Zeitreihen/Aufgaben

Abschreibung

Eine Maschine, die zu Beginn eines Jahres für 50000 EUR angeschafft wurde, wird über 7 Jahre mit unterschiedlichen jährlichen Abschreibungsfaktoren vom Restbuchwert abgeschrieben, so dass schliesslich nur ein Erinnerungswert von 1 EUR verbleibt. Die Abschreibungsregel ist wie folgt:

Buchwert	$_{=}$	Buchwert	$_{\times }$	Abschreibungsfaktor
in Jahre $t$		im Jahre( $t-1$ )		im Jahre $t$

Welcher konstanter mittlerer jährlicher Abschreibungsfaktor führt zum gleichen Ergebnis?

Anzahl der Beschäftigten

Lösung

Die Anzahl der Beschäftigten in einem Reichsbahnausbesserungswerk entwickelte sich von 1984 bis 1990 etwa nach folgender Funktion: ${\widehat {x}}=983-9t.$

Ist die Angabe für diese Trendfunktion vollständig?

Ergänzen Sie diese Angabe gegebenenfalls sinnvoll unter Verwendung der Information, dass 1986 die Zahl der Beschäftigten 990 und 1990 957 betrug.

Interpretieren Sie die Trendparameter konkret für die Problemstellung.

Arbeitslosenquoten

Lösung

Die folgende Tabelle gibt die Arbeitslosenquoten für Deutschland in den letzten Jahren an:

Jahr	Arbeitslosenquote in %
1994	10,6
1995	10,4
1996	11,5
1997	12,7

(Quelle: Sachverständigenrat zur Begutachtung der gesamtwirtschaftlichen Entwicklung)

Prognostizieren Sie den Wert für 1998, indem Sie einen linearen Entwicklungstrend zugrunde legen.

Bauhauptgewerbe

Lösung

Die folgende Tabelle enthält die Quartalsumsätze (in Mio. EUR) des Bauhauptgewerbes in Mecklenburg-Vorpommern von 1991 bis 1994.

	1991	1992	1993	1994
I. Quartal	37	63	87	108
II. Quartal	65	102	145	172
III. Quartal	67	106	152	187
IV. Quartal	91	139	196	233

Wie hat sich der Jahresumsatz des Bauhauptgewerbes in Mecklenburg-Vorpommern im Zeitraum von 1991 bis 1994 im Mittel jährlich entwickelt?
Runden Sie das Ergebnis auf 3 Dezimalstellen.

Benutzer des Dial-In-Service

Lösung

Die folgende Tabelle gibt die Benutzer des Dial-In-Service des Rechenzentrums der Humboldt-Universität an:

Monat (in 1997)	Benutzer
Februar	1809
Mai	2342
August	2446
November	3500

Prognostizieren Sie den Wert für Mai 1998, indem Sie einen linearen Entwicklungstrend zugrunde legen.

Bruttosozialprodukt von Deutschland

Lösung

In den Jahren 1980 bis 1988 wurde in der Bundesrepublik Deutschland insgesamt ein Bruttosozialprodukt von 14 025,5 Mrd. EUR (in Preisen von 1980) produziert. Berechnungen mit Hilfe einer mathematischen Funktion für alle Jahre des gleichen Zeitraums ergaben(mit $t=0$ für 1980, $t=1$ für 1981 usw.), dass in diesem Zeitraum das Bruttosozialprodukt jährlich im Durchschnitt um 28,413 Mrd. EUR stieg.

Geben Sie die mathematische Funktion vollständig an.
Bestimmen Sie die Höhe des Bruttosozialprodukts, dass sich schätzungsweise für das Jahr 1989 und 1990 ergibt.

Eheschließungen

Lösung

Die folgende Tabelle gibt die Anzahl der Eheschließungen in Deutschland pro 1000 Einwohner an:

Jahr	Eheschließungen
1950	11,0
1960	9,5
1970	7,4
1980	6,3
1990	6,5

Prognostizieren Sie den Wert für das Jahr 2000, indem Sie einen linearen Entwicklungstrend zugrunde legen.

