Wahrscheinlichkeitsrechnung/Aufgaben

15 Cent

Lösung

Ein Junge hat ein 1 Cent–, ein 5 Cent–, ein 10 Cent– und ein 50 Cent–Stück in seiner Tasche. Er nimmt nacheinander zwei Münzen heraus. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass er insgesamt weniger als 15 Cent aus der Tasche nimmt, wenn er

• die erste Münze wieder in die Tasche steckt?
• die erste Münze nicht wieder in die Tasche steckt?

1950–2000

Lösung

Das zufällige Ereignis $A$ bestehe darin, dass in einer Gruppe von $n=10$ im Jahre 1950 geborenen Personen zwei das Jahr 2000 erleben, das Ereignis $B_{1}$ darin, dass zwei oder mehr Personen der gleichen Gruppe das Jahr 2000 erleben. Außerdem wird ein Ereignis $B_{2}$ betrachtet, welches darin besteht, dass nur eine einzige Person das Jahr 2000 erlebt.

Welche der Ereignisse schließen sich gegenseitig aus?

Altbauwohnung

Lösung

In einer Altbauwohnung mit Außenwänden und veralteter elektrischer Anlage kommt es vor, dass der Strom ausfällt bzw. die Wasserzufuhr einfriert. Sowohl im Winter als auch im Sommer treten die beiden Missstände unabhängig voneinander auf. So friert natürlich das Wasser nur ein, wenn es Winter ist, und zwar mit 80%iger Wahrscheinlichkeit. Der Strom fällt aber, selbst wenn es nicht Winter ist, mit 40%iger Wahrscheinlichkeit aus. Das entspricht der gleichen Wahrscheinlichkeit, mit der der Strom, wenn es Winter ist, nicht ausfällt. Gehen Sie davon aus, dass die Winterzeit 30% der gesamten Jahreszeit ausmacht.

• Formalisieren Sie mit Hilfe von Ereignisdefinitionen die im Text genannten  Wahrscheinlichkeitsaussagen.

Mit welcher Wahrscheinlichkeit muss man in dieser Wohnung

• mit dem Einfrieren der Wasserzufuhr rechnen?
• mit einem Stromausfall rechnen?
• mit dem Einfrieren der Wasserzufuhr und einem Stromausfall rechnen?
• zusätzlich mit dem Einfrieren der Wasserzufuhr rechnen, wenn bereits der Strom ausgefallen ist?
• zusätzlich mit einem Stromausfall rechnen, wenn bereits die Wasserzufuhr eingefroren ist?
• mit mindestens einem von beiden Misständen rechnen?
• höchstens mit einem von beiden Misständen rechnen?

Alter

Lösung

Nach einer älteren Statistik werden von 100.000 Zehnjährigen 82.277 vierzig Jahre alt und 37.977 siebzig Jahre alt. Mit welcher Wahrscheinlichkeit wird ein Vierzigjähriger 70 Jahre alt?

Angler

Lösung

Ein Angler fischt sonntags an drei verschiedenen Seen. Die Wahrscheinlichkeit, dass er etwas fängt, beträgt beim ersten See 2/3, beim zweiten See 0,75 und beim dritten See 0,8. In der Nähe eines jeden Sees ist ein Ausflugslokal mit Telefon, bei See 2 auch mit einer attraktiven Wirtin, weshalb die Ehefrau des Anglers nicht gern sieht, dass er am See 2 angelt. Der Angler versichert, dass er jeweils den See zufällig aufsucht. An einem Sonntag ruft er seine Frau an, dass er etwas gefangen habe.

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er am See 2 geangelt hat?

Antriebswellen

Lösung

In der Gütekontrolle eines Unternehmens, das Antriebswellen herstellt, wird der Durchmesser dieser Wellen überprüft, indem zufällig Wellen aus der Produktion herausgegriffen werden. Solange der Durchmesser der Wellen sich in einem Toleranzbereich um den Sollwert befindet, sind die Güteanforderungen erfüllt. Verlässt der Durchmesser den Toleranzbereich nach oben, können durch Nacharbeit die Güteanforderungen noch erreicht werden. Ausschuss tritt auf, wenn der gemessene Durchmesser die untere Toleranzgrenze unterschreitet.

Von 10 000 geprüften Wellen hatten 4 500 einen Durchmesser zwischen unterer Toleranzgrenze und dem Sollwert und 5 200 einen Durchmesser größer als der Sollwert.

• Definieren Sie geeignete Ereignisse und bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, Ausschuss zu erhalten.
• Welche Definition der Wahrscheinlichkeit liegt ihren Berechnungen zugrunde?

Aufzug

Lösung

Den aufwärtsfahrenden Aufzug eines 7–geschossigen Hauses betreten in der 1. Etage 3 Personen. Jede dieser Personen verlässt, unabhängig von der anderen, beginnend in der 2. Etage, den Aufzug mit der gleichen Wahrscheinlichkeit auf jeder Etage. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit für folgende Ereignisse:

• = {alle Personen steigen in der 4. Etage aus}
• = {alle Personen steigen gleichzeitig aus}
• = {alle Personen steigen auf verschiedenen Etagen aus}.

