Verteilungsmodelle/Aufgaben

Abendessen

  (Lösung)

Die Studentin Fritzi kauft für ein Abendessen mit Freunden ein. Beim Obst- und Gemüsehändler kauft sie eine 1 kg-Schale Apfel und ein 1 kg-Netz Mandarinen.
Der statistisch versierte Obst- und Gemüsehändler Paul erklärt ihr, dass er seine 1 kg-Packungen immer gewissenhaft überprüft. Über die Jahre sind alle Packungen immer normalverteilt und haben tatsächlich einen Erwartungswert von 1 kg. Interessanterweise haben die Apfel-Schalen eine Varianz von 400 g$^{2}$, während die Mandarinen-Netze nur eine Varianz von 225 g$^{2}$ haben.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass Fritzi bei zufälliger Auswahl der Apfel–Schale und des Mandarinen-Netzes mehr als 1950 g Obst nach Hause trägt?

Bäcker Backfrisch

  (Lösung)

Bäcker Backfrisch vertreibt in seinem Laden hochfeine Marzipanschweine. Es sei X das “Gewicht eines Marzipanschweins”, eine normalverteilte Zufallsvariable mit $E(X)$ = 150 g und $Var(X)$ = 16 g$^{2}$. Max, der davon ausgeht, dass das Gewicht der einzelnen Marzipanschweine unabhängig voneinander ist, geht in den Laden und kauft 4 Marzipanschweine.

• Wie ist die Zufallsvariable Y: “Gewicht der 4 Marzipanschweine” verteilt?
• Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass das Gewicht der 4 Marzipanschweine
  • genau 600 g beträgt?
  • nicht mehr als 1% vom Erwartungswert abweicht?

Betriebe der chemischen Industrie

  (Lösung)

Ein Beamter im Umweltamt ist zuständig für die Betriebe der chemischen Industrie. Jedes Unternehmen erstellt täglich einen Bericht für das Umweltamt, wobei alle Betriebe voneinander unabhängig arbeiten. Der Beamte teilt die Tagesberichte in positive (keine Zwischenfälle) und negative (ein oder mehrere Zwischenfälle) Tagesberichte ein.

Es werden 25 zufällig ausgewählte Betriebe einer bestimmten Region betrachtet. Die Wahrscheinlichkeit, dass ein negativer Tagesbericht erstellt wird, ist aufgrund von strengen Gesetzen für Schutz- und Sicherheitsmaßnahmen für jeden Betrieb 1%.

Im Umweltamt wird überlegt, ob die Tagesberichte für einen Monat (=30 Tage) zusammengefawerden sollen.

• Wie ist die Zufallsgröße $Y$: “Anzahl der pro Monat erstellten negativen Tagesberichte” exakt verteilt? (Verteilungstyp und Verteilungsparameter)
• Wieviele negative Tagesberichte können im Umweltamt für April (30 Tage) erwartet werden?
• Durch welche diskrete Verteilung kann die Verteilung von $Y$ approximiert werden? Überprüfen Sie die Approximationsvoraussetzungen und geben Sie Verteilungstyp und Verteilungsparameter an!
• Mit welcher Wahrscheinlichkeit werden für April weniger als 8 negative Tagesberichte erstellt?
• Mit welcher Wahrscheinlichkeit werden für April mehr als 744 positive Tagesberichte erstellt?

Bogenschütze

  (Lösung)

Bogenschütze A. Mor will seine Freunde mit seiner Kunst beeindrucken. Er weiß, dass er im Durchschnitt 3 Treffer bei 5 Schüssen erzielt. Um sein Können unter Beweis zu stellen, schießt er 8 mal auf eine Scheibe.

• Wie ist die Zufallsvariable $X_{i}$: Treffer beim i–ten Schuß und die Zufallsvariable Y: Treffersumme bei 8 Schüssen verteilt? Begründen Sie Ihre Antwort.
• Geben Sie die zu erwartende Treffersumme allgemein und konkret für das Beispiel an.
• Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass A. Mor genau dreimal trifft?

Briefmarkenschalter

  (Lösung)

Am Briefmarkenschalter eines Postamtes kommen im Durchschnitt 4 Kunden pro Minute an den Schalter. Der Schalterbeamte kann maximal 5 Kunden pro Minute abfertigen. Zu Beginn eines Beobachtungszeitraumes sei kein Kunde am Schalter. Es sei X die Anzahl der Kunden, die pro Minute eintreffen.
Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass sich nach einer Minute eine Schlange gebildet hat.