Eheschließungen und Ehescheidungen

Lösung

Im Datenreport 1989 (Bundeszentrale für politische Bildung, S. 46) werden folgende Angaben über die Anzahl der Eheschlieund Ehescheidungen im früheren Bundesgebiet ausgewiesen:

Jahr	Eheschließungen	Ehescheidungen
Jahr	(in 1000)	(in 1000)
1950	536	86
1955	462	49
1960	521	49
1965	492	59
1970	445	77
1975	387	107
1980	362	96
1981	360	110
1982	362	118
1983	370	121
1984	364	131
1985	365	128
1986	372	122
1987	383	130

Bestimmen Sie eine geeignete mathematische Funktion zur Widerspiegelung der Grundrichtung der Entwicklung der Anzahl der Eheschließungen bzw. der Ehescheidungen in den Jahren
- 1980 bis 1987
- 1950 bis 1985 (bei Verwendung der Daten im Fünfjahresabstand).
Schätzen Sie für die berechneten Trendfunktionen die Güte der Anpassung an die gegebenen Zeitreihen mittels eines statistischen Maßes ein.
Geben Sie eine Vorhersage der Anzahl der Eheschließungen bzw. der Ehescheidungen für das Jahr 1990 auf der Basis der unter a) bestimmten Trendfunktionen.

Gecrashte Festplatte

Lösung

Um den Absatz im 3. Quartal 1999 in seiner Firma abschätzen zu können, beauftragt der Firmenchef seine Volkswirtin, eine Prognose zu erstellen. Bevor die Volkswirtin jedoch die endgültige Prognose berechnen kann, crasht die Festplatte ihres Computers. Glücklicherweise gelingt es dem Computerspezialisten die unten angegebenen Fragmente von der Festplatte zu retten.

Quartal	$t$	$x$
1/96	1	1,1
2/96	4	1,0
3/96	7	1,6
4/96	10	1,7
1/97	13	3,2
2/97	16	3,8
3/97	19	5,3
4/97	22	6,5
1/98	25	5,5
2/98	28	12,1
3/98	31	16,1
4/98	34	20,7

Linearer Trend
${\overline {t}}$	17,50
${\overline {x}}$	6,55
$\sum _{i}t_{i}^{2}$	4962,00
$\sum _{i}x_{i}^{2}$	967,04
$\sum _{i}t_{i}\cdot x_{i}$	2058,60
$\sum _{i}(t_{i}-{\overline {t}})^{2}$	1287,00
$\sum _{i}(x_{i}-{\overline {x}})^{2}$	452,21
Saisonkomponente
	keine	additiv	multiplikativ
${\overline {s}}_{1}$	-	-0,89	0.26
${\overline {s}}_{2}$	-	-0.12	0.01
${\overline {s}}_{3}$	-	0.32	1.18
${\overline {s}}_{4}$	-	0.69	0.91
$\sum _{i}(x_{i}-{\hat {x}}_{i}^{ZRM})^{2}$	89,64	85,44	233,89

Können Sie der verzweifelten Volkswirtin helfen, auf Grundlage des besten Modells die Prognose zu berechnen?

Haushalte eines Landes 2

Lösung

Das verfügbare Einkommen X der Haushalte eines Landes betrug 1984 34 Mill. EUR, 1988 50 Mill. EUR, 1992 73 Mill. EUR und stieg 1993 gegenüber 1988 auf 153%.
Um wieviel Prozent stieg im Zeitraum 1984 - 1993 im Mittel jährlich das verfügbare Einkommen?

Haushalte eines Landes

Für das verfügbare Einkommen X der Haushalte eines Landes wurden für 1989 bis 1993 folgende Werte angegeben (in Mill. EUR):

Jahr	1989	1990	1991	1992	1993
$x_{t}$	34	40	42	47	50

Bestimmen Sie für den Zeitraum 1989 - 1993 die lineare Grundrichtung der Entwicklung des verfügbaren Einkommens mit t = 0 für 1988.

Hausschlachtungen von Schweinen

Die folgende Tabelle gibt die Anzahl der Hausschlachtungen von Schweinen (in 1 000) eines Bundeslandes für die Quartale der Jahre 1990 bis 1992 an:

Jahr	Quartal	Anzahl
1990	1	14
	2	6
	3	4
	4	13
1991	1	12
	2	5
	3	4
	4	12
1992	1	11
	2	5
	3	4
	4	12

Prognostizieren Sie die Anzahl der Hausschlachtungen von Schweinen für die vier Quartale des Jahres 1993 auf der Basis eines additiven Zeitreihenmodells mit linearem Trend.

Indizes der Aktienkurse

Lösung

Die folgende Tabelle enthält die Indizes der Aktienkurse einer Aktiengesellschaft für das Jahr 1992:

Monat	Index
1	85,2
2	85,5
3	83,6
4	85,8
5	86,0
6	82,8
7	79,4
8	80,4
9	77,4
10	74,9
11	76,6
12	80,5

Berechnen Sie mit Hilfe der gleitenden Durchschnitte 3. bzw. 4. Ordnung den Trend der Aktienkurse.
Bestimmen Sie die lineare Trendfunktion.