Augenzahl eines Würfels

Lösung

Für das Zufallsexperiment “Einmaliges Werfen eines Würfels” werden die Ereignisse $A=${Augenzahl $>$ 6} und $B=${Augenzahl $<$ 1} betrachtet. Sind die beiden Ereignisse $A$ und $B$ äquivalent?

Ausschussteile

Lösung

Bei der Produktion von Bauteilen kommt es zu Fehlern, durch die Ausschussteile entstehen. Es gibt drei Gründe, die zu Ausschussteilen führen. Aus Erfahrung sind die Wahrscheinlichkeiten für das Auftreten dieser Gründe bekannt:

$A_{1}={\mbox{Bedienungsfehler}}$	$P(A_{1})=0,1$
$A_{2}={\mbox{Technische Mängel der Maschine}}$	$P(A_{2})=0,0422$
$A_{3}={\mbox{Materialfehler}}$	$P(A_{3})=0,05$

Des weiteren sind folgende bedingte Wahrscheinlichkeiten bekannt:
$P(B|A_{1})=0,8$ und $P(B|A_{3})=0,6$
mit $B={\mbox{ein produziertes Teil ist Ausschuss}}$.
Zur Qualitätskontrolle wird ein Verfahren verwendet, das jedoch nicht perfekt ist. Wenn dieses Verfahren ein Ausschussteil feststellt, dann ist die Wahrscheinlichkeit gleich 0,95, dass es sich tatsächlich um Ausschuss handelt. Wenn das Verfahren kein Ausschussteil feststellt, dann ist die Wahrscheinlichkeit, dass es sich doch um Ausschuss handelt gleich 0,1. Von 100000 überprüften Teilen hat das Verfahren 5000 als Ausschuss deklariert. Somit erhält man:
$C={\mbox{das Verfahren deklariert ein Teil als Ausschuss}}$, $P(C)=0,05$
$P(B|C)=0,95\quad P(B|{\overline {C}})=0,1$
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für die Produktion eines Ausschussteiles, wenn an der Maschine technische Mängel bestehen: $P(B|A_{2})$?

Banknoten

Lösung

Ein Bankangestellter erkennt zu 90% gefälschte Banknoten und irrt sich zu 5% bei korrekten Banknoten. Der Anteil der gefälschten Banknoten liegt bei 0,2%.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine Banknote echt ist, die der Bankangestellte für falsch hält?

Bauernwirtschaft

Lösung

Ein Bauernhof hat maximal zwei Traktoren und zwei Pflüge. Das Ereignis $A$ bestehe darin, dass ein zufällig ausgewählter Bauernhof wenigstens einen Traktor und nicht weniger als einen Pflug hat. Das Ereignis $B$ bestehe darin, dass in einem Hof genau ein Traktor und nicht mehr als ein Pflug vorhanden ist.

• Geben Sie alle Elementarereignisse in der Form {Anzahl der Traktoren, Anzahl der Pflüge} an.
• Berechnen Sie die Anzahl der Elementarereignisse mittels der Kombinatorik.
• Bestimmen Sie den Durchschnitt der Ereignisse $A$ und $B$ formal und verbal.

Biergärten

Lösung

Eine Brauerei bewirtschaftet drei Biergärten $A$, $B$, $C$. Der Geschäftsführung kommen wiederholt Klagen über die unfreundliche Bedienung zu Ohren. Im Biergarten $A$ fühlen sich 10%, in $B$ 40% und in $C$ 70% unfreundlich bedient. Die Gäste verteilen sich im Verhältnis 60:30:10 auf die drei Biergärten.
Der Geschäftsführer der Brauerei unterhält sich mit einem unzufriedenen Gast. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass dieser Gast im Biergarten B war?

Blumen

Lösung

In einer Vase befinden sich vier Rosen, sechs Narzissen und zwei Lilien. Zwei Blumen werden zufällig aus der Vase genommen, eine nach der anderen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass man zwei Blumen der gleichen Art erhält?

Bus

Lösung

Ein Student wohnt in der Nähe einer Bushaltestelle einer Linie, die in der einen Richtung zur Universität, in der anderen Richtung in die Nähe seiner Freundin fährt. Die Busse in beide Richtungen fahren jeweils im Abstand von 20 Minuten, der Bus zur Freundin $^{\underline {00}}$, $^{\underline {20}}$ und $^{\underline {40}}$.

Da er sich häufig nicht entschließen kann, ob er zur Universität oder zu seiner Freundin fahren soll, überlässt er seine Wahl dem Zufall dadurch, dass er zufällig zur Haltestelle geht und den jeweils ersten Bus nimmt, mag dieser zur Universität oder zu seiner Freundin fahren. Da der Bus in beide Richtungen gleich häufig fährt, glaubt er, dass die Universität eine faire Chance hat. Nach einiger Zeit wundert er sich, dass er trotzdem sehr oft zu seiner Freundin und sehr selten zur Universität (nur an 20 von 200 Tagen) gefahren ist und hält dies für einen Wink des Schicksals !

Welche Ursache hat diese Erscheinung?

