef0170942bbcc44a73f1627&mode=mathml)
Rückversicherungsgesellschaft
Bei den beschriebenen Großschäden handelt es sich um zufällige Ereignisse, die in einem Kontinuum (Zeit) vorgegebener Größe (4 Monate) auftreten. Der Parameter
gibt die mittlere Anzahl von Großschäden in diesem Intervall an. Frage richtet sich auf ein Intervall von
.
Für das Intervall von 1 Jahr ist
.
![{\displaystyle X={\mbox{Anzahl von Großschäden in einem Jahr}}\sim {\mbox{PO}}(3)}](/mmstat/w/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=0ceff59ed94ccf2f59993388e5d215cd&mode=mathml)
Wahrscheinlichkeit, dass in einem Jahr mindestens 5 derartige Großschadensfälle auftreten:
![{\displaystyle P(X\geq 5)=1-P(X\leq 4)=1-F_{PO}(4)=1-0,8153=0,1847}](/mmstat/w/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=f9ba3d6f8b6535bc9a3e55794d2b910c&mode=mathml)
mit
aus der Tabelle der Verteilungsfunktion der PO(3)
Samstagslotto
Hypergeometrische Verteilung mit
,
,
;
Wert der Wahrscheinlichkeitsfunktion für ![{\displaystyle x=3}](/mmstat/w/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=5870bb658ee9e8a6900c138365d64c80&mode=mathml)
Serum
: “Anzahl der Impfschäden bei n=20 000 Impfungen”;
![{\displaystyle X\sim B(20000;0,0001)}](/mmstat/w/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=71ab4fcc3c46cec3efc71e6fd821268c&mode=mathml)
ist approximativ
–verteilt.
![{\displaystyle P(X=0)=0,1353}](/mmstat/w/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=f6cd45898bb30de7456cb299ff2656db&mode=mathml)
![{\displaystyle P(X=1)=0,2707}](/mmstat/w/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=12d84453c070b41d98c999f51c1ea3b9&mode=mathml)
![{\displaystyle P(X=6)=0,0121}](/mmstat/w/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=587b08b43accd9b493ed8591b1773416&mode=mathml)
![{\displaystyle P(X>4)=0,0527}](/mmstat/w/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=2689aa9895e1227c8e9ddfdd5f0f4a97&mode=mathml)
Stahlstifte
![{\displaystyle P[(X_{1}<\mu _{1}-0,12)\cup (X_{1}>\mu _{1}+0,12)=0,764178}](/mmstat/w/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=287f3f42a287af93ef5c238c8008ab82&mode=mathml)
![{\displaystyle P(X_{1}=6)=0}](/mmstat/w/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=3f6256509958183b5015c57313b94c16&mode=mathml)
mm
; ![{\displaystyle P(X_{2}<6)=0,432505}](/mmstat/w/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=73b1e8bfc890bf228c9406115b1e3738&mode=mathml)
![{\displaystyle Y=X_{2}-X_{1};Y\sim N(0,05;0,5)}](/mmstat/w/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=03cf29fcff25e32c37eb2579ad1ca049&mode=mathml)
![{\displaystyle P(Y\leq 0)=0,460172}](/mmstat/w/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=87452e48207232f5a3aa3c2db23e5355&mode=mathml)
Straßenmusikant
mit ![{\displaystyle \lambda =1/5}](/mmstat/w/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=fbb4885b788ec16861e45d9ea8023381&mode=mathml)
X beinhaltet das Auftreten eines Ereignisses in einem Kontinuum.
