Periodische Schwankungen

Grundbegriffe

Periodische Schwankung, Saisonschwankung bzw. Saisonkomponente

Bisher wurde aus der Originalzeitreihe nur ein Trend ermittelt. Dabei fanden Informationen über saisonale Erscheinungen Beachtung in der Wahl eines geeigneten Filters.

Nun sollen auch die Saisonschwankungen (Saisonkomponenten) berechnet werden. Einige nützliche Definitionen vorab erleichtern das Verständnis:

• Perioden: $p_{i},\;i=1,\ldots ,\;P$

Anzahl der Wiederholungen einer Saison

Beispiel: Quartalsdaten über 10 Jahre: $P=10$

• Unterzeiträume $k_{j},\;j=1,\ldots ,\;k$

Anzahl der Perioden in einem Zyklus

Beispiel: Quartalsdaten: $k=4$

• Anzahl der Zeiträume: $T=k\cdot P$

• Trendwerte: ${\widehat {x}}_{i,j}$

• Beobachtungswerte: $x_{i,j}$

• Schwankungskomponente: $s_{i,j}$

Man unterscheidet zwischen additiven und multiplikativen Zeitreihenmodellen:

Bei ersteren wird ein additiver und bei letzeren ein multiplikativer Zusammenhang zwischen Trend, Saisonkomponente und Residuen unterstellt. Entsprechend unterscheidet sich die Berechnung der Saisonkomponente:

Additives Zeitreihenmodell

$s_{i,j}=x_{i,j}-{\widehat {x}}_{i,j};\quad {\bar {s_{j}}}={\frac {1}{P}}\cdot \sum \limits _{i=1}^{P}s_{i,j}$

${\widehat {x}}_{i,j}^{ZRM}={\widehat {x}}_{i,j}+{\bar {s_{j}}}$ für $i=1,\ldots ,P\;\;j=1,\ldots ,k$

Der prognostizierte Wert der Variablen $X\;$ aufgrund des Zeitreihenmodells (ZRM) setzt sich additiv aus dem Trendwert ${\widehat {x}}_{i,j}$ und dem mittleren Saisonkoeffizienten ${\bar {s_{j}}}$ zusammen.

Multiplikatives Zeitreihenmodell

$s_{i,j}={\frac {x_{i,j}}{{\widehat {x}}_{i,j}}},\qquad {\bar {s_{j}}}={\frac {1}{P}}\sum \limits _{i=1}^{P}s_{i,j}$

${\widehat {x}}_{i,j}^{ZRM}={\widehat {x}}_{i,j}\cdot {\bar {s_{j}}}$ für $i=1,\ldots ,P\quad j=1,\ldots ,k$

Der prognostizierte Wert der Variablen $X\;$ aufgrund des Zeitreihenmodells (ZRM) setzt sich multiplikativ aus dem Trendwert ${\widehat {x}}_{i,j}$ und dem mittleren Saisonkoeffizienten ${\bar {s_{j}}}$ zusammen.

Beispiele

PKW Zulassungen (Additives Zeitreihenmodell)

Zulassungszahl neuer PKW in Berlin - 1. Quartal 1977 - 4. Quartal 1989

Additives Zeitreihenmodell:

Filter: $\left[{\frac {1}{8}},{\frac {1}{4}},{\frac {1}{4}},{\frac {1}{4}},{\frac {1}{8}}\right]$

rot = Originalzeitreihe

schwarz = geglättete Reihe (Trend)

blau = Trend und Saisonkomponente

$j\;$	Summe	${\bar {s_{j}}}\;$	$P\;$
1	2,934	0,244	12
2	30,424	2,535	12
3	-17,434	-1,453	12
4	-16,120	-1,343	12

Pkw-Zulassungen

Dieses Beispiel soll zeigen, wie man eine saisonale Zeitreihe $x(t)$ additiv in einen Trend $T(t)$, eine Saisonschwankung $S(t)$ und Residuen $e(t)$ zerlegt.

Unterstellt wird also ein geschätztes Modell in der Form

$x(t)=T(t)+S(t)+e(t)$.

Als Beispiel dienen Quartalsdaten über Pkw-Zulassungen in Berlin.

Trend

Zwei verschiedene Verfahren zur Trendschätzung wurden oben eingeführt: Die Methode der kleinsten Quadrate und die Methode der gleitenden Durchschnitte.

Hier soll letztere zur Anwendung kommen, bei der der Trend nach der Formel

$T(t)=\sum _{i=-a}^{b}\lambda _{i}\cdot x_{t+i}$ mit $\sum _{i=-a}^{b}\lambda _{i}=1$

ermittelt wird.

Damit die geglättete Reihe keine Saisonschwankungen mehr enthält, verwendet man bei Quartalsdaten den Filter $\left[{\frac {1}{8}},{\frac {1}{4}},{\frac {1}{4}},{\frac {1}{4}},{\frac {1}{8}}\right]$.

Er sichert sowohl eine gleichmäßige Berücksichtigung von Vergangenheits- und Zukunftsdaten $(a=b)$ als auch die gleiche Gewichtung aller Saisonarten (jeweils mit ${\frac {1}{4}}$).

Beispiel:

$T(3)={\frac {1}{8}}\cdot x(1)+{\frac {1}{4}}\cdot x(2)+{\frac {1}{4}}\cdot x(3)+{\frac {1}{4}}\cdot x(4)+{\frac {1}{8}}\cdot x(5)$

Saisonschwankung

Aus dem Modell

$x(t)=T(t)+S(t)+e(t)$

ergibt sich

$x(t)-T(t)=S(t)+e(t)$.