Eigener PKW

Lösung

Von den Angestellten einer Firma fahren 70% der Frauen und 80% der Männer mit dem eigenen PKW zum Büro. Die Anzahl weiblicher und männlicher Angestellter in dieser Firma stehen dabei im Verhältnis 3:2. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine Bürokraft der Firma, die mit dem PKW zur Arbeit kommt, weiblich ist?

Eignungstest

Lösung

Zur Beurteilung von Bewerbern als studentische Hilfskraft führt ein Professor einen Eignungstest durch, dessen Ergebnis zur Entscheidung über die Einstellung der Bewerber herangezogen wird. Aufgrund langjähriger Erfahrung ist bekannt, dass

• 25% der Bewerber den Eignungstest bestehen,
• 95% der Bewerber, die den Eignungstest bestehen, tatsächlich für die Tätigkeit geeignet sind.

Hinsichtlich der Bewerber, die den Test nicht bestehen, geht der Professor davon aus, dass unter ihnen trotzdem 10% geeignet wären.
Mit welcher Wahrscheinlichkeit besteht ein für die Tätigkeit geeigneter Bewerber den Einstellungstest?

Elemente eines Ereignisraumes

Lösung

Gegeben seien die Ereignisse $A$ und $B$ als Elemente des Ereignisraumes $S$ mit $P(A)=P(B)=1/2$ und $P(A\cup B)=3/4$. Welche der folgenden Feststellungen ist richtig?

a) A und B zerlegen S.	b) A und B sind komplementär.
c) A und B sind disjunkt.	d) A und B sind unabhängig.
e) keine von a) bis d)	f) es sind a) bis d) zusammen richtig.

Entwicklungsabteilung

Lösung

Die Entwicklungsabteilung eines Produzenten von Haushaltsgeräten ist in 90% der Fälle für die Markteinführung der von ihr entwickelten Geräte. Ein positives Votum der Entwicklungsabteilung führt mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,7 bei der Marketingabteilung ebenfalls zu einem positiven Votum. Sind beide Abteilungen für die Markteinführung des neuen Gerätes, so entscheidet die Geschäftsleitung dennoch mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,2 dagegen. Ist die Marketingabteilung gegen die Markteinführung, die Entwicklungsabteilung aber dafür, so stimmt die Geschäftsleitung nur mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,4 zu.

• Definieren Sie Ereignisse und ordnen Sie diese den im Text enthaltenen Wahrscheinlichkeiten zu.
• Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Markteinführung eines neuen Produkts sowohl von der Geschäftsleitung als auch von der Entwicklungs– und der Marketingabteilung getragen wird.
• Mit welcher Wahrscheinlichkeit entscheiden sich Geschäftleitung und Entwicklungsabteilung für die Markteinführung eines neuen Produkts?

Ereignisoperationen

Lösung

Geben Sie für die nachfolgenden Ereignisoperationen die Ergebnisse an: $A\cup A\quad A\cap A\quad A\cup \emptyset \quad A\cap \emptyset \quad \emptyset \cap S\quad A\cup S\quad A\cap S\quad A\cup {\overline {A}}\quad A\cap {\overline {A}}$

Ereignisraum

Lösung

Gegeben seien die Ereignisse A und B als Elemente des Ereignisraumes S mit $P(A)=P(B)=1/2$ und $P(A\cup B)=3/4$. Welche der folgenden Feststellungen ist richtig?

• A und B zerlegen S
• A und B sind komplementär
• A und B sind disjunkt
• A und B sind unabhängig

Erregertest

Lösung

Mit einem neuen Erregertest haben Mediziner die Erkennungsrate für den Bazillus “Beta” auf 95% gesteigert, d.h. die Wahrscheinlichkeit dafür, dass bei einem infizierten Probanden der Test ein positives Ergebnis liefert. Falls der Bazillus “Beta” nicht vorliegt, liefert der Test nur in 3% der Fälle einen positiven Befund. 2% der Bevölkerung sind mit dem Bazillus “Beta” infiziert.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein positiv getesteter Proband tatsächlich infiziert ist?

Fachbereichsrat

Lösung

Aus einem Fachbereichsrat, bestehend aus 4 Professoren und 4 wissenschaftlichen Mitarbeitern, soll ein Ausschuss mit 3 Mitgliedern gewählt werden. Ein Professor schlägt vor, die 3 Ausschussmitglieder so auszuwählen, dass jedes der 8 Fachbereichsratmitglieder die gleiche Chance hat, in den Ausschuss gewählt zu werden.

Bevor die wissenschaftlichen Mitarbeiter im Fachbereichsrat diesem Verfahren zustimmen, berechnen sie, wie groß die Wahrscheinlichkeit ist, dass in den Ausschuss nur Professoren gewählt werden. Helfen Sie ihnen dabei.