Maschinenzeitfondsauslastungen

Lösung

Für die ersten 9 Monate eines Jahres seien in einem Unternehmen die folgende prozentualen Maschinenzeitfondsauslastungen ermittelt worden:

Monat	1	2	3	4	5	6	7	8	9
Auslastung	68,5	73	78,5	84	81,5	87	89,5	92	92,5

Bestimmen Sie für die Maschinenzeitfondsauslastung eine lineare und eine exponentielle Trendfunktion.

Interpretieren Sie die jeweiligen Trendparameter.

Vergleichen Sie die beiden Trendfunktionen bezüglich ihrer Anpassung an das empirische Datenmaterial.
Treffen Sie mittels der ’besten’ Trendfunktion eine Vorhersage für den 12. Monat.

Mikroprozessoren

Lösung

Die Produktion von Mikroprozessoren entwickelte sich in einem Unternehmen der elektronischen Industrie in folgenden Stückzahlen:

1986	1987	1988	1989	1990
110 000	130 000	155 000	180 000	220 000

Welche Art statistischer Reihe stellen hier die Stückzahlen der Mikroprozessoren dar?
Wie hat sich die Produktion von Mikroprozessoren im Mittel jährlich im Zeitraum 1986 – 1990 entwickelt?
Bestimmen Sie eine geeignete Funktion für die langfristige Entwicklung der Produktion von Mikroprozessoren und interpretieren Sie die Ergebnisse.
Erstellen Sie auf der Grundlage der Berechnungen unter b) und c) je eine Prognose für die Produktion 1992 und vergleichen Sie die Ergebnisse.

Quartalsproduktion 2

Lösung

Die Quartalsproduktion eines Unternehmens (in Tonnen) kann in ihrer langfristigen Entwicklung durch folgende Funktion angenähert werden: ${\widehat {x}}_{t}=2200000\cdot 1,15^{t},\quad \quad {\mbox{ mit }}t=0\ {\widehat {=}}{\mbox{ IV. Quartal 1992}}.$ Im Durchschnitt der vergangenen Jahre lag die Produktion des Unternehmens im

Quartal um 10% unter dem Trendwert,
Quartal um 90% über dem Trendwert,
Quartal um 20% über dem Trendwert und
Quartal um 50% unter dem Trendwert.

Treffen Sie eine Vorhersage über die Jahresproduktion des Unternehmens für 1993.

Quartalsproduktion

Die Quartalsproduktion eines Unternehmens (in EUR) kann in ihrer langfristigen Entwicklung durch folgende Funktion angenähert werden: ${\widehat {x}}_{t}=2200000+115000t,\quad \quad {\mbox{ mit }}t=0\ {\widehat {=}}{\mbox{ IV. Quartal 1992}}.$ Im Durchschnitt der vergangenen Jahre lag die Produktion des Unternehmens im

Quartal um 10 000 EUR unter dem Trendwert,
Quartal um 90 000 EUR über dem Trendwert,
Quartal um 20 000 EUR über dem Trendwert und
Quartal um 50 000 EUR unter dem Trendwert.

Treffen Sie eine Vorhersage über die Jahresproduktion des Unternehmens für 1993.

Souvenirhändler

Lösung

Der Umsatz eines Souvenirhändlers am Brandenburger Tor zeigte in den Monaten von Januar bis Juli 1992 folgende Werte (in 100 EUR):

10;  90;  50; 160;   390;  650;  1 360;

Glätten Sie diese Reihe.
Bestimmen Sie für die geglättete Reihe eine geeignete Trendfunktion und interpretieren Sie die Trendparameter.
Bestimmen Sie die Trendwerte für die Monate des Erfassungszeitraumes, für die die gleitenden Durchschnitte fehlen.

Speiseeis

Lösung

Bei regelmäßigen Inventuren in einem Kühllager werden folgende Mengen Speiseeis registriert (in kg):

Zeit
	1.1.	1.7.	1.1.	1.7.	1.1.	1.7.	1.1.	1.7.	1.1.
Menge	90	121	108	143	126	165	144	187	162

Bestimmen Sie eine passende Trendfunktion.
Stellen Sie ein geeignetes Trend–Saison–Modell auf (Runden Sie dafür die Trendparameter: das absolute Glied auf Zehner, Anstieg auf ganze Zahl).
Interpretieren Sie die Ergebnisse von a) und b)
Zur bequemeren Anwendung soll nachträglich der Zeitpunkt 0 auf den 1.1.1985 gelegt werden. Die Zeiteinheit soll ein Jahr werden. Bestimmen Sie die neue Gestalt des Modells.
Mit welchem Lagerbestand wäre am 1.7.1991 ungefähr zu rechnen?