Die linke Seite dieser Gleichung ist nach der Trendschätzung bekannt.

Unter der Annahme, dass die Saisonschwankung in den jeweiligen Quartalen denselben Wert hat (also z.B.: $S(3)=S(7)=\ldots =S(51)$), ist ein naheliegendes Verfahren zur Saisonbestimmung die Bildung des arithmetischen Mittels über alle Differenzen $x(t)-T(t)$, die zu einer Saison gehören.

Beispiel:

$S(3)=S(7)=\ldots =S(51)={\frac {(x(3)-T(3))+(x(7)-T(7))+\ldots +(x(51)-T(51))}{12}}$

Für dieses Vorgehen ist es unerheblich, mit welcher Methode der Trend geschätzt wurde.

Residuen

Die geschätzten Residuen berechnet man mit $e(t)=x(t)-T(t)-S(t)$.

Ergebnisse der Zerlegung der Zeitreihe

Sie sollten anhand der Rechenergebnisse zu mindestens einer Periode überprüfen, ob Sie das oben beschriebene Verfahren nachvollziehen können.

Quartal	$\,t$	$\,x(t)$	$\,T(t)$	$\,x(t)-T(t)$	$\,S(t)$	$\,e(t)$
1977.1	1	15222
1977.2	2	17456
1977.3	3	12988	14897,9	-1909,9	-1452,8	-457,1
1977.4	4	13833	15127,8	-1294,8	-1343,3	48,5
1978.1	5	15407	15395,9	11,1	244,5	-233,4
1978.2	6	19110	15370,5	3739,5	2535,4	1204,1
1978.3	7	13479	15408,8	-1929,8	-1452,8	-477,0
1978.4	8	13139	15487,3	-2348,3	-1343,3	-1005,0
1979.1	9	16407	15246,3	1160,7	244,5	916,2
1979.2	10	18738	14891,0	3847,0	2535,4	1311,6
1979.3	11	11923	14663,0	-2740,0	-1452,8	-1287,2
1979.4	12	11853	14267,1	-2414,1	-1343,3	-1070,8
1980.1	13	15869	14058,5	1810,5	244,5	1566,0
1980.2	14	16109	14160,9	1948,1	2535,4	-587,3
1980.3	15	12883	13971,5	-1088,5	-1452,8	364,3
1980.4	16	11712	13707,8	-1995,8	-1343,3	-652,5
1981.1	17	14495	13298,0	1197,0	244,5	952,5
1981.2	18	15373	12905,1	2467,9	2535,4	-67,5
1981.3	19	10341	12641,3	-2300,3	-1452,8	-847,5
1981.4	20	11111	12205,5	-1094,5	-1343,3	248,8
1982.1	21	12985	11850,1	1134,9	244,5	890,4
1982.2	22	13397	11608,3	1788,7	2535,4	-746,7
1982.3	23	9474	11530,5	-2056,5	-1452,8	-603,7
1982.4	24	10043	11907,6	-1864,6	-1343,3	-521,3
1983.1	25	13431	12450,5	980,5	244,5	736,0
1983.2	26	15968	12824,3	3143,7	2535,4	608,3
1983.3	27	11246	13161,1	-1915,1	-1452,8	-462,3
1983.4	28	11261	13172,4	-1911,4	-1343,3	-568,1
1984.1	29	14908	12905,5	2002,5	244,5	1758,0
1984.2	30	14581	12736,5	1844,5	2535,4	-690,9
1984.3	31	10498	12182,3	-1684,3	-1452,8	-231,5
1984.4	32	10657	11738,1	-1081,1	-1343,3	262,2
1985.1	33	11078	11894,6	-816,6	244,5	-1061,1
1985.2	34	14858	12232,4	2625,6	2535,4	90,2
1985.3	35	11473	12788,6	-1315,6	-1452,8	137,2
1985.4	36	12384	13414,6	-1030,6	-1343,3	312,7
1986.1	37	13801	14047,3	-246,3	244,5	-490,8
1986.2	38	17143	14685,3	2457,7	2535,4	-77,7
1986.3	39	14249	14826,5	-577,5	-1452,8	875,3
1986.4	40	14712	14633,8	78,2	-1343,3	1421,5
1987.1	41	12603	14761,0	-2158,0	244,5	-2402,5
1987.2	42	16799	15038,3	1760,7	2535,4	-774,7
1987.3	43	15611	15204,5	406,5	-1452,8	1859,3
1987.4	44	15568	15301,1	266,9	-1343,3	1610,2
1988.1	45	13077	15157,0	-2080,0	244,5	-2324,5
1988.2	46	17098	14665,1	2432,9	2535,4	-102,5
1988.3	47	14159	14481,8	-322,8	-1452,8	1130,0
1988.4	48	13085	14514,5	-1429,5	-1343,3	-86,2
1989.1	49	14093	14155,9	-62,9	244,5	-307,4
1989.2	50	16344	13976,1	2367,9	2535,4	-167,5
1989.3	51	12044
1989.4	52	13762

Schließlich soll das Resultat der Zerlegung grafisch veranschaulicht werden. Beachten Sie, dass die geschätzte Trendreihe $T(t)$ tatsächlich keine Saisonschwankungen mehr enthält.

Dies bestätigt die Wahl des Filters $\left[{\frac {1}{8}},{\frac {1}{4}},{\frac {1}{4}},{\frac {1}{4}},{\frac {1}{8}}\right]$ zur Glättung einer Zeitreihe mit Quartalsdaten.