Fahrrad oder Straßenbahn

Lösung

Die Studentin Fritzi kann mit dem Fahrrad oder der Straßenbahn zur Uni fahren. Mit einer Wahrscheinlichkeit von 20% entscheidet sie sich für die Straßenbahn. Wenn Fritzi mit der Straßenbahn fährt, braucht sie in 60% aller Fälle mehr als 30 Minuten bis zur Uni. Mit dem Fahrrad kommt sie in 70% der Fälle nach weniger als 30 Minuten in der Uni an.
Heute hat Frizi 45 Minuten bis zur Uni gebraucht. Mit welcher Wahrscheinlichkeit hat sie heute die Straßenbahn benutzt?

Felgen

Lösung

Zu Beginn des Winterhalbjahres werden an einem PKW die Felgen mit den Winterreifen montiert. Das Ereignis $\{1,2,3,4\}$ gibt die jetzige Position der Felge an, die im letzten Jahr die $i$–te Position innehatte ($i=1,2,3,4$).

• Wieviele Möglichkeiten gibt es, die Felgen anzuordnen?
• Geben Sie das Ereignis an, dass keine Felge wieder an die gleiche Stelle wie im Vorjahr kommt.

Fernschreiben

Lösung

Bei Fernschreiben von Nachrichtenagenturen werden Zahlenangaben stets zweimal hintereinander übermittelt. Die Erfahrung zeigt, dass die Übertragung einer Zahl mit einer Wahrscheinlichkeit von 99% unverfälscht beim Empfänger ankommt. Wenn die erste Übertragung mit einem Fehler behaftet ist, erhöht sich die Wahrscheinlichkeit für einen Fehler bei der zweiten Übertragung auf 10%.

Mit welcher Wahrscheinlichkeit kommt ein Zahl bei wiederholter übertragung verfälscht beim Empfänger an?

Fernsehshow

Lösung

Bei einer Fernsehshow ist eine exklusive Reise zu gewinnen. Zur Vergabe der Reise wird folgende Regelung vorgegeben:
Es gibt zwei Urnen, sowie 12 schwarze und 12 weiße Kugeln.

Verfahren 1: In die eine Urne kommen 6 weiße und 2 schwarze Kugeln. Die restlichen Kugeln kommen in die andere Urne.
Verfahren 2: In jede Urne kommen je 6 weiße und 6 schwarze Kugeln.

Der Kandidat wählt eine Urne, aus der dann eine Kugel gezogen wird: Ist sie weiß, so hat er die Reise gewonnen. Der Kandidat kann dabei frei das Verfahren wählen, welches ihm die größte Gewinnchance sichert. Für welches Verfahren soll der Kandidat sich entscheiden? Begründen Sie.

Fußballmannschaft

Lösung

Von einer Fußballmannschaft sei bekannt, dass sie die Einzelspiele mit der Wahrscheinlichkeit 0,7 gewinnt. Die Kondition der Spieler ist so gut, dass der Kraftaufwand in einem Spiel nicht die anderen Spiele beeinflusst. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass bei einer Serie von 3 Spielen die gewonnenen Spiele überwiegen?

Gangsterbande

Lösung

Eine Gangsterbande will in London eine Bank ausrauben. Da die Gangster sich über den Wochentag (Montag,…,Samstag) nicht einigen können, beschließen sie eine Zufallsauswahl mit Hilfe eines regulären Würfels zu treffen.
Nun hat London aber eine tüchtige Kriminalpolizei (Scotland Yard) und einen noch tüchtigeren Detektiv (Sherlock Holmes). Scotland Yard klärt 25% aller Banküberfälle schon am selben Tag auf und fasst die Täter. Sherlock Holmes klärt unabhängig von Scotland Yard sogar 35% aller Banküberfälle schon am selben Tag auf und übergibt die Täter dann der Polizei. Was die Bankräuber allerdings nicht wissen: Sherlock Holmes hat für den ganzen Donnerstag eine feste Verabredung in Baskerville Hall und kann daher am Donnerstag natürlich keinen Londoner Bankraub aufklären.
Mit welcher Wahrscheinlichkeit sitzen die Bankräuber noch am Tag des Bankraubes im Gefängnis?

Garderobe

Lösung

5 Männer geben an der Garderobe ihre Hüte ab. Durch einen besonderen Umstand werden die Hüte ihren Besitzern nicht ordnungsgemäß, sondern zufällig zurückgegeben. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass jeder seinen Hut wieder bekommt?

Geburtstag

Lösung

Sie feiern mit ihren Freunden ihre Geburtstagsparty. Gehen Sie davon aus, dass ein Jahr immer 365 Tage hat und die Geburtstage ihrer Gäste unabhängig sind.

• Wenn Sie drei Gäste zu ihrer Geburtstagsparty eingeladen haben, wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens einer am gleichen Tag wie Sie Geburtstag hat?
• Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens zwei von ihren Gästen am gleichen Tag im Jahr Geburtstag haben?
• Wie groß sind die Wahrscheinlichkeiten, wenn Sie 23 Gäste haben?
• Wie erklären Sie sich das Ergebnis aus c)?