Geldstücke
EUR
mit ![{\displaystyle \lambda =1/5}](/mmstat/w/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=fbb4885b788ec16861e45d9ea8023381&mode=mathml)
Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („cli“) hat berichtet: „SyntaxError: Expected [a-zA-Z] but " " found.in 1:41“): {\displaystyle \rightarrow T:\mbox{\glqq Wartezeit zwischen zwei Ereignissen\grqq; }T\sim EX(\lambda)}
![{\displaystyle P(T>t)=1-F_{EX}(t;\lambda )=1-(1-e^{-\lambda t})=e^{-\lambda t}}](/mmstat/w/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=7a1a869f1d91621edb0a71304c61eac0&mode=mathml)
Supermarkt
Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („cli“) hat berichtet: „SyntaxError: Expected "\\" or valid UTF-16 sequences but "\"" found.in 1:26“): {\displaystyle T_B=\mbox{"`Wartezeit am Backstand"'}\sim \mbox{Exp}(1/5)}
Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („cli“) hat berichtet: „SyntaxError: Expected "\\" or valid UTF-16 sequences but "\"" found.in 1:26“): {\displaystyle T_K=\mbox{"`Wartezeit am Käsestand"'}\sim \mbox{Exp}(1/4)}
Suppe mit Fleischeinlage
125 l
500 Portionen. Die Fleischstückchen sind in der Suppe zufällig verteilt. 1/4 l Suppe (1 Portion) enthält im Mittel
Fleischstückchen.
X: Anzahl der Fleischstückchen je Portion ;
![{\displaystyle \sim PO(\lambda =0,8)}](/mmstat/w/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=d667cd14df64eead4b4fab9cbd8e5d1e&mode=mathml)
Taschenrechner
;
![{\displaystyle P(15\leq X\leq 27)=0,158655}](/mmstat/w/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=7e49ef1071c1a709fc526266c1b534b4&mode=mathml)
Std.
![{\displaystyle P[(X>24)\cap (Y>24)]=0,9743378}](/mmstat/w/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=8c246822fb372e306ebc520068036f17&mode=mathml)
![{\displaystyle P(X<Y)=P(X-Y<0)=?}](/mmstat/w/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=c6ccd826c8f50f493ce259402097d7fd&mode=mathml)
Telefongespräche
![{\displaystyle X\sim PO(2,5)}](/mmstat/w/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=c1334cc19ff9ad8a22f74be361549c61&mode=mathml)
;
; ![{\displaystyle P(X\geq 4)=0,2424}](/mmstat/w/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=5dab0ee59df9e1cce131a750bc58333a&mode=mathml)
Telefonzentrale
: “Anzahl der pro Dienstzeit ankommenden Alarmmeldungen”
;
![{\displaystyle P(X=0)=0,0498}](/mmstat/w/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=5d111fea506196060f4ab52dec71d540&mode=mathml)
![{\displaystyle P(X\geq 3)=0,5768}](/mmstat/w/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=5a4579b8deaf1383f3efbb17120b658f&mode=mathml)
![{\displaystyle P(X\leq 7)=0,9881}](/mmstat/w/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=bcebe9535469fe21b25b331d066b98d6&mode=mathml)
: “Wartezeit bis zum ersten Alarm” [
Std.]
![{\displaystyle P(T\leq 1)=0,3935}](/mmstat/w/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=eb674c45b46998b730099f300f05b937&mode=mathml)
![{\displaystyle P(T>2)=0,3679}](/mmstat/w/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=1f92e1e6f078a4bfb714bfe1ea5180e6&mode=mathml)
![{\displaystyle P(T\leq 5+1|T>5)=P(T\leq 1)=0,3935}](/mmstat/w/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=661dc6ec5badadbc71576fba7a90789c&mode=mathml)
![{\displaystyle P(T\leq t)=0,95\quad \Rightarrow \quad t=5,99}](/mmstat/w/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=e045789a0d4253a86318cca9644bf487&mode=mathml)
Traineeprogramm
Es bezeichne X die Anzahl der geeigneten Bewerber. Die Frage lautet
. Die Zufallsvariable X genügt einer B(23;0,9) Verteilung.
![{\displaystyle 0,21531+0,27683+0,2265+0,08863=0,80727\approx 0,8073}](/mmstat/w/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=f7fd353d66badcf006c4784d53c31e08&mode=mathml)
Um jedoch die gesuchte Wahrscheinlichkeit den Tabellen der Verteilungsfunktion der Binomialverteilung entnehmen zu können, kann auch die Zufallsvariable
(Anzahl der ungeeigneten Trainees), die B(23;0,1)–verteilt ist, verwendet werden:
Tulpenzwiebeln
Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („cli“) hat berichtet: „SyntaxError: Expected "\\" or valid UTF-16 sequences but "\"" found.in 1:24“): {\displaystyle X=\mbox{"`Anzahl der nicht blühenden Tulpenzwiebeln"'};~X \sim B(10;0,05)}
Unfallmeldungen
Wegen
folgt
und somit
.
