Testtheorie/Lösungen: Unterschied zwischen den Versionen

Aktuelle Version vom 15. Juli 2020, 14:14 Uhr

1000g–Portionen

$X\sim N(1000;25),\quad {\overline {X}}\sim N(1000;5),\quad n=25$
$\alpha =0,05=P({\overline {X}}>1000+c{\mbox{ oder }}{\overline {X}}<1000-c)=1-P(1000-c\leq {\overline {X}}\leq 1000+c)$
$U=({\overline {X}}-1000)/5\sim N(0;1)$
$0,05=P(-c/5\leq U\leq c/5)=\Phi (c/5)-\Phi (-c/5)$
d.h. $c/5$ ist das $1-\alpha /2=0,975$ Quantil der $N(0;1)\rightarrow c/5=z_{0,975}=1,96;\quad c=9,8$

Anzahl der Kinder

$H_{0}:P({\mbox{Junge}})=P({\mbox{Mädchen}})\quad H_{1}:P({\mbox{Junge}})\neq P({\mbox{Mädchen}})$ $V=\sum _{i=1}^{I}{\frac {(h_{i}-np_{i})^{2}}{np_{i}}}$ Unter $H_{0}$ gilt:

$P(3{\mbox{J}},0{\mbox{M}})=0,125=1/8$
$P(2{\mbox{J}},1{\mbox{M}})=0,125\cdot 3=3/8$
$P(1{\mbox{J}},2{\mbox{M}})=0,125\cdot 3=3/8$
$P(0{\mbox{J}},3{\mbox{M}})=0,125=1/8$
$h_{j}$ – beobachtete absolute Häufigkeit $np_{i}$ – unter $H_{0}$ erwartete absolute Häufigkeit
$np_{i}>1$ für alle $i$ und $np_{i}\geq 5$ für mindestens 80% der erwarteten Häufigkeiten erfüllt.

$h_{j}$	$np_{i}$	$h_{j}-np_{i}$	$(h_{j}-np_{i})^{2}$	$\chi ^{2}=(h_{j}-np_{i})^{2}/np_{i}$
16	25	$-9$	81	3,24
60	75	$-15$	225	3,00
92	75	17	289	3,853333
32	25	7	49	1,96

$v=12,053333\quad f=I-1-k=4-1=3;\quad k=0$ (kein Parameter war zu schätzen)
aus Tabelle der Chi–Quadrat–Verteilung für $f=3$ :
$1-\alpha :0,99\quad \chi ^{2}=11,35\quad 1-\alpha :0,995\quad \chi ^{2}=12,84$
signifikant zum 1%–Niveau

Arbeitsproduktivität

$X$ : “Arbeitsproduktivität”,Verteilung unbekannt, $\sigma =0,8$ Stück/Stunde
${\overline {X}}$ : “Durchschnittliche Arbeitsproduktivität bei einer einfachen Zufallsstichprobe vom Umfang $n=64$ ” ${\overline {X}}$ ist approximativ $N(\mu ;\sigma /{\sqrt {n}})$ (Begründung: Zentraler Grenzwertsatz, $n=64>30$ );
$\sigma /{\sqrt {n}}=0,8/8=0,1;\quad \mu _{0}=5,5;\quad \alpha =0,05\quad z_{0,975}=1,96;\quad H_{0}:\mu =5,5;\quad H_{1}:\mu \neq 5,5;\quad \mu _{1}=5,1$ $\begin{aligned} β (μ) & = & 1 - G (μ) \\ G (μ) & = & 1 - [P (V \leq c - \frac{μ - μ_{0}}{σ \sqrt{n}}) - P (V < - c - \frac{μ - μ_{0}}{σ \sqrt{n}})] \\ β (μ) & = & P (V \leq c - \frac{μ - μ_{0}}{σ \sqrt{n}}) - P (V < - c - \frac{μ - μ_{0}}{σ \sqrt{n}}) \\ β (μ_{1} = 5, 6) & = & P (V \leq 1, 96 - (5, 6 - 5, 5) / 0, 1) \\ - & P (V < - 1, 96 - (5, 6 - 5, 5) / 0, 1) \\ = & P (V \leq 0, 96) - P (V \leq - 2, 96) \\ = & P (V \leq 0, 96) - [1 - P (V \leq 2, 96)] \\ = & 0, 831472 - [1 - 0, 998462] \\ = \end{aligned}$