Computernetzwerk

  (Lösung)

Bei einem Computernetzwerk treten durchschnittlich 3 Defekte in 30 Tagen auf.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass bis zum nächsten Defekt mehr als 21 Tage vergehen?

Dichtefunktion

  (Lösung)

Es sei $f$ eine durch folgende Formel beschriebene Dichtefunktion der Zufallsvariablen $X$ gegeben. $f(x)={\begin{cases}0&{\text{für}}-\infty <x<0\\2e^{-2x}&{\text{für}}\qquad 0\leq x<\infty \end{cases}}$

Bestimmen Sie den Erwartungswert von $(X-0,5)^{2}$.

Eier

  (Lösung)

Von einer Eiersorte sei bekannt, dass von einer Packung mit 6 Eiern 2 Eier faul sind. Aus dieser Packung werden zufällig 3 Eier ausgewählt und auf ihre Güte überprüft, d.h. in die Pfanne geschlagen.

• Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass genau ein Ei faul ist?
• Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass höchstens ein Ei faul ist?
• Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass genau drei Eier faul sind?
• Wie viele faule Eier kann man bei der Prüfung von 3 Eiern erwarten?

Auf einer kleinen Hühnerfarm werden in einem langen Zeitraum mehr als 500 Eier produziert. Man weiß, das mit 80%iger Wahrscheinlichkeit ein solches Ei gut, d.h. nicht faul ist. Es wird eine Lieferung von 20 dieser Eier bestellt bei Zufallsauswahl der Eier.

• Wie groß ist approximativ die Wahrscheinlichkeit, dass mehr als 2 faule Eier in der Lieferung sind?
• Berechnen Sie den Erwartungswert der Zufallsgröße “Anzahl der guten Eier in der Lieferung”.
• Berechnen Sie approximativ die Wahrscheinlichkeit, dass genau 16 faule Eier in der Lieferung sind.

Elektronisches Bauteil

  (Lösung)

Bei einem elektronischen Bauteil kann man 48 Ausfälle pro Tag (=24 Stunden) erwarten. Die Ausfälle erfolgen kurzfristig, rein zufällig und unabhängig voneinander.

• Wie ist die Zeit (in Stunden) zwischen zwei Ausfällen verteilt? Geben Sie Verteilungstyp und Verteilungsparameter an.
• Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass bis zum nächsten Ausfall mehr als zwei Stunden vergehen?
• Verbalisieren Sie an diesem Beispiel folgende Formel: $\int _{1}^{2}2e^{-2x}\,dx$
• Nehmen Sie an, dass ein elektronisches System aus zwei dieser Bauteile besteht, welche unabhängig voneinander funktionieren. Das System fällt aus, sobald ein Bauteil nicht mehr funktioniert.
  

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass das System mehr als zwei Stunden funktioniert?

Fahrtkostenzuschuss

  (Lösung)

Die 50 Mitarbeiter eines Unternehmens bekommen für ihren Weg zur Arbeitsstelle einen pauschalen Fahrtkostenzuschuss von EUR 0,10 pro Kilometer und Tag. Der tatsächliche Weg von zu Hause zur Arbeit (in km) der einzelnen Mitarbeiter sei unabhängig voneinander und identisch normalverteilt mit den Parametern $\mu =50$ km und $\sigma ^{2}=32$ km$^{2}$.
Mit welcher Wahrscheinlichkeit hat das Unternehmen an die Mitarbeiter mehr als 255 Euro pro Tag zu zahlen?

Formfehler

  (Lösung)

In einem Unternehmen haben 10% der in großer Zahl vorhandenen Belege einen Formfehler. Ein Wirtschaftsprüfer wählt zufällig 10 Belege aus.

• Wie ist die Anzahl der fehlerhaften Belege verteilt?
• Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass er mehr als einen fehlerhaften Beleg findet.

Gaststätte

  (Lösung)

In einer Gaststätte, die nur Kontakt suchende Singles betreten dürfen, kann sich ein Gast durch zünftige Menüs verwöhnen lassen.