Hörer/innen einer Statistik–Vorlesung

Lösung

Die 300 Hörerinnen und Hörer einer Statistik–Vorlesung setzen sich wie folgt zusammen:

Fachrichtung
	männlich	weiblich
VWL	42	93
BWL	78	87

Eine Person wird zufällig ausgewählt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass

• ein männlicher Hörer ausgewählt wurde?
• eine Hörerin ausgewählt wurde?
• ein Hörer ausgewählt wurde, der männlich oder Volkswirt(in) ist?
• ein Hörer ausgewählt wurde, der weiblich und Betriebswirt ist?
• Es wurde eine Hörerin ausgewählt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass sie BWLerin ist?
• Es wurde ein VWLer ausgewählt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass es ein männlicher Hörer ist?

Jeeps

Lösung

Frau Pünktlich lebt in einem Landhaus auf einem hohen Berg. Im Winter startet der Motor ihres Jeeps mit einer Wahrscheinlichkeit von 80%. Da sie auf einen exakten Arbeitsbeginn Wert legt, kauft sie einen zweiten gebrauchten Jeep einer anderen Marke. Leider stellt sich heraus, dass dieser zweite Jeep im Winter nur mit einer Wahrscheinlichkeit von 50% anspringt.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass Frau Pünktlich nicht pünktlich zur Arbeit erscheint?

Kartenspiel

Lösung

Aus einem Kartenspiel mit 32 Karten werden zufällig Karten gezogen. Welche der folgenden Ereignisse schließen sich gegenseitig aus?

$A=${Kreuz}, $B=${8}, $C=${Karo 7, Karo 8, Karo 9}, $D$ = {Herz 7}

Kfz–Händler

Lösung

Ein Kfz–Händler weiß aus langjähriger Erfahrung, dass bei den in Zahlung genommenen Personenkraftwagen 60% Mängel am Motor, 80% Mängel an der Karosserie und 40% Mängel an Motor und Karosserie auftreten. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein in Zahlung genommener PKW weder Mängel am Motor noch an der Karosserie aufweist?

Kugeln

Lösung

In einer Urne befinden sich 3 weiße, 5 schwarze und 2 rote Kugeln. Es werden zufällige Ziehungen ohne Zurücklegen vorgenommen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, bei 3 Ziehungen zunächst eine rote, dann eine weiße und schließlich nochmals eine rote Kugel zu ziehen?

Kundenbesuche

Lösung

Herr M. macht als Geschäftsmann oft Kundenbesuche mit dem Auto in Polen. Auf seinem Weg fährt er nur über die Grenzübergänge Guben und Forst und muss Wartezeiten an der Grenze in seinem Zeitplan berücksichtigen. Welchen Grenzübergang Herr M. wählt, hängt davon ab, wo er seinen jeweiligen Kunden besucht. Die Erfahrung zeigt, dass er mit 40%–iger Wahrscheinlichkeit den Grenzübergang Forst und mit 60%–iger Wahrscheinlichkeit den Grenzübergang Guben nehmen muss. Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass er über Guben fährt und sehr lange warten muss, beträgt 30%. Bevor Herr M. erfährt, welchen Kunden er in der nächsten Woche besuchen muss, sollen Sie für ihn folgende Frage beantworten:
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er an der Grenze sehr lange warten muß, wenn er über Guben fährt?

Last

Lösung

Eine Last hängt an zwei Seilen. Jedes Seil allein vermag die Last zu tragen. Jedes Seil hält unabhängig vom anderen mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,99. Mit welcher Sicherheit hängt die Last?

Lebenserwartung der US–Bürger

Lösung

Dem aktuellen Bericht des National Center for Health Statistics der Vereinigten Staaten über die Lebenserwartung der US–Bürger kann man entnehmen, dass ein zufällig ausgewählter Bürger mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,98 mindestens 25 Jahre alt wird und mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,80 mindestens das 60. Lebensjahr vollendet.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein 25 Jahre alter Amerikaner das 65. Lebensjahr nicht vollendet?

Münzwurf

Lösung

Die Studenten Hinz und Kunz können entweder mit dem Fahrrad oder mit der Straßenbahn zur Uni fahren. Hinz entscheidet stets mit einem einfachen Münzwurf – Zahl bedeutet Fahrrad und Kopf bedeutet Straßenbahn. Kunz wohnt etwas weiter entfernt und möchte daher weniger oft mit dem Fahrrad fahren. Daher benutzt er zur Entscheidung zwei Münzen und fährt nur dann Fahrrad, wenn er mit beiden Münzen Zahl geworfen hat.
Es ist davon auszugehen, dass Hinz und Kunz sich unabhängig voneinander entscheiden, welches Verkehrsmittel sie wählen und dass die Münzwürfe jeweils mit einer Wahrscheinlichkeit von 50% Kopf oder Zahl ergeben.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit (in %) dafür, dass Hinz und Kunz an einem Tag beide mit der Straßenbahn zur Uni fahren?

Musikkassette

Lösung

Eine Musikkassette werde zu 70% im Auto und sonst in der Wohnung abgespielt. Im Auto habe diese mit 75%-iger und in der Wohnung mit 95%-iger Wahrscheinlichkeit eine Lebensdauer von mehr als 500 Betriebsstunden. Mit welcher Wahrscheinlichkeit werden für die Kassette mehr als 500 Betriebsstunden erreicht?