Ausfallsicherheit

X={\mbox{Ausfallzeit eines Servers in Stunden}}\sim N(\mu ,\sigma )

Betriebszeit eines Servers:

365{\mbox{ Tage}}\cdot 24{\mbox{ Stunden}}=8760{\mbox{ Stunden}}

maximale mittlere Ausfallzeit lt. Hersteller: 1% von

8760=87,6

Stunden
Der Hersteller will seine Behauptung statistisch untermauern, wobei er das Risiko einer Fehlentscheidung möglichst klein halten will. Da nur Abweichungen von

\mu _{0}

nach einer Seite von Bedeutung sind, wird ein einseitiger Test durchgeführt. Die Behauptung des Herstellers wird als Alternativhypothese formuliert, womit ein linksseitiger Test resultiert

H_{0}:\mu \geq \mu _{0}=87,6

Stunden

H_{1}:\mu <\mu _{0}=87,6

Stunden
Die Wahrscheinlichkeit eines Fehlers 1. Art

P(

“

H_{1}

”

|H_{0})

ist das Signifikanzniveau

\alpha

, mit dessen Vorgabe das Risiko eines derartigen Fehlers gering gehalten werden kann. Damit wird die Zielstellung des Herstellers bei der Durchführung des Tests eingehalten. Da

\sigma

der Grundgesamtheit unbekannt ist, folgt die Teststatistik unter

H_{0}

einer t–Verteilung mit

f=n-1=24

Freiheitsgraden. Kritischer Wert:

t_{0,95;24}=-1,711

v={\frac {{\overline {x}}-\mu _{0}}{s}}{\sqrt {n}}={\frac {84,2-87,6}{10}}{\sqrt {25}}=-1,70

Da

v>t_{0,95;24}

ist und damit in den Nichtablehnungsbereich von

H_{0}

fällt, besteht keine Veranlassung

H_{0}

abzulehnen.

Ausgaben für Urlaubsreisen

Auswahlsatz $n/N=10000/2500000=0,04<0,05\rightarrow$ Endlichkeitskorrektur kann vernachlässigt werden; $\sigma$ der Grundgesamtheit unbekannt; $N=2500000$ ;
hypothetischer Wert der Gesamtausgaben: $10000000000\rightarrow \mu _{0}=10000000000/2500000=4000$ $n=10000;\quad {\overline {x}}=3780;\quad s=2290$
Teststatistik: $V={\frac {{\overline {X}}-\mu _{0}}{S}}{\sqrt {n}}$ Wert der Teststatistik für die Stichprobe: $v={\frac {3780-4000}{2290}}{\sqrt {10000}}=-9,606987\approx -9,61$

Batterien Lebensdauer

$\chi ^{2}$ –Anpassungstest
$H_{0}$ : Die Stichprobenverteilung der Lebensdauer der Batterien ist normalverteilt

$H_{1}$ : Die Stichprobenverteilung der Lebensdauer der Batterien ist nicht normalverteilt

X: Lebensdauer einer Batterie $V=\sum _{i=1}^{I}{\frac {(h_{i}-np_{i})^{2}}{np_{i}}}$ ist unter $H_{0}$ $\chi ^{2}$ –verteilt mit $f=I-1-k$ Freiheitsgraden, wenn für alle $i$ $np_{i}\geq 5$ gilt (I – Anzahl der Klassen, k – Anzahl der zu schätzenden Parameter)

$i$	Klassen	$h_{i}$	${\overline {x}}_{i}$	$h_{i}{\overline {x}}_{i}$	$p_{i}$	$np_{i}$
1	-300	10	160	1600	0.16	16
2	300-340	10	320	3200	0.12	12
3	340-460	60	400	24000	0.45	45
4	460-	20	560	11200	0.27	27
	100		40000

$i$	Klassen	$h_{i}-np_{i}$	$(h_{i}-np_{i})^{2}$	${\frac {(h_{i}-np_{i})^{2}}{np_{i}}}$
1	-300	-6	36	2.25
2	300-340	-2	4	0.33
3	340-460	15	225	5.00
4	460	-7	49	1.82
			$v=9.40$

$f=4-1-2=1$

$v=9,4\in {\mbox{Ablehnungsbereich}}\rightarrow$ " $H_{1}$ "

Auf einem Signifikanzniveau von 1% und basierend auf einer Zufallsstichprobe vom Umfang $n=100$ konnte statistisch bewiesen werden, dass es sich bei der Stichprobenverteilung der Lebensdauer der Batterien nicht um eine Normalverteilung handelt.