• An einem normalen Sonntag, an dem die Gaststätte von 19.00 Uhr bis 24.00 Uhr geöffnet ist, kommen gewöhnlich – unabhängig voneinander – 25 Gäste. Man kann davon ausgehen, dass während der öffnungszeit in jedem Zeitabschnitt gleichviele Gäste erwartet werden.
  • Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass in der ersten Stunde genau ein Gast kommt?
  • Wieviele Minuten vergehen an einem Sonntagabend im Mittel zwischen der Ankunft zweier Gäste?
• Ein Gast hat die Möglichkeit, so oft nachzubestellen, wie es ihm beliebt. Der Wirt geht davon aus, dass jeder Gast – unabhängig von den anderen Gästen – höchstens einmal nachbestellt. Er weiß weiterhin, dass ein Gast mit 70%–iger Wahrscheinlichkeit nicht nachbestellt.
  • Wie ist die Zufallsvariable X: Anzahl der Nachbestellungen an einem Sonntagabend exakt verteilt, wenn man von der o.g. gewöhnlichen Gästezahl ausgeht?
  • Ist die gewöhnliche Gästezahl erschienen, wird mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,05% die Kapazität der Küche durch die Nachbestellungen überschritten. Bestimmen Sie, bei wieviel Nachbestellungen die Kapazitätsgrenze erreicht ist.

Gemeindegröße

  (Lösung)

Im Jahrbuch des statistischen Bundesamtes 1999 ist angegeben, dass zum 31.12.1997 in Baden-Würtemberg 3,3626% der Gemeinden weniger als 1.000 Einwohner und 0,8894% der Gemeinden mehr als 100.000 Einwohner haben. Unter der Annahme, dass die Gemeindegröße normalverteilt ist, berechnen Sie die Standardabweichung der Verteilung. Wählen Sie als Einheit für die Gemeindegröße Tausend Einwohner.

Geschirr

  (Lösung)

Die lieben Verwandten haben ihren alljährlichen Besuch bei Familie Furchtsam angekündigt. Die Besuchsdauer wird 5 Tage betragen. Mutter Furchtsam sieht dem Besuch mit großer Sorge entgegen, denn täglich zertrümmern die Verwandten von Tag zu Tag unabhängig mit einer Wahrscheinlichkeit von 70% Geschirr.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass während der Besuchsdauer an genau zwei Tagen Geschirr kaputt geht?

Gleichverteilung

  (Lösung)

Die Zufallsvariable $X$ sei gleichverteilt in den Grenzen $a$ und $b$ und besitze den Erwartungswert 16 und die Varianz 12.
Bestimmen Sie die numerischen Werte der Grenzen $a$ und $b$.

Jahresrendite

  (Lösung)

Ein Anleger verfügt zu Jahresbeginn über 150.000,- Euro, die er bei einer Bank anlegt, die ihm eine zufällige Jahresrendite R garantiert. Diese Jahresrendite ist gleichverteilt zwischen 6% und 8%. Berechnen Sie die Standardabweichung des Jahresendvermögens.

Kommode

  (Lösung)

In aller Eile greift Studentin Fritzi morgens in ihre Kommode um zwei einzelne Handschuhe herauszuziehen. In der Kommode befanden sich 10 Paar schwarze Handschuhe.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass Fritzi zwei linke Handschuhe erwischt hat?

Kornflakes

  (Lösung)

Die Firma Kallocks bringt eine neue Sorte Kornflakes auf den Markt. Als Kaufanreiz wird den Packungen ein halbes Jahr lang ein Sammelcoupon beigelegt. Für jeweils 4 solcher Coupons kann man sich dann nach dem halben Jahr ein Poster zuschicken lassen.

Nun ist leider die Maschine, die für die Verteilung der Coupons auf die einzelnen Packungen verantwortlich ist, mit einem Fehler behaftet, der bewirkt, dass 25% der Packungen ohne Coupon zur Auslieferung kommen. Fritzchen ist scharf auf diese Poster und kauft daher jede Woche von seinem Taschengeld eine Packung Kornflakes von dieser Firma.

• Geben Sie den Verteilungstyp und die Verteilungsparameter der Zufallsvariablen $X$ an.
  $X$: “Anzahl der Packungen mit Coupon innerhalb des halben Jahres (= 26 Wochen), die sich Fritz kauft”

• Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass Fritzchen Coupons für

  • genau 3 Poster,

  • höchstens 4 Poster,

  • genau 6 Poster,

  • höchstens 1 Poster

  in einem halben Jahr zusammenbekommt?