Nicht–disjunkte Teilmengen

Lösung

$A$, $B$ und $C$ seien nicht–disjunkte Teilmengen eines Ereignisraumes $S$. Nur mit Hilfe der Symbole für Vereinigung, Durchschnitt, Differenz und Komplementärereignis, sowie der Buchstaben $A$, $B$ und $C$ sind Ausdrücke dafür zu notieren, dass von den Ereignissen $A$, $B$, $C$

• wenigstens eines eintritt,
• nur $A$ eintritt (d.h. $B$ und $C$ treten nicht ein),
• $A$ und $B$ eintreten, aber nicht $C$,
• alle drei eintreten,
• keines eintritt,
• genau eines eintritt,
• höchstens zwei eintreten.

Öffentliche Verkehrsmittel

Lösung

In einer Großstadt gibt es drei öffentliche Verkehrsmittel: S–Bahn (S), U–Bahn (U) und Bus (B). Die folgenden Anteile der Bevölkerung der Großstadt sind als Benutzer/innen dieser Verkehrsmittel bekannt:

$P(S)=0.30$, $P(U)=0.4$, $P(B)=0.15,$
$P(U\cap S\cap B)=0.01,$
$P(U\cap S)=0.08$, $P(U\cap B)=0.02$, $P(S\cap B)=0.05.$

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine zufällig ausgewählte Person

• nicht die U–Bahn
• die S–Bahn oder den Bus
• kein Verkehrsmittel
• höchstens zwei der drei Verkehrsmittel

benutzt?

Papierstreifen

Lösung

In einer Urne befinden sich 4 Papierstreifen gleicher Größe. Jeder Papierstreifen ist mit einer der vier folgenden Aufschriften versehen: 110, 101, 011, 000, wobei nicht zwei Steifen die gleiche Aufschrift tragen. Es wird ein Papierstreifen zufällig aus der Urne gezogen und folgende Ereignisse betrachtet:

$A_{1}$	=	{Ziehen eines Streifens mit Aufschrift, die an 1. Stelle eine 1 hat}
$A_{2}$	=	{Ziehen eines Streifens mit Aufschrift, die an 2. Stelle eine 1 hat}
$A_{3}$	=	{Ziehen eines Streifens mit Aufschrift, die an 3. Stelle eine 1 hat}

• Sind die Ereignisse $A_{1}$, $A_{2}$ und $A_{3}$ in ihrer Gesamtheit unabhängig?
• Sind die Ereignisse paarweise unabhängig?

Produktionshalle

Lösung

In einer Produktionshalle eines Betriebes sind 3 Maschinen $M_{1}$, $M_{2}$ und $M_{3}$ im Einsatz. Mit $A_{i}$ werden die Ereignisse bezeichnet, dass die Maschine $M_{i}$ ($i=1,2,3$) während einer bestimmten Zeitspanne nicht ausfällt und damit den Reparaturdienst nicht beansprucht. Von Interesse sind folgende Ereignisse (bezogen auf diese Zeitspanne):

$A=${wenigstens eine Maschine fällt nicht aus}

$B=${keine Maschine fällt aus}

$C=${nur die dritte Maschine fällt aus}

$D=${alle Maschinen fallen aus}

$E=${nur eine Maschine fällt aus}

• Stellen Sie die Ereignisse $A$ bis $E$ durch die Ereignisse $A_{1}$, $A_{2}$ und $A_{3}$ dar.
• Geben Sie Beziehungen zwischen diesen Ereignissen an.

RealProfit

Lösung

Die folgende Tabelle zeigt die Wahrscheinlichkeiten für die Gewinne des RealProfit Unternehmens im nächsten Jahr.

Gewinn (in EUR) $X$	-10000	0	5000	10000	15000	20000
$P(X=x)$		0,2	0,2	0,25	0,1

Ergänzen Sie die fehlenden Werte so, dass das Unternehmen RealProfit mit der Wahrscheinlichkeit 0,75 profitabel arbeitet (positiven Gewinn erwirtschaftet). Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für einen negativen Gewinn?

Regal

Lösung

Ein vierbändiges Werk steht auf einem Regal in zufälliger Ordnung. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Bände in richtiger Reihenfolge von rechts nach links oder von links nach rechts stehen?

Reitturnier

Lösung

Für ein Reitturnier wurde eine Hindernisbahn aufgebaut, die aus 60% Steilsprüngen, 30% Oxern und 10% Gräben besteht. Die Fehlerquoten sind bei diesen Hindernissen erfahrungsgemäß unterschiedlich und betragen für jedes Pferd bei Steilsprüngen 3%, bei Oxern 4% und bei Gräben 5%.

• Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Pferd bei einem beliebigen Hindernis nicht fehlerfrei ist?
• Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Pferd beim dritten Hindernis den ersten Fehler macht, wenn die Hindernisbahn nur aus Oxern besteht?

Schachbrett

Lösung

Auf einem Schachbrett werden 8 Türme platziert. Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis A, dass keiner dieser Türme den anderen schlagen kann.