Weiß man nicht; wir hoffen nicht!

Benzinverbrauch Test

$\mu _{0}=6;\;H_{0}:\mu =6;\;H_{1}:\mu \neq 6,\;$ zweiseitiger Test, da Abweichungen von der Behauptung, also nach beiden Seiten; $X\sim N(\mu _{0}=6;\sigma ^{2}),\;\sigma ^{2}$ unbekannt;
${\overline {x}}=\sum _{i}x_{i}/n=97,6/16=6,1$
$s^{2}=\sum _{i}(x_{i}-{\overline {x}})^{2}/(n-1)=0,6615/15=0,0441;\;s=0,21$
$\displaystyle v={\frac {{\overline {x}}-\mu _{0}}{s}}{\sqrt {n}}={\frac {6,1-6}{0,21}}\cdot 4=1,90476\approx 1,905$
$t_{1-\alpha /2;n-1}=t_{0,975;15}=2,132$

Chininhaltige Limonade

$H_{0}:\pi \geq \pi _{0}=0,1$ , $H_{1}:\pi <\pi _{0}=0,1$

$''H_{1}''|H_{0}$ = “Es wird importiert” $|$ Kunden werden krank

$X$ : “Anzahl der Flaschen, die den Vorschriften nicht entsprechen, bei einer Zufallsstichprobe vom Umfang $n=30$ ”
$X$ ist unter $H_{0}$ $B(30;0,1)$ –verteilt
Ablehnungsbereich: $\{x<1\}$ , Nicht–Ablehnungsbereich: $\{x\geq 1\}$
$x=1\not \in$ Ablehnungsbereich $\Rightarrow$ $''H_{0}''$
Auf einem Signifikanzniveau von $\alpha _{ex.}=0,0424$ und basierend auf einer Zufallsstichprobe vom Umfang $n=30$ konnte statistisch nicht bewiesen werden, dass der Anteil der Flaschen, die den Vorschriften nicht entsprechen, kleiner als 10% ist, d.h. der Großhändler sucht sich einen neuen Importeur.
$G(\pi =0)=1$ ; $G(\pi =0,1)=0,0424$ ; $G(\pi =0,2)=0,0012$

Dicke der Fahrbahndecke

$H_{0}:\mu \geq \mu _{0}=3,5\quad H_{1}:\mu <\mu _{0}=3,5$
Der Bauunternehmer muss nachweisen, dass die Fahrbahndecke zu dünn ist, da er nur dann Abzüge hinnehmen muss.
Risikobetrachtung:
$H_{1}$ | $H_{0}={\mbox{Fahrbahndecke zu dünn, muss Abzüge hinnehmen }}$ |Fahrbahndecke o.k., müsste keine Abzüge hinnehmen
Dies ist für den Bauunternehmer das größere Risiko, das gleich dem Fehler 1. Art ist, für den die Wahrscheinlichkeit mit $\alpha$ vorgegeben ist.

Durchmesser von Wellen

Ablehnungsbereich: $\{v|v<-1,96{\mbox{ oder }}v>1,96\}$
$v=0,8\in$ Nicht–Ablehnungsbereich $\Rightarrow$ $''H_{0}''$
Fehler 2. Art
$v=4\in$ Ablehnungsbereich $\Rightarrow$ $''H_{1}''$
Fehler 1. Art

Durchschnittsgewicht

$X_{i}$ : “Gewicht des i-ten Hähnchens”; $i=1,...,25$ ; $X_{i}\sim N(\mu ;\sigma )$

$H_{0}:\mu \geq \mu _{0}=1400$ , $H_{1}:\mu <\mu _{0}=1400$

$''H_{1}''|H_{0}$ = “Angebot zurückweisen” $|$ gutes Geschäft vermasselt

${\overline {X}}$ : “Durchschnittliches Gewicht eines Hähnchens bei einer Zufallsstichprobe vom Umfang $n=25$ ”
${\overline {X}}$ ist unter $H_{0}$ $N(1400;\sigma /{\sqrt {n}})$ –verteilt
$V=({\overline {X}}-\mu _{0})/(S/{\sqrt {n}})$ ist unter $H_{0}$ t–verteilt mit $f=24$ Freiheitsgraden
Ablehnungsbereich: $\{v|v<-1,711\}$ , Nicht–Ablehnungsbereich: $\{v|v\geq -1,711\}$
$v=-0,9\not \in$ Ablehnungsbereich $\Rightarrow$ $''H_{0}''$
Fehler 2. Art
$v=-1,9\in$ Ablehnungsbereich $\Rightarrow$ $''H_{1}''$
Fehler 1. Art