• Mit wie vielen Packungen mit Coupons kann Fritzchen in dem halben Jahr rechnen?

Landwirtschaftsexperte

  (Lösung)

Ein Landwirtschaftsexperte ist der Auffassung, dass 10% der europäischen Rinder BSE–verseucht sind. Geben Sie die kleinstmögliche Anzahl von zufällig ausgewählten Rindern an, um mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 95% wenigstens ein BSE–verseuchtes Rind zu erhalten.

Miss–Wahl

  (Lösung)

Bei der Vorauswahl zur Miss-Wahl 2015 bewerben sich 25 Kandidatinnen, die unabhängig voneinander von einer Jury beurteilt werden. Aufgrund langjähriger Erfahrung kann davon ausgegangen werden, dass sich eine Kandidatin mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,55 für den weiteren Wettbewerb als geeignet erweist.
Mit welcher Wahrscheinlichkeit werden von der Jury 12 Kandidatinnen für den Endausscheid ausgewählt?

Mittagszeit

  (Lösung)

• Verkäuferin Mona weiß aus Erfahrung, dass während der Mittagszeit (13.00 Uhr bis 15.00 Uhr) durchschnittlich nur alle 15 Minuten ein Kunde den Laden betritt.
  • Wie ist die Zufallsvariable $U_{1}$: “Wartezeit bis zum Eintreffen des nächsten Kunden in der Mittagszeit” verteilt? Geben Sie Verteilungstyp und Verteilungsparameter an.
  • Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass Mona in der Mittagszeit mehr als 30 Minuten auf den ersten Kunden warten muss?
  • Mona wartet nun schon 30 Minuten vergeblich. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass auch in den nächsten 15 Minuten kein Kunde den Laden betritt?
• Mona erhält regelmäßig alle 3 Stunden frische Ware. Sie hat heute leider ihre Uhr vergessen und bittet ihren Freund Leonardo, der ihr Gesellschaft leistet, um statistischen Rat.
  • Wie ist die Zufallsgröße $U_{2}$: “Wartezeit auf die frische Ware” verteilt? (Verteilungstyp und Verteilungsparameter)
  • Mona hat sich bereits eine Stunde angeregt mit Leonardo unterhalten, ohne dass frische Ware eingetroffen ist.
    

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass Mona innerhalb der nächsten halben Stunde frische Ware erhält?

Parkplaketten

  (Lösung)

In einer Universität werden jedes Semester 400 Parkplaketten verlost. An dieser Verlosung nehmen jedes Semester 1000 Studenten teil.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass Student Meyer in mindestens zwei der nächsten drei Semester eine Parkplakette erhält, wenn er jedes Semester an der Verlosung teilnimmt?

Pizza– und Kuchenverkauf

  (Lösung)

Die Bäckerei Backfrisch betreibt seit neuestem auch einen Pizzaverkauf. Verkäuferin Mona hat beobachtet, dass vormittags (8-11 Uhr) durchschnittlich alle 5 Minuten ein Kunde kommt, der Kuchen will. Ein Kunde, der Pizza will, kommt vormittags nur durchschnittlich alle 20 Minuten.
Mona macht heute pünktlich um 8 Uhr ihren Laden auf. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit (in %), dass innerhalb der ersten 10 Minuten nach Ladenöffnung mindestens ein Pizza-Kunde und kein Kuchen-Kunde kommt?

Polizeistation

  (Lösung)

In einer Polizeistation kommen durchschnittlich in einer Stunde 0,5 Unfallmeldungen herein. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass länger als 2 Stunden auf die erste Unfallmeldung gewartet werden muss.

Produktionsanlage

  (Lösung)

Die Wahrscheinlichkeit, dass auf einer bestimmten Produktionsanlage Ausschuß produziert wird, ist $p=0,002$.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass unter $n=500$ Stück mindestens 499 Stück normgerecht sind?

Prüfgebiete

  (Lösung)

Für eine Prüfung gibt ein Prüfer sechs Gebiete an. Ein Prüfling bereitet sich nur auf vier dieser Gebiete vor. Bei der Prüfung wählt der Prüfer aus den sechs angegebenen Gebieten drei zufällig aus. Mit welcher Wahrscheinlichkeit hat sich der Prüfling auf zwei der vom Prüfer ausgewählten Gebiete vorbereitet?

Prüfungsfragen

  (Lösung)

Einem Prüfling A wird ein Gesamtkatalog mit 10 Zetteln vorgelegt, auf denen je eine Prüfungsfrage steht. Der Prüfling weiß, dass der zuständige Prüfer von diesen 10 Fragen 6 Fragen so schwer gemacht hat, dass kein Prüfling sie beantworten könnte. Von den 10 Fragen darf der Prüfling nun selbst 3 Fragen für seine Prüfung zufällig auswählen.

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass der Prüfling

• genau drei beantwortbare Fragen zieht?
• mindestens eine beantwortbare Frage zieht?

Radrennen

  (Lösung)

An einem Radrennen nehmen zehn Teams mit je drei Fahrern teil. Sie sind der sportliche Leiter eines dieser Teams. Am Ende des Rennens wird eine Dopingkontrolle durchgeführt. Dazu werden insgesamt vier Fahrer aus dem gesamten Fahrerfeld ausgewählt.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass von Ihrem Team alle drei Fahrer kontrolliert werden?

Radrennfahrer

  (Lösung)

Die Radrennfahrer Anton und Bertram trainieren hart für die nächste Meisterschaft. Anton fährt jeden Tag 180 km, Bertram sogar jeden Tag 30 km mehr als Anton. Da sie auf öffentlichen Straßen trainieren müssen, sind Unfälle nicht vermeidbar. Bei Anton kommt es im Mittel alle 12000 km zu einem Unfall, bei Bertram im Mittel alle 10000 km. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die beiden Rennfahrer zusammen innerhalb von zwei Wochen höchstens einen Unfall haben?

Rückversicherungsgesellschaft

  (Lösung)

Eine Versicherungsgesellschaft geht davon aus, dass ihr durchschnittlich alle 4 Monate ein Großschaden gemeldet wird, für den sie ihre Rückversicherungsgesellschaft in Anspruch nehmen muss. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass in einem Jahr mindestens 5 derartige Großschadensfälle auftreten?

Samstagslotto

  (Lösung)

Beim Samstagslotto werden 6 Kugeln zufällig und ohne Zurücklegen aus einem Behältnis mit 49 Kugeln gezogen. Die Kugeln sind von 1 bis 49 durchnummeriert.
Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass von den 6 gezogenen Kugeln genau 3 Kugeln gerade Nummern tragen.

Serum

  (Lösung)

Wenn die Wahrscheinlichkeit, dass ein Individuum von einem bestimmten Serum Impfschäden erleidet, gleich 0,0001 ist, wie groß ist dann die Wahrscheinlichkeit, dass in einer Stadt von 20.000 Einwohnern, die alle geimpft wurden,

a) keiner, b) genau 1, c) genau 6, d) mehr als 4

Personen Impfschäden davontragen?

Stahlstifte

  (Lösung)

Eine Maschine produziert Stahlstifte. Leider ist der Durchmesser der Stifte produktionsbedingten Schwankungen unterworfen. Die Zufallsvariable
$X_{1}=$ “Durchmesser eines Stiftes” sei normalverteilt mit
$\mu _{1}=6$ mm und $\sigma _{1}=0,4$ mm.

• Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass der Durchmesser eines Stiftes um mehr als 2% vom Sollwert 6mm abweicht?
• Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass der Durchmesser eines Stiftes genau 6mm beträgt?
• Welcher Wert wird mit einer Wahrscheinlichkeit von (höchstens) 85% nicht überschritten?

Eine zweite Maschine, die unabhängig von der ersten arbeitet, bohrt Löcher in ein Werkstück, in die die Stahlstifte eingesetzt werden sollen. Auch der Durchmesser der Bohrlöcher ist Schwankungen unterworfen. Die Zufallsvariable $X_{2}$: “Durchmesser eines Bohrloches” sei normalverteilt mit $\mu _{2}=6,05$ mm und $\sigma _{2}=0,3$ mm.

• Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass der Durchmesser eines Bohrloches kleiner als 6mm ist?
• Wie ist die Zufallsvariable $Y=X_{2}-X_{1}$ verteilt? (Verteilungstyp und Verteilungsparameter)
• Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Stift nicht in das Bohrloch passt?