(Ein Schachbrett hat $8\cdot 8=64$ Felder. Ein Turm kann einen anderen Turm schlagen, wenn dieser in gerader Richtung zu ihm steht.)

Schummelei

Lösung

Prof. Antischumm bekämpft die Schummelei während der Klausuren. Daher hat er eine Schummel–Diagnose–Maschine erfunden, über die folgenden Angaben vorliegen: 90% der Studenten, die schummeln, werden als solche erkannt, und 90% der Studenten, die nicht schummeln, werden als ehrlich erkannt. Aus Erfahrung weiß man weiterhin, dass 10% aller Studenten schummeln.

• Definieren Sie Ereignisse und ordnen Sie im Text enthaltene Wahrscheinlichkeiten zu.
• Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Maschine einen Schummelverdacht liefert?
• Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein Student wirklich schummelt, falls die Maschine einen entsprechenden Verdacht geliefert haben sollte?

Spiel 4 aus 20

Lösung

Auf einem Jahrmarkt wird das Spiel 4 aus 20 gespielt. Dazu geben die Teilnehmer eine Kombination von 4 aus 20 Buchstaben ab (keine Wiederholung erlaubt). In einer Urne befindet sich für jeden Buchstsben eine Kugel. Es werden per Zufall 4 Kugeln aus der Urne gezogen. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit genau zwei Richtige zu haben.

Summe von Augenzahlen

Lösung

Es werde mit zwei regulären Würfeln je einmal gewürfelt. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass der eine Würfel die Augenzahl 2 und der andere die Augenzahl 3 zeigt, unter der Bedingung, dass die Summe beider Augenzahlen gleich 5 ist.

Systemausfallrisiko

Lösung

Ein Unternehmen bedient sich zur Bearbeitung seiner betriebswirtschaftlichen Vorgänge eines modernen Datenverarbeitungs– und Kommunikationssystems, das durch zwei voneinander unabhängig arbeitende Computer bedient wird. Das System fällt aus, wenn beide Computer ausfallen. Die Ausfallwahrscheinlichkeit des Computers A im Verlaufe eines Arbeitstages beträgt 0,05 und die des Computers B 0,04.
Mit welcher Wahrscheinlichkeit fällt das System im Verlaufe eines Arbeitstages nicht aus?

Tagesproduktion

Lösung

In einem Betrieb werden täglich 1 000 Stück eines Produktes hergestellt. Eine Maschine $M_{1}$ produziert 100 Stück mit 5% Ausschuss, $M_{2}$ 400 Stück mit 4% Ausschuss und $M_{3}$ 500 Stück mit 2% Ausschuss. Aus der Tagesproduktion wird ein Stück zufällig herausgegriffen und geprüft: Es ist ein Ausschussstück. Welche Maschine hat mit größter Wahrscheinlichkeit das Produkt gefertigt?

Tageszeitungen

Lösung

In einer Kleinstadt gibt es nur die beiden Tageszeitungen $Z_{1}$ und $Z_{2}$. 60% der Bewohner lesen $Z_{1}$ und 80% der Bewohner lesen $Z_{2}$. Keine der beiden Zeitungen lesen 10% der Bewohner. Eine Person wird zufällig ausgewählt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass diese Person

• beide Zeitungen liest?
• $Z_{1}$ liest, aber nicht $Z_{2}$?
• $Z_{2}$ liest, wenn sie nicht $Z_{1}$ – Leser ist?
• höchstens eine Zeitung liest?
• $Z_{1}$ nicht liest?

Tennis

Lösung

Ein Assistent geht an 8 von 20 Arbeitstagen am frühen Nachmittag Tennis spielen, denn die Wahrscheinlichkeit dafür, dass sein Chef versucht, ihn am frühen Nachmittag aufzusuchen bzw. anzurufen, beträgt nur 0,1. Es kann davon ausgegangen werden, dass die Handlungen des Assistenten und des Chefs unabhängig voneinander sind.
An wie vielen von 20 Arbeitstagen darf der Assistent nachmittags Tennis spielen gehen, wenn die Wahrscheinlichkeit dafür, vom Chef nicht angetroffen zu werden, höchstens 1% betragen soll?

Unabhängige Ereignisse

Lösung

Die Wahrscheinlichkeiten der Ereignisse in der folgenden Abbildung sind proportional zu den jeweiligen Flächeninhalten.

Welche(s) der nachstehend genannten Ereignispaare besteht aus unabhängigen Ereignissen?

a) $B_{1},B_{2}$	b) $B_{1},B_{3}$	c) $B_{1},B_{4}$	d) $B_{2},B_{3}$	e) $B_{2},B_{4}$
f) $B_{3},B_{4}$	g) $A,B_{1}$	h) $A,B_{2}$	i) $A,B_{3}$	j) $A,B_{4}$

Verkehrsunfälle

Lösung

Der Bundesverband der Krankenversicherer hat ermittelt, dass bei Verkehrsunfällen von angegurteten PKW-Fahrern nur in 8% der Fälle schwere Kopfverletzungen aufgetreten sind. Hatte der Fahrer keinen Sicherheitsgurt angelegt, betrug die Wahrscheinlichkeit 38%, dass keine schweren Kopfverletzungen auftraten. Durch Polizeikontrollen weiß man, dass trotz Anschnallpflicht 15% aller Fahrer keinen Sicherheitsgurt anlegen.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Fahrer, der nach einem Unfall mit schweren Kopfverletzungen ins Krankenhaus eingeliefert wurde, keinen Sicherheitsgurt angelegt hatte?

Waldbrand

Lösung

Untersuchungen haben ergeben, dass der Förster eines bestimmten Reviers einen Waldbrand mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,05 zu spät entdeckt und mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,03 sein Feuermelder nicht funktioniert, wenn er betätigt wird.

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass im Falle eines Brandes die Feuerwehr nicht rechtzeitig alarmiert wird?

Webstühle

Lösung

Ein Arbeiter bediene 3 voneinander unabhängige Webstühle. Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Webstuhl im Laufe einer Stunde die Aufmerksamkeit des Arbeiters nicht erfordert, sei für den ersten Webstuhl 0,9, für den zweiten 0,8 und für den dritten 0,85.

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass

• im Laufe einer Stunde keiner der Webstühle die Aufmerksamkeit des Arbeiters in Anspruch nimmt?
• wenigstens einer der drei Webstühle im Laufe einer Stunde die Aufmerksamkeit des Arbeiters nicht in Anspruch nimmt?

Wochenendgrundstück

Lösung

Familie Sonne hat auf Rügen ein Wochenendgrundstück. Auf die Insel Rügen kommt man entweder über den Rügendamm oder mit der Fähre. Die Familie bestimmt den Anfahrtsweg mit dem Wurf einer (fairen) Münze: Kopf bedeutet Rügendamm und Zahl bedeutet Fähre. Wenn es nicht regnet, fährt Familie Sonne am Wochenende immer nach Rügen. Die Wahrscheinlichkeit, dann am Rügendamm im Stau zu stehen sei 25%, die Wahrscheinlichkeit, vor der Fähre im Stau zu stehen sei 10%. Wenn es regnet, bleiben die Sonnes natürlich zu Hause.
Mit welcher Wahrscheinlichkeit steht Familie Sonne nächstes Wochenende nicht im Stau, wenn die Niederschlagswahrscheinlichkeit zu dieser Jahreszeit 0,20 beträgt?

Wurf eines Würfels

Lösung

Es wird das Zufallsexperiment “Zweimaliges Werfen eines Würfels” ausgeführt. Speziell werden dafür die Ereignisse $A=${6 beim ersten Wurf} und $B=${6 beim zweiten Wurf} betrachtet.

• Geben Sie für dieses Zufallsexperiment den Ereignisraum an.
• Berechnen Sie die Anzahl der Elementarereignisse mittels der Kombinatorik.
• Definieren Sie die Ereignisse $A$ und $B$ mittels der Elementarereignisse.
• Bestimmen Sie die Vereinigung und den Durchschnitt der beiden Ereignisse $A$ und $B$.
• Stellen Sie den Ereignisraum, die Ereignisse $A$ und $B$, deren Vereinigung und deren Durchschnitt im Venn–Diagramm dar.
• Geben Sie ein unmögliches Ereignis für dieses Zufallsexperiment an.
• Geben Sie die Komplementärereignisse zu $A$ bzw. $B$ an.
• Gilt $A\subset B$?
• Sind die Ereignisse $A$ und $B$ disjunkt?

Zerlegung

Lösung

Für ein Zufallsexperiment mit dem Ereignisraum S = 1,2,3,4,5 betrachtet man folgende Ereignisse: $A_{1}=\{1\},A_{2}=\{4\},A_{3}=\{1,2\},A_{4}=\{3,5\},A_{5}=\{1,2,4\},A_{6}=\{2,4,5\}$.
Bilden folgende Ereignisse gemeinsam eine Zerlegungen von S?

• $A_{3},A_{4},A_{5}$
• $A_{4},A_{6}$
• $A_{1},A_{2},A_{4}$
• $A_{2},A_{5},A_{6}$
• $A_{5},A_{6}$
• $A_{2},A_{3},A_{4}$

Zufällige Ziehung einer Karte

Lösung

Aus einem Kartenspiel mit 32 Karten (4 Farben zu je 8 Karten) wird zufällig eine Karte gezogen. Wie großist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass

• eine Pik–Karte gezogen wird?
• ein Ass gezogen wird?
• ein Ass oder eine Pik–Karte gezogen wird?

Zufallsexperiment

Lösung

Das Zufallsexperiment besteht im einmaligen Werfen eines “idealen” Würfels. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür,

• eine 3 zu werfen?
• eine 1 oder 5 zu werfen?
• eine gerade Augenzahl zu werfen?
• Welche Definition der Wahrscheinlichkeit haben Sie angewandt?

(“ideal” bedeutet, dass jede Seite des Würfels mit der gleichen Wahrscheinlichkeit eintreten kann)

Zwei Würfel

Lösung

Zwei Würfel werden geworfen. Definieren Sie das Ereignis $A=${Augenzahl beträgt 7} mittels Elementarereignissen.