Fachgebiete

Anwendung des Chi-Quadrat-Anpassungstests zur Prüfung der Hypothese, ob die von Bärbel beobachtete Verteilung ( $h_{Stat}=5,h_{VWL}=35,h_{BWL}=50,h_{WI}=10$ ) mit der theoretisch erwarteten Verteilung (Gerdas Behauptung: $nf_{Stat}=10,nf_{VWL}=30,nf_{BWL}=40,nf_{WI}=20$ ) übereinstimmt. Beide Approximationsbedingungen sind erfüllt.
Prüfwert: ${\begin{aligned}v&=&\sum _{i}[(h_{i}-np_{i})^{2}/np_{i}]\\&=&(5-10)^{2}/10+(35-30)^{2}/30+(50-40)^{2}/40+(10-20)^{2}/20\\&=&25/10+25/30+100/40+100/20=(300+100+300+600)/120\\&=&1300/120=10,83\approx 10,8\end{aligned}}$

FKK

Anwendung des $\chi ^{2}$ –Unabhängigkeitstests, weil die Beziehung zwischen zwei nominalskalierten Zufallsvariablen zu prüfen ist.
$X$ : Neigung zu FKK; $Y$ : Region
$H_{0}$ : X und Y sind unabhängig; $H_{1}$ : X und Y sind nicht unabhängig
$\alpha =0,01$

XY	alt	neu	$h_{i}.$
für	20 (26,7)	20 (13,3)	40
gegen	80 (73,3)	30 (36,7)	110
$h_{.j}$	100	50	150

(in Klammern die erwarteten ${\tilde {h}}_{ij}$ )
$V=\displaystyle \sum _{i=1}^{I=2}\sum _{j=1}^{J=2}\displaystyle {\frac {(h_{ij}-{\tilde {h}}_{ij})^{2}}{{\tilde {h}}_{ij}}}$ ist unter $H_{0}$ approximativ $\chi ^{2}$ –verteilt mit $f=(I-1)(J-1)=1$ Freiheitsgrad.
$c=\chi _{0,99;1}^{2}=6,63$
Ablehnungsbereich der $H_{0}$ :{ $v|v>6,63$ }
$v=1,7+3,4+0,6+1,2=6,9$
$v=6,9\in$ Ablehnungsbereich $\rightarrow$ $H_{1}$
Auf einem Signifikanzniveau von 1% und basierend auf einer Zufallsstichprobe vom Umfang $n=150$ konnte statistisch bewiesen werden, dass die Neigung zu FKK von der Region der Befragten abhängig ist.

Gewinnspiel–Automat

$U_{i}={\mbox{Ertrag pro Spiel}}$ , $i=1,\ldots ,n=50$ , $n>30$
${\overline {U}}=(\sum _{i=1}^{n}U_{i})/n=-0,58$ , $S^{2}=\sum (U_{i}-{\overline {U}})^{2}/(n-1)=0,82$
$E(U_{i})=\mu$ , $Var(U_{i})=\sigma ^{2}$
$H_{0}:\mu \geq 0;\quad H_{1}:\mu <0$
asymptotisch $V={\frac {{\overline {U}}-\mu }{\sqrt {\sigma ^{2}}}}{\sqrt {n}}\approx {\frac {{\overline {U}}-\mu }{\sqrt {S^{2}}}}{\sqrt {n}}\sim N(0,1)$

daher für

$\mu _{0}=0$

${\begin{aligned}0,05&=P(V\leq c|H_{0})\\&=P{\Big (}{\frac {{\overline {U}}-\mu _{0}}{\sqrt {S^{2}}}}{\sqrt {n}}\leq {\frac {c-\mu _{0}}{\sqrt {S^{2}}}}{\sqrt {n}}{\Big )}\\&=\Phi {\Big (}{\frac {c-\mu _{0}}{{\sqrt {S^{2}}}{\sqrt {n}}}}{\Big )}\\\\0,95&=1-\Phi {\Big (}{\frac {c-\mu _{0}}{{\sqrt {S^{2}}}{\sqrt {n}}}}{\Big )}\\&=\Phi {\Big (}-{\frac {c-\mu _{0}}{{\sqrt {S^{2}}}{\sqrt {n}}}}{\Big )}\\\\1,64&=-{\frac {c-\mu _{0}}{{\sqrt {S^{2}}}{\sqrt {n}}}}=-{\frac {c-0}{\sqrt {0.82}}}{\sqrt {50}}\end{aligned}}$

$\rightarrow c=-1,64\cdot {\sqrt {0,82}}/{\sqrt {50}}=-0,21$

Grönländische Bohrlochkerne

Gegeben: $\mu _{0}=-25$ C; $n=100;\quad \alpha =0,025;\quad {\overline {x}}=-24$ C; $s=1,5$ C (diese Stichprobenergebnisse werden nicht benötigt); $\mu =-24,8$ C
Da die Forscher nachweisen wollen, dass eine Erwärmung des Eises stattgefunden hat wird ein rechtsseitiger Test durchgeführt:
$H_{0}:\mu \leq \mu _{0}\;(=-25$ C) gegen $H_{1}:\mu >\mu _{0}\;(=-25$ C). Daher $z_{0,975}=1,96$ .
Es ist der Wert der Gütefunktion $G(\mu =-24,8$ C) zu berechnen, denn

die Gütefunktion $G(\mu )$ gibt die Wahrscheinlichkeit der Ablehnung von $H_{0}$ in Abhängigkeit vom Parameter $\mu$ an: $G(\mu )=P(V\in {\mbox{Ablehnungsbereich der }}H_{0}|\mu );$
für alle zulässigen Werte von $\mu >\mu _{0}$ gilt in Wirklichkeit die Alternativhypothese und mit der Ablehnung der Nullhypothese wird eine richtige Entscheidung getroffen; das ist hier wegen $\mu (=-24,8$ C $)>\mu _{0}(=-25$ C $)$ gegeben;
es ist $P(V\in {\mbox{Ablehnungsbereich der }}H_{0}|\mu >\mu _{0})=P($ “ $H_{1}$ ” $|H_{1})=1-\beta$ .

${\begin{aligned}G(\mu =-24,8)&=&1-P\left(V\leq z_{1-\alpha }-{\frac {\mu -\mu _{0}}{\sigma /{\sqrt {n}}}}\right)\\&=&1-P\left(V\leq 1,96-{\frac {-24,8-(-25)}{2}}{\sqrt {100}}\right)\\&=&1-P(V\leq 0,96)=1-0,831482=0,168518\approx 0,17\end{aligned}}$

Kaffee Packungen 2

Grundgesamtheit: $X={\mbox{Füllgewicht}}$ , Verteilung von $X$ unbekannt, $\sigma =15$ , Grundgesamtheit kann als sehr groß angesehen werden, mittleres Füllgewicht $\mu$ unbekannt
hypothetischer Wert: $\mu _{0}=500$
einfache Zufallsstichprobe: $n=100$ , Stichprobenvariablen sind i.i.d.
linksseitiger Test auf $\mu :H_{0}:\mu \geq \mu _{0}$ und $H_{1}:\mu <\mu _{0}$
Teststatistik $V$ : $V={\frac {{\overline {X}}-\mu _{0}}{\sigma }}{\sqrt {n}}$ $\alpha =0,05;\quad z_{1-\alpha }=z_{0,95}=1,64$ aus Tabelle der Verteilungsfunktion $N(0;1)$ , da aufgrund des großen Stichprobenumfangs und des ZGS die Verteilung von $X$ approximativ normalverteilt ist; kritischer Wert: $-z_{1-\alpha }=-z_{0,95}=-1,64$ (wegen Symmetrie der Normalverteilung)

Ablehnungsbereich der $H_{0}$ :	$\{v\|v<-z_{1-\alpha }\}=\{v\|v<-1,64\}$
Nichtablehnungsbereich der $H_{0}$ :	$\{v\|v\geq -z_{1-\alpha }\}=\{v\|v\geq -1,64\}$