Straßenmusikant

  (Lösung)

Der Straßenmusikant Johann hat beobachtet, dass er im Durchschnitt alle 5 Minuten ein Geldstück für seine Darbietung erhält.

• Wie ist die Zufallsvariable X: Anzahl der erhaltenen Geldstücke je Zeiteinheit verteilt? Begründen Sie Ihre Antwort.
• Welchen Verdienst kann Johann in 4 Stunden erwarten, wenn man annimmt, dass 5 Geldstücke 3 EUR entsprechen?
• Johann ist schon ziemlich müde. Dennoch will er erst nach Hause gehen, wenn er noch ein weiteres Geldstück erhält. Wie lange muß er im Durchschnitt noch spielen, bevor er gehen kann, wenn er soeben eine Münze erhalten hat? Geben Sie dafür auch die Zufallsvariable und deren Verteilung an.
• Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er mindestens 3 Minuten auf das nächste Geldstück warten muß?

Supermarkt

  (Lösung)

Die Studentin Fritzi will im Supermarkt den Backstand und den Käsestand aufsuchen. Aus jahrelanger Erfahrung weiß sie, dass man am Backstand durchschnittlich 5 Minuten warten muß, bevor man bedient wird. Am Käsestand muss man dagegen durchschnittlich nur 4 Minuten warten.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass Fritzi an mindestens einem der beiden Verkaufsstände mehr als 10 Minuten warten muss, wenn beide Wartezeiten als unabhängig und exponentialverteilt angenommen werden?

Suppe mit Fleischeinlage

  (Lösung)

In einer Mensa wird regelmäßig Suppe mit Fleischeinlage angeboten. Bei der Zubereitung werden der Grundsubstanz 400 Fleischstücke zu je 5 g zugegeben und gut umgerührt, so dass sich 125 l Suppe ergeben. Dann werden – unter ständigem Umrühren – Portionen zu je einem viertel Liter ausgegeben.
Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass sich in einer Portion mehr als 2 Fleischstücke befinden.

Taschenrechner

  (Lösung)

Ein Taschenrechner wird mit zwei verschiedenen Batterien betrieben. Er arbeitet, solange beide Batterien funktionieren. Die Lebensdauer $X$ der Batterie A sei normalverteilt mit $\mu$=30 Stunden und $\sigma$=3 Stunden. Die Lebensdauer $Y$ der Batterie B sei normalverteilt mit $\mu$=35 Stunden und $\sigma$=4 Stunden. $X$ und $Y$ seien unabhängige Zufallsvariablen.

• Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Batterie A eine Lebensdauer zwischen 15 und 27 Stunden hat?
• Welche Lebensdauer wird bei der Batterie B mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,853141 nicht überschritten?
• Mit welcher Wahrscheinlichkeit arbeitet der Taschenrechner noch nach 24 Stunden?
• Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Lebensdauer der Batterie A geringer ist als die Lebensdauer der Batterie B?

Telefongespräche

  (Lösung)

Zwischen 14 und 16 Uhr ist die durchschnittliche Anzahl der Telefongespräche, die die Vermittlung einer Firma pro Minute empfängt, gleich 2,5.

• Wie ist die Zufallsvariable $X$: “Anzahl der in dieser Zeit empfangenen Telefonate pro Minute” verteilt?

• Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass während einer bestimmten Minute in dieser Zeit

  • kein,

  • weniger als drei,

  • vier oder mehr,

  Telefonate empfangen werden?

Telefonzentrale

  (Lösung)

Die Telefonzentrale einer Feuerwache empfängt in einer Stunde durchschnittlich 0,5 Alarmmeldungen.

• Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass während der 6–stündigen Dienstzeit einer Feuerwehrmannschaft

  • kein Alarm,

  • mindestens dreimal Alarm,

  • höchstens siebenmal Alarm

  gegeben wird?

• Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Feuerwehrmannschaft

  • innerhalb der ersten Dienststunde den ersten Alarm bekommt?

  • länger als 2 Stunden auf den ersten Alarm warten muss?

  • ausgerechnet in der letzten Dienststunde zum ersten Alarm “ausrücken” muss, nachdem in der gesamten 5-stündigen Dienstzeit zuvor kein Alarm gekommen ist?

• Der Oberbrandmeister erklärt seiner Feuerwehrmannschaft, dass mit 95%iger Wahrscheinlichkeit der erste Alarm noch in die Dienstzeit dieser Mannschaft fallen wird. Hat er recht?
  Muss die Mannschaft also tatsächlich weniger als 6 Stunden warten, um mit 95%iger Wahrscheinlichkeit den ersten Alarm zu bekommen?