Varianz
Die Verteilung ist eine Gleichverteilung auf
;Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („cli“) hat berichtet: „SyntaxError: Illegal TeX function
Found \begin{tabular}in 2:1“): {\displaystyle f(x)=F^\prime(x)=\left\{ \begin{tabular}{lc} 0&$-\infty<x\leq-1$,\\ $\displaystyle\frac{1}{2}$&$-1<x<1$,\\ 0&$1\leq x<\infty$.\\ \end{tabular} \right.}
Damit ist
Vier Kinder
: “Anzahl der Jungen in einer vierköpfigen Familie”,
![{\displaystyle P(X=2)=0,375}](/mmstat/w/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=91ddde8d0a5e4cca29e0d9c885de4f01&mode=mathml)
![{\displaystyle P(X=3)=0,25}](/mmstat/w/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=f953be92ed4835c21ac7ee8049e8aa51&mode=mathml)
![{\displaystyle P(X=4)=0,0625}](/mmstat/w/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=d928e5212a3beed7e247bbfbcfdff3cb&mode=mathml)
Wartungen
Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („cli“) hat berichtet: „SyntaxError: Expected "\\" or valid UTF-16 sequences but "\"" found.in 1:26“): {\displaystyle X_A=\mbox{"`Anzahl Wartungen für Maschine A in 8 Stunden"'}\sim \mbox{Poisson}(1)}
Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („cli“) hat berichtet: „SyntaxError: Expected "\\" or valid UTF-16 sequences but "\"" found.in 1:26“): {\displaystyle X_B=\mbox{"`Anzahl Wartungen für Maschine B in 8 Stunden"'}\sim \mbox{Poisson}(2)}
Wertpapierkurse
Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („cli“) hat berichtet: „SyntaxError: Expected "\\" or valid UTF-16 sequences but "\"" found.in 1:24“): {\displaystyle X:\mbox{"`Wartezeit auf die nächste Anfrage"'},\quad \\ E(X)=1/\lambda=20;\quad X\sim\mbox{EX}(\lambda=1/20)}
Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („cli“) hat berichtet: „SyntaxError: Expected [, ;!_#%$&], [a-zA-Z], or [{}|] but "\\" found.in 1:46“): {\displaystyle P(X>30)=1-P(X\leq30)=1-F(30) \\ =1-[1-e^{-\lambda x}]=e^{-30/20}=e^{-1,5}=0,2231}
XXmega
Zug nach Brandenburg
Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („cli“) hat berichtet: „SyntaxError: Expected "\\" or valid UTF-16 sequences but "\"" found.in 1:24“): {\displaystyle X:\mbox{"`Wartezeit auf den Regionalzug nach Brandenburg"'}}
![{\displaystyle x=1{\mbox{ (Stunde)}}\quad a=0\quad b=3{\mbox{ (Stunden)}}}](/mmstat/w/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=f8e808f720f9eaf1671f7a5e3fde2db8&mode=mathml)
Anwendung der stetigen Gleichverteilung (regelmäßig im 3-Stunden-Takt, nicht im Mittel alle 3 Stunden)
Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („cli“) hat berichtet: „SyntaxError: Illegal TeX function
Found \begin{tabular}in 2:3“): {\displaystyle F(X)=\left\{ \begin{tabular}{cl} 0&für $x<a$\\ $\displaystyle\frac{x-a}{b-a}$&für $a\leq x<b$\\ 1&für $b\leq x$\\ \end{tabular}\right.}
![{\displaystyle F(x\leq 1)=1/3=0,3333}](/mmstat/w/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=4b99a926f4ff89409a7a699272aabfcc&mode=mathml)
mindestens 1 Stunde warten: