Zeitreihen/Aufgaben

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Eine Maschine, die zu Beginn eines Jahres für 50000 EUR angeschafft wurde, wird über 7 Jahre mit unterschiedlichen jährlichen Abschreibungsfaktoren vom Restbuchwert abgeschrieben, so dass schliesslich nur ein Erinnerungswert von 1 EUR verbleibt. Die Abschreibungsregel ist wie folgt:

Buchwert _{=} Buchwert _{\times} Abschreibungsfaktor
in Jahre t im Jahre(t-1) im Jahre t

Welcher konstanter mittlerer jährlicher Abschreibungsfaktor führt zum gleichen Ergebnis?


Anzahl der Beschäftigten

  (Lösung)


Die Anzahl der Beschäftigten in einem Reichsbahnausbesserungswerk entwickelte sich von 1984 bis 1990 etwa nach folgender Funktion: \widehat{x} = 983 - 9t.

  • Ist die Angabe für diese Trendfunktion vollständig?

Ergänzen Sie diese Angabe gegebenenfalls sinnvoll unter Verwendung der Information, dass 1986 die Zahl der Beschäftigten 990 und 1990 957 betrug.

  • Interpretieren Sie die Trendparameter konkret für die Problemstellung.


Arbeitslosenquoten

  (Lösung)


Die folgende Tabelle gibt die Arbeitslosenquoten für Deutschland in den letzten Jahren an:

Jahr Arbeitslosenquote in %
1994 10,6
1995 10,4
1996 11,5
1997 12,7

(Quelle: Sachverständigenrat zur Begutachtung der gesamtwirtschaftlichen Entwicklung)

Prognostizieren Sie den Wert für 1998, indem Sie einen linearen Entwicklungstrend zugrunde legen.


Bauhauptgewerbe

  (Lösung)


Die folgende Tabelle enthält die Quartalsumsätze (in Mio. EUR) des Bauhauptgewerbes in Mecklenburg-Vorpommern von 1991 bis 1994.

1991 1992 1993 1994
I. Quartal 37 63 87 108
II. Quartal 65 102 145 172
III. Quartal 67 106 152 187
IV. Quartal 91 139 196 233

Wie hat sich der Jahresumsatz des Bauhauptgewerbes in Mecklenburg-Vorpommern im Zeitraum von 1991 bis 1994 im Mittel jährlich entwickelt?
Runden Sie das Ergebnis auf 3 Dezimalstellen.


Benutzer des Dial-In-Service

  (Lösung)


Die folgende Tabelle gibt die Benutzer des Dial-In-Service des Rechenzentrums der Humboldt-Universität an:

Monat (in 1997) Benutzer
Februar 1809
Mai 2342
August 2446
November 3500

Prognostizieren Sie den Wert für Mai 1998, indem Sie einen linearen Entwicklungstrend zugrunde legen.


Bruttosozialprodukt von Deutschland

  (Lösung)


In den Jahren 1980 bis 1988 wurde in der Bundesrepublik Deutschland insgesamt ein Bruttosozialprodukt von 14 025,5 Mrd. EUR (in Preisen von 1980) produziert. Berechnungen mit Hilfe einer mathematischen Funktion für alle Jahre des gleichen Zeitraums ergaben(mit t=0 für 1980, t=1 für 1981 usw.), dass in diesem Zeitraum das Bruttosozialprodukt jährlich im Durchschnitt um 28,413 Mrd. EUR stieg.

  • Geben Sie die mathematische Funktion vollständig an.
  • Bestimmen Sie die Höhe des Bruttosozialprodukts, dass sich schätzungsweise für das Jahr 1989 und 1990 ergibt.


Eheschließungen

  (Lösung)


Die folgende Tabelle gibt die Anzahl der Eheschließungen in Deutschland pro 1000 Einwohner an:

Jahr Eheschließungen
1950 11,0
1960 9,5
1970 7,4
1980 6,3
1990 6,5

Prognostizieren Sie den Wert für das Jahr 2000, indem Sie einen linearen Entwicklungstrend zugrunde legen.


Eheschließungen und Ehescheidungen

  (Lösung)


Im Datenreport 1989 (Bundeszentrale für politische Bildung, S. 46) werden folgende Angaben über die Anzahl der Eheschlieund Ehescheidungen im früheren Bundesgebiet ausgewiesen:

Jahr Eheschließungen Ehescheidungen
Jahr (in 1000) (in 1000)
1950 536 86
1955 462 49
1960 521 49
1965 492 59
1970 445 77
1975 387 107
1980 362 96
1981 360 110
1982 362 118
1983 370 121
1984 364 131
1985 365 128
1986 372 122
1987 383 130
  • Bestimmen Sie eine geeignete mathematische Funktion zur Widerspiegelung der Grundrichtung der Entwicklung der Anzahl der Eheschließungen bzw. der Ehescheidungen in den Jahren
    • 1980 bis 1987
    • 1950 bis 1985 (bei Verwendung der Daten im Fünfjahresabstand).
  • Schätzen Sie für die berechneten Trendfunktionen die Güte der Anpassung an die gegebenen Zeitreihen mittels eines statistischen Maßes ein.
  • Geben Sie eine Vorhersage der Anzahl der Eheschließungen bzw. der Ehescheidungen für das Jahr 1990 auf der Basis der unter a) bestimmten Trendfunktionen.


Gecrashte Festplatte

  (Lösung)


Um den Absatz im 3. Quartal 1999 in seiner Firma abschätzen zu können, beauftragt der Firmenchef seine Volkswirtin, eine Prognose zu erstellen. Bevor die Volkswirtin jedoch die endgültige Prognose berechnen kann, crasht die Festplatte ihres Computers. Glücklicherweise gelingt es dem Computerspezialisten die unten angegebenen Fragmente von der Festplatte zu retten.

Quartal t x
1/96 1 1,1
2/96 4 1,0
3/96 7 1,6
4/96 10 1,7
1/97 13 3,2
2/97 16 3,8
3/97 19 5,3
4/97 22 6,5
1/98 25 5,5
2/98 28 12,1
3/98 31 16,1
4/98 34 20,7
Linearer Trend
\overline{t} 17,50
\overline{x} 6,55
\sum_it_i^2 4962,00
\sum_ix_i^2 967,04
\sum_it_i\cdot x_i 2058,60
\sum_i(t_i-\overline{t})^2 1287,00
\sum_i(x_i-\overline{x})^2 452,21
Saisonkomponente
keine additiv multiplikativ
\overline{s}_1 - -0,89 0.26
\overline{s}_2 - -0.12 0.01
\overline{s}_3 - 0.32 1.18
\overline{s}_4 - 0.69 0.91
\sum_i(x_i-\hat{x}_i^{ZRM})^2 89,64 85,44 233,89

Können Sie der verzweifelten Volkswirtin helfen, auf Grundlage des besten Modells die Prognose zu berechnen?


Haushalte eines Landes 2

  (Lösung)


Das verfügbare Einkommen X der Haushalte eines Landes betrug 1984 34 Mill. EUR, 1988 50 Mill. EUR, 1992 73 Mill. EUR und stieg 1993 gegenüber 1988 auf 153%.
Um wieviel Prozent stieg im Zeitraum 1984 - 1993 im Mittel jährlich das verfügbare Einkommen?


Haushalte eines Landes

  (Lösung)


Für das verfügbare Einkommen X der Haushalte eines Landes wurden für 1989 bis 1993 folgende Werte angegeben (in Mill. EUR):

Jahr 1989 1990 1991 1992 1993
x_t 34 40 42 47 50

Bestimmen Sie für den Zeitraum 1989 - 1993 die lineare Grundrichtung der Entwicklung des verfügbaren Einkommens mit t = 0 für 1988.


Hausschlachtungen von Schweinen

  (Lösung)


Die folgende Tabelle gibt die Anzahl der Hausschlachtungen von Schweinen (in 1 000) eines Bundeslandes für die Quartale der Jahre 1990 bis 1992 an:

Jahr Quartal Anzahl
1990 1 14
2 6
3 4
4 13
1991 1 12
2 5
3 4
4 12
1992 1 11
2 5
3 4
4 12

Prognostizieren Sie die Anzahl der Hausschlachtungen von Schweinen für die vier Quartale des Jahres 1993 auf der Basis eines additiven Zeitreihenmodells mit linearem Trend.


Indizes der Aktienkurse

  (Lösung)


Die folgende Tabelle enthält die Indizes der Aktienkurse einer Aktiengesellschaft für das Jahr 1992:

Monat Index
1 85,2
2 85,5
3 83,6
4 85,8
5 86,0
6 82,8
7 79,4
8 80,4
9 77,4
10 74,9
11 76,6
12 80,5
  • Berechnen Sie mit Hilfe der gleitenden Durchschnitte 3. bzw. 4. Ordnung den Trend der Aktienkurse.
  • Bestimmen Sie die lineare Trendfunktion.


Maschinenzeitfondsauslastungen

  (Lösung)


Für die ersten 9 Monate eines Jahres seien in einem Unternehmen die folgende prozentualen Maschinenzeitfondsauslastungen ermittelt worden:

Monat 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Auslastung 68,5 73 78,5 84 81,5 87 89,5 92 92,5
  • Bestimmen Sie für die Maschinenzeitfondsauslastung eine lineare und eine exponentielle Trendfunktion.

Interpretieren Sie die jeweiligen Trendparameter.

  • Vergleichen Sie die beiden Trendfunktionen bezüglich ihrer Anpassung an das empirische Datenmaterial.
  • Treffen Sie mittels der ’besten’ Trendfunktion eine Vorhersage für den 12. Monat.


Mikroprozessoren

  (Lösung)


Die Produktion von Mikroprozessoren entwickelte sich in einem Unternehmen der elektronischen Industrie in folgenden Stückzahlen:

1986 1987 1988 1989 1990
110 000 130 000 155 000 180 000 220 000
  • Welche Art statistischer Reihe stellen hier die Stückzahlen der Mikroprozessoren dar?
  • Wie hat sich die Produktion von Mikroprozessoren im Mittel jährlich im Zeitraum 1986 – 1990 entwickelt?
  • Bestimmen Sie eine geeignete Funktion für die langfristige Entwicklung der Produktion von Mikroprozessoren und interpretieren Sie die Ergebnisse.
  • Erstellen Sie auf der Grundlage der Berechnungen unter b) und c) je eine Prognose für die Produktion 1992 und vergleichen Sie die Ergebnisse.


Quartalsproduktion 2

  (Lösung)


Die Quartalsproduktion eines Unternehmens (in Tonnen) kann in ihrer langfristigen Entwicklung durch folgende Funktion angenähert werden: \widehat{x}_t= 2 200 000\cdot 1,15^{t}, \quad\quad \mbox{ mit }
t = 0\ \widehat{=}\mbox{ IV. Quartal 1992}. Im Durchschnitt der vergangenen Jahre lag die Produktion des Unternehmens im

  • Quartal um 10% unter dem Trendwert,
  • Quartal um 90% über dem Trendwert,
  • Quartal um 20% über dem Trendwert und
  • Quartal um 50% unter dem Trendwert.

Treffen Sie eine Vorhersage über die Jahresproduktion des Unternehmens für 1993.


Quartalsproduktion

  (Lösung)


Die Quartalsproduktion eines Unternehmens (in EUR) kann in ihrer langfristigen Entwicklung durch folgende Funktion angenähert werden: \widehat{x}_t= 2 200 000 + 115 000 t, \quad\quad \mbox{ mit }
t = 0\ \widehat{=}\mbox{ IV. Quartal 1992}. Im Durchschnitt der vergangenen Jahre lag die Produktion des Unternehmens im

  • Quartal um 10 000 EUR unter dem Trendwert,
  • Quartal um 90 000 EUR über dem Trendwert,
  • Quartal um 20 000 EUR über dem Trendwert und
  • Quartal um 50 000 EUR unter dem Trendwert.

Treffen Sie eine Vorhersage über die Jahresproduktion des Unternehmens für 1993.


Souvenirhändler

  (Lösung)


Der Umsatz eines Souvenirhändlers am Brandenburger Tor zeigte in den Monaten von Januar bis Juli 1992 folgende Werte (in 100 EUR):

10;  90;  50; 160;   390;  650;  1 360;
  • Glätten Sie diese Reihe.
  • Bestimmen Sie für die geglättete Reihe eine geeignete Trendfunktion und interpretieren Sie die Trendparameter.
  • Bestimmen Sie die Trendwerte für die Monate des Erfassungszeitraumes, für die die gleitenden Durchschnitte fehlen.


Speiseeis

  (Lösung)


Bei regelmäßigen Inventuren in einem Kühllager werden folgende Mengen Speiseeis registriert (in kg):

Zeit
1.1. 1.7. 1.1. 1.7. 1.1. 1.7. 1.1. 1.7. 1.1.
Menge 90 121 108 143 126 165 144 187 162
  • Bestimmen Sie eine passende Trendfunktion.
  • Stellen Sie ein geeignetes Trend–Saison–Modell auf (Runden Sie dafür die Trendparameter: das absolute Glied auf Zehner, Anstieg auf ganze Zahl).
  • Interpretieren Sie die Ergebnisse von a) und b)
  • Zur bequemeren Anwendung soll nachträglich der Zeitpunkt 0 auf den 1.1.1985 gelegt werden. Die Zeiteinheit soll ein Jahr werden. Bestimmen Sie die neue Gestalt des Modells.
  • Mit welchem Lagerbestand wäre am 1.7.1991 ungefähr zu rechnen?


Telefonkosten

  (Lösung)


Für die Telefonkosten einer Behörde wurden im Zeitraum von 1991 bis 1995 folgende Werte beobachtet (in Mill. EUR):

Jahr 1991 1992 1993 1994 1995
x_t 34 40 42 47 50

Bestimmen Sie für den Zeitraum 1991 - 1995 die lineare Grundrichtung der Entwicklung der Telefonkosten mit t=0 für 1990.



Telefonkosten 2

  (Lösung)


Die Telefonkosten einer Behörde betrugen für den Zeitraum von 1981 bis 1990 insgesamt 28 Mill. EUR. Der durchschnittliche jährliche Zuwachs der Telefonkosten in diesem Zeitraum belief sich auf 0,125 Mill. EUR.
Geben Sie eine geeignete Trendfunktion exakt an.


Transportleistung

  (Lösung)


Die Entwicklung der Transportleistung einer Spedition (in 10^{3} tkm) in den Jahren 1990 bis 1992 wird durch folgende Daten gegeben:

Jahr Quartal Anzahl
1990 1 13
2 10
3 11
4 15
1991 1 14
2 10
3 12
4 17
1992 1 17
2 13
3 14
4 19
  • Stellen Sie die Entwicklung der Transportleistung dieser Spedition durch ein geeignetes statistisches Zeitreihenmodell dar.
  • Bestimmen Sie den Standardfehler des gewählten Modells.
  • Treffen Sie eine Vorhersage für die Gesamttransportleistung des Jahres 1993.


Trendfunktion

  (Lösung)


Die Entwicklung der im Nahverkehr eines bestimmten Gebietes beförderten Personen (in Mio.) lässt sich für den Zeitraum 1983–1990 durch folgende Trendfunktion annähern: \widehat{x}_t= 2528,875 + 16,244t mit t = -1 für 1986 und t = +1 für 1987.

  • Interpretieren Sie die Trendparameter.
  • Wieviel Reisende werden im Nahverkehr in diesem Gebiet voraussichtlich im Jahre 1993 befördert und unter welcher Bedingung?


Wachstum des Bruttoinlandprodukts

  (Lösung)


Die folgende Tabelle gibt das jährliche Wachstum des Bruttoinlandsprodukts an:

Jahr Bruttoinlandsprodukt
(Zuwachs gegenüber dem Vorjahr in %)
1994 +2,7
1995 +1,8
1996 +1,4
1197 +2,2

(Quelle: Sachverständigenrat zur Begutachtung der gesamtwirtschaftlichen Entwicklung)
Berechnen Sie das mittlere Entwicklungstempo (in %) mit Hilfe eines geeigneten Mittelwertes.


Warenausfuhr

  (Lösung)



Die Warenausfuhr der Bundesrepublik Deutschland nach Frankreich betrug 1985 53,892 Mrd. EUR. Sie stieg 1987 gegenüber 1985 um 7 Prozent und betrug 1990 74,237 Mrd. EUR.
Quelle: DIW–Wochenbericht 3/92, S. 28.

  • Wie hat sich die Warenausfuhr nach Frankreich im Zeitraum 1985 bis 1990 im Mittel jährlich entwickelt?

Vorausgesetzt, diese durchschnittliche Entwicklung der Warenausfuhr nach Frankreich im Zeitraum 1985 bis 1990 setzt sich in den nächsten Jahren fort,

  • wie hoch wird voraussichtlich im Jahre 1992 die Warenausfuhr sein?
  • in welchem Jahr wird die Warenausfuhr 100 Mrd. EUR voraussichtlich überschreiten?