Traineeprogramm

  (Lösung)

Im Rahmen eines Traineeprogramms stellt ein Unternehmen Hochschulabsolventen einer bestimmten Fachrichtung ein, um nach Abschluß dieses Programms 20 freie Stellen zu besetzen. Aufgrund langjähriger Erfahrung kann davon ausgegangen werden, dass sich die Bewerber mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,90 als geeignet erweisen.
Mit welcher Wahrscheinlichkeit sind bei 23 eingestellten Trainees mindestens 20 geeignet?

Tulpenzwiebeln

  (Lösung)

In einem Gartenmarkt werden Tulpenzwiebeln in 10–er Packungen verkauft. Es ist bekannt, dass 5% der Tulpen nicht blühen werden. Um die Tulpen trotzdem loszuwerden, garantiert der Gartenmarkt, dass mindestens 9 der 10 Tulpen einer Packung blühen werden.
An einem bestimmten Tag liegen 50 dieser 10–er Packungen im Regal des Gartenmarktes. Bestimmen Sie für eine zufällig herausgegriffene Packung die Wahrscheinlichkeit, dass das Garantieversprechen nicht erfüllt ist.

Unfallmeldungen

  (Lösung)

Die Zeitspanne, die zwischen zwei Unfallmeldungen in einer Polizeistation verstreicht, beträgt durchschnittlich 160 Minuten. Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit, dass diese Zeitspanne größer als 60, aber höchstens 160 Minuten ist.

Varianz

  (Lösung)

Es sei $F$ eine durch folgende Abbildung beschriebene Verteilungsfunktion der Zufallsvariablen $X$.
image

Bestimmen Sie die Varianz von $X$.

Vier Kinder

  (Lösung)

Es werden Familien mit vier Kindern betrachtet. Es wird angenommen, dass Jungen- und Mädchengeburten unabhängig voneinander und gleichwahrscheinlich sind. Mit $X$ wird die (zufällige) Anzahl der Jungen in einer Familie mit 4 Kindern bezeichnet.

Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass

• zwei Jungen und zwei Mädchen,
• drei Jungen und ein Mädchen
• vier Jungen

geboren werden, indem man die entsprechenden Ereignisse mittels der Zufallsvariablen $X$ formuliert und deren Verteilung verwendet.

Wartungen

  (Lösung)

Ein Arbeiter betreut zwei Maschinen, die unabhängig voneinander arbeiten. Im Mittel benötigt Maschine A während einer 8-Stunden-Schicht eine und Maschine B zwei Wartungen.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit (in %), dass während einer Schicht keine einzige Wartung erforderlich ist?

Wertpapierkurse

  (Lösung)

Am Computer einer Bank kommt im Mittel alle 20 Sekunden eine Anfrage über die aktuellen Wertpapierkurse von einem der angeschlossenen, unabhängig arbeitenden Terminals an.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass zwischen zwei Anfragen mehr als 30 Sekunden vergehen?

XXmega

  (Lösung)

Der Radiosender XXmega versucht auf dem umkämpften Berliner Radiomarkt mitzumischen. Besonderer Beliebtheit erfreut sich die Nachmittagssendung “XXmega happy hour”, in der für jeden Anrufer ein Glücksrad gedreht wird. Um möglichst viele Hörer anzulocken, hat das Glücksrad eine Gewinnwahrscheinlichkeit von 60%. Heute haben 30 Hörer angerufen, für jeden Anrufer wurde einmal das Glücksrad gedreht. Allerdings haben weniger als ein Drittel der Anrufenden etwas gewonnen. Der verantwortliche Redakteur ist verwundert.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei 30 Anrufern tatsächlich weniger als ein Drittel etwas gewinnt?

Zug nach Brandenburg

  (Lösung)

Vom Bahnhof Berlin–Zoo fährt regelmäßig im 3-Stunden-Takt der Regionalzug nach Brandenburg. Ein Tourist kommt zu einem zufälligen Zeitpunkt zum Bahnhof Berlin–Zoo.
Mit welcher Wahrscheinlichkeit muss er mindestens eine Stunde auf die Abfahrt des Regionalzuges nach Brandenburg warten?