Fehler 2. Art: fälschliche Beibehaltung der $H_{0}$ , d.h. “ $H_{0}$ ” $|H_{1}$ ; $P($ “ $H_{0}$ ”| $H_{1})=\beta$
Inhalt der Gütefunktion:

$G(\mu )=\left\{{\begin{array}{lc}P({\text{“}}H_{1}{\text{”}}|H_{0})\leq \alpha &{\text{ für alle }}\mu \geq \mu _{0}\\P({\text{“}}H_{1}{\text{”}}|H_{1})=1-\beta &{\text{ für alle }}\mu <\mu _{0}.\\\end{array}}\right.$

Es ist (wahr) $\mu =497<\mu _{0}=500$ ; es gilt in Wirklichkeit die Alternativhypothese und mit der Ablehnung von $H_{0}$ wird eine richtige Entscheidung getroffen. Es ist $P(V\in {\mbox{Ablehnungsbereich der }}H_{0}|\mu <\mu _{0})=P($ “ $H_{1}$ ” $|H_{1})=1-\beta$
Berechnung der Gütefunktion: ${\begin{aligned}G(\mu )&=&P\left(V\leq -z_{1-\alpha }-{\frac {\mu -\mu _{0}}{\sigma /{\sqrt {n}}}}\right)=P\left(V\leq -1,64-{\frac {497-500}{15/{\sqrt {100}}}}\right)\\&=&P\left(V\leq -1,64-{\frac {-3}{1,5}}\right)=P(V\leq -1,64+2)=P(V\leq 0,36)\\&=&1-\beta =0,64058\end{aligned}}$ $\rightarrow \beta =0,35942\approx 0,36$

Kaffee Packungen

$H_{0}:\mu \leq \mu _{0}=500$ g $H_{1}:\mu >\mu _{0}=500$ g
$H_{1}$ | $H_{0}=$ Abfüllmenge o.k.|ärger mit dem Kunden
$P({\text{“}}H_{1}{\text{”}}|H_{0})=\alpha =0,02275\rightarrow$ klein halten
${\overline {X}}$ : Durchschnittliche Füllmenge einer Kaffeepackung in einer einfachen Zufallsstichprobe vom Umfang $n=25$
${\overline {X}}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}X_{i}$
$X_{i}$ : Füllmenge der i–ten Kaffeepackung; $i=1,\ldots ,25$
$X_{i}\sim N(\mu ;10)$ für alle i, unabhängig
${\overline {X}}$ ist unter $H_{0}$ $N(\mu _{0};\sigma /{\sqrt {n}})=N(500;2)$ –verteilt.
$V=\displaystyle {\frac {{\overline {X}}-\mu _{0}}{\displaystyle {\frac {\sigma }{\sqrt {n}}}}}={\frac {{\overline {X}}-500}{2}}$ ist unter $H_{0}$ $N(0;1)$ –verteilt.
$c$ für $1-\alpha =0,97725$ aus Tabelle der $N(0;1)\rightarrow c=2$

Ablehnungsbereich: $\{v|v>2\}$

Nicht–Ablehnungsbereich: $\{v|v\leq 2\}$
$v=(504,5-500)/2=2,25\in$ Ablehnungsbereiches $\rightarrow {\text{“}}H_{1}{\text{”}}$
Auf einem Signifikanzniveau von $\alpha =0,02275$ und basierend auf einem Stichprobenumfang von $n=25$ konnte statistisch bewiesen werden, dass die wahre durchschnittliche Füllmenge einer Packung bei der neuen Kaffeebohnensorte der Norm entspricht.
${\begin{aligned}\beta &=1-G(\mu =501)=1-P({\overline {X}}>{\overline {x}}_{c}|\mu =501)\\&=P({\overline {X}}\leq {\overline {x}}_{c}|\mu =501)\\&=P{\Big (}V\leq c-{\frac {\mu -\mu _{0}}{\sigma /{\sqrt {n}}}}{\Big )}\\&=P{\Big (}V\leq 2-{\frac {501-500}{2}}{\Big )}\\&=P(V\leq 1,5)=0,933193\end{aligned}}$