Telefonkosten

Lösung

Für die Telefonkosten einer Behörde wurden im Zeitraum von 1991 bis 1995 folgende Werte beobachtet (in Mill. EUR):

Jahr	1991	1992	1993	1994	1995
$x_{t}$	34	40	42	47	50

Bestimmen Sie für den Zeitraum 1991 - 1995 die lineare Grundrichtung der Entwicklung der Telefonkosten mit $t=0$ für 1990.

Telefonkosten 2

Lösung

Die Telefonkosten einer Behörde betrugen für den Zeitraum von 1981 bis 1990 insgesamt 28 Mill. EUR. Der durchschnittliche jährliche Zuwachs der Telefonkosten in diesem Zeitraum belief sich auf 0,125 Mill. EUR.
Geben Sie eine geeignete Trendfunktion exakt an.

Transportleistung

Lösung

Die Entwicklung der Transportleistung einer Spedition (in 10 $^{3}$ tkm) in den Jahren 1990 bis 1992 wird durch folgende Daten gegeben:

Jahr	Quartal	Anzahl
1990	1	13
	2	10
	3	11
	4	15
1991	1	14
	2	10
	3	12
	4	17
1992	1	17
	2	13
	3	14
	4	19

Stellen Sie die Entwicklung der Transportleistung dieser Spedition durch ein geeignetes statistisches Zeitreihenmodell dar.
Bestimmen Sie den Standardfehler des gewählten Modells.
Treffen Sie eine Vorhersage für die Gesamttransportleistung des Jahres 1993.

Trendfunktion

Lösung

Die Entwicklung der im Nahverkehr eines bestimmten Gebietes beförderten Personen (in Mio.) lässt sich für den Zeitraum 1983–1990 durch folgende Trendfunktion annähern: ${\widehat {x}}_{t}=2528,875+16,244t$ mit $t=-1$ für 1986 und $t=+1$ für 1987.

Interpretieren Sie die Trendparameter.
Wieviel Reisende werden im Nahverkehr in diesem Gebiet voraussichtlich im Jahre 1993 befördert und unter welcher Bedingung?

Wachstum des Bruttoinlandsprodukts

Lösung

Die folgende Tabelle gibt das jährliche Wachstum des Bruttoinlandsprodukts an:

Jahr	Bruttoinlandsprodukt
	(Zuwachs gegenüber dem Vorjahr in %)
1994	$+2,7$
1995	$+1,8$
1996	$+1,4$
1197	$+2,2$

(Quelle: Sachverständigenrat zur Begutachtung der gesamtwirtschaftlichen Entwicklung)
Berechnen Sie das mittlere Entwicklungstempo (in %) mit Hilfe eines geeigneten Mittelwertes.

Warenausfuhr

Lösung

Die Warenausfuhr der Bundesrepublik Deutschland nach Frankreich betrug 1985 53,892 Mrd. EUR. Sie stieg 1987 gegenüber 1985 um 7 Prozent und betrug 1990 74,237 Mrd. EUR.
Quelle: DIW–Wochenbericht 3/92, S. 28.

Wie hat sich die Warenausfuhr nach Frankreich im Zeitraum 1985 bis 1990 im Mittel jährlich entwickelt?

Vorausgesetzt, diese durchschnittliche Entwicklung der Warenausfuhr nach Frankreich im Zeitraum 1985 bis 1990 setzt sich in den nächsten Jahren fort,

wie hoch wird voraussichtlich im Jahre 1992 die Warenausfuhr sein?
in welchem Jahr wird die Warenausfuhr 100 Mrd. EUR voraussichtlich überschreiten?

Zeitreihen/Aufgaben

Aus MM*Stat

Inhaltsverzeichnis

Abschreibung

Anzahl der Beschäftigten

Arbeitslosenquoten

Bauhauptgewerbe

Benutzer des Dial-In-Service

Bruttosozialprodukt von Deutschland

Eheschließungen

Eheschließungen und Ehescheidungen

Gecrashte Festplatte

Haushalte eines Landes 2

Haushalte eines Landes

Hausschlachtungen von Schweinen

Indizes der Aktienkurse

Maschinenzeitfondsauslastungen

Mikroprozessoren

Quartalsproduktion 2

Quartalsproduktion

Souvenirhändler

Speiseeis

Telefonkosten

Telefonkosten 2

Transportleistung

Trendfunktion

Wachstum des Bruttoinlandsprodukts

Warenausfuhr