Die Wahrscheinlichkeit für einen Fehler 2. Art ist 93,32%, wenn in Wahrheit die mittlere Abfüllmenge $\mu =501$ g beträgt.
${\begin{aligned}G(\mu =499)&=1-P{\Big (}V\leq c-{\frac {\mu -\mu _{0}}{\sigma /{\sqrt {n}}}}{\Big )}=1-P{\Big (}V\leq 2-{\frac {499-500}{2}}{\Big )}\\&=1-P(V\leq 2,5)=1-0,99379=0,00621\\&=P({\text{“}}H_{1}{\text{”}}|H_{0})=\alpha (\mu =499)\end{aligned}}$

Die Wahrscheinlichkeit für einen Fehler 1. Art (unberechtigte Annahme der $H_{1}$ ) beträgt $\alpha =0,00621$ , wenn das wahre $\mu =499$ ist. ${\begin{aligned}G(\mu =502)&=1-P{\Big (}V\leq 2-{\frac {502-500}{2}}{\Big )}=1-P(V\leq 1)\\&=1-0,841345=0,158655\\&=P({\text{“}}H_{1}{\text{”}}|H_{1})=1-\beta (\mu =502)\end{aligned}}$ Die Wahrscheinlichkeit für die berechtigte Annahme der $H_{1}$ , wenn das wahre $\mu =502$ ist, beträgt 15,8655%.

Lagerhaltungsprobleme

$X={\mbox{Anzahl der nachgefragten Produkte pro Tag}}$
Chi-Quadrat-Anpassungstest bei Wahl der hypothetischen Verteilung $F_{0}(x)=$ Poisson-Verteilung. Der Parameter $\lambda =E(X)$ ist unbekannt und muss aus der Stichprobe geschätzt werden: ${\hat {\lambda }}=200/100=2,0$ . Aus der Tabelle der Verteilungsfunktion der Poisson–Verteilung PO(2,0) lassen sich die unter $H_{0}$ gültigen Wahrscheinlichkeiten $p_{i}=P(X=x_{i})$ ermitteln. (5. Spalte der folgenden Tabelle). Für alle Klassen ist die Voraussetzung $n\cdot p_{i}\geq 5$ erfüllt. Die Anzahl der Freiheitsgrade des Chi–Quadrat–Anpassungstests beträgt $f=I-1-k$ mit $I$ der Anzahl der Klassen und $k$ der Anzahl der aus der Stichprobe zu schätzenden Parameter. Damit resultiert: $f=6-1-1=4$ .

$i$	$x_{i}$	$h_{i}$	$x_{i}h_{i}$	$p_{i}$	$np_{i}$
1	0	17	0	0,1353	13,53
2	1	20	20	0,2707	27,07
3	2	27	54	0,2707	27,07
4	3	18	54	0,1804	18,04
5	4	18	72	0,0902	9,02
6	5 und mehr	0	0	0,0527	5,27
$\sum$		100	200	1,0000	100

Aus der Tabelle der Verteilungsfunktion der Chi–Quadrat–Verteilung findet man:
$\chi _{0,95;4}^{2}=9,49$

Mietpreisbindung

$\chi ^{2}$ –Anpassungstest
$X$ : “Mietpreissteigerung [in %]”
$H_{0}$ : Stichprobenverteilung folgt einer Gleichverteilung in $[a,b]$
$H_{1}$ : Stichprobenverteilung folgt nicht einer Gleichverteilung in $[a,b]$
$b=5$ [%]; $(a+b)/2=2,5$ [%] $\Rightarrow$ $a=0$ [%]
$V=\sum _{i=1}^{I}{\frac {(h_{i}-n\cdot p_{i})^{2}}{n\cdot p_{i}}}$
$V$ ist unter $H_{0}$ approximativ ( $np_{i}\geq 5$ für alle $i$ ) $\chi ^{2}$ –verteilt mit $f=4$ Freiheitsgraden
Ablehnungsbereich: $\{v|v>14,86\}$ , Nicht–Ablehnungsbereich: $\{v|v\leq 14,86\}$

$i$	$x_{i}$	$h_{i}$	$p_{i}$		$h_{i}-np_{i}$	$(h_{i}-np_{i})^{2}$	$(h_{i}-np_{i})^{2}/(np_{i})$
1	0-1	0	0,2	20		-20	400	20
2	1-2	0	0,2	20		-20	400	20
3	2-3	10	0,2	20		-10	100	5
4	3-4	10	0,2	20		-10	100	5
5	4-5	40	0,2	20	20	60	3600	180
6	5-	40	0	0

$v=230\in$ Ablehnungsbereich $\Rightarrow$ $''H_{1}''$

Auf einem Signifikanzniveau von 0,5% und basierend auf einer Zufallsstichprobe vom Umfang $n=100$ konnte statistisch bewiesen werden, dass die Stichprobenverteilung keiner Gleichverteilung im Bereich $[0;5]$ folgt.

Münzen

$H_{0}$ : Stichprobenverteilung stimmt mit der vermuteten Verteilung überein

$H_{1}$ : Stichprobenverteilung stimmt nicht mit der vermuteten Verteilung überein

8 mögliche Ereignisse: $ZZZ$ ; $KZZ$ ; $ZKZ$ ; $ZZK$ ; $KKZ$ ; $KZK$ ; $ZKK$ ; $KKK$

$i$	$x_{i}$	$h_{i}$	$p_{i}$	$np_{i}$	$h_{i}-np_{i}$	$(h_{i}-np_{i})^{2}$	$(h_{i}-np_{i})^{2}/(np_{i})$
1	0	24	1/8	30	-6	36	1,2
2	1	108	3/8	90	18	324	3,6
3	2	85	3/8	90	-5	25	0,277
4	3	23	1/8	30	-7	49	1,633

Ablehnungsbereich: $\{v|v>7,81\}$ , Nicht–Ablehnungsbereich: $\{v|v\leq 7,81\}$
$v=6,71\not \in$ Ablehnungsbereich $\Rightarrow$ $''H_{0}''$

Neues Präparat

$H_{0}:\pi \leq \pi _{0}$ $(=0,35)$ $H_{1}:\pi >\pi _{0}$ $(=0,35)$

$H_{1}$ | $H_{0}=$ Einführung des Präparates|Hersteller lügt; Krankenkassen zahlen, obwohl Heilungsquote minimal

$V=X:$ Anzahl der Patienten, bei denen Heilerfolg eintritt, bei einer Zufallsstichprobe vom Umfang $n=19$

$V=\sum _{i=1}^{n}X_{i}$
$X_{i}={\mbox{Heilerfolg beim i-ten Patienten}}$

V ist unter $H_{0}$ $B.V.(n;\pi _{0})\sim B.V.(19;0,35)$
Nicht-Ablehnungsbereich: $\{v|v\leq 12\}$ ; Ablehnungsbereich: $\{v|v>12\}$

$\alpha _{exakt}=0,0031$

*# $P({\text{“}}H_{0}{\text{”}}|\pi _{0}=0,5\in H_{1})=\beta _{(\pi _{0}=0,5)}=0,9165$

Die Wahrscheinlichkeit für einen Fehler 2. Art (unberechtigte Annahme von $H_{0}$ ) beträgt 91,65%, wenn die wahre Heilungsquote 50% beträgt.

1. 2. $P({\text{“}}H_{1}{\text{”}}|\pi _{0}=0,4\in H_{1})=1-\beta _{(\pi _{0}=0,4)}=1-0,9884=0,0116$

Die Wahrscheinlichkeit für eine berechtigte Annahme der $H_{1}$ beträgt 1,16%, wenn die wahre Heilungsquote 40% beträgt.

Paketversandfirma

$V=\displaystyle {\frac {{\hat {\pi }}-\pi _{0}}{\sqrt {\displaystyle {\frac {\pi _{0}(1-\pi _{0})}{n}}}}}$ V ist unter $H_{0}$ approximativ $[n\pi _{0}>9;n(1-\pi _{0})>9;n>30]$ $N(0;1)$
$\alpha =0,0359$ ; $1-\alpha =0,9641$ ; $c=1,8$
Ablehnungsbereich der $H_{0}:\{v|v>1,8\}$
$n=900$ ; $p=828/900=0,92$ ; $v=(0,92-0,9)/0,01=2$
$v=2\in$ Ablehnungsbereich $\rightarrow {\text{“}}H_{1}{\text{”}}$
Auf einem Signifikanzniveau von $\alpha =0,0359$ und basierend auf einer Stichprobe vom Umfang $n=900$ konnte statistisch gezeigt werden, dass mehr als 90% der Pakete den Empfänger innerhalb einer Woche erreichen. Das Unternehmen beauftragt die Versandfirma mit dem Versand ihrer Pakete.

Phosphatgehalt der Waschmittel (Gütefunktion)

Der Verlauf der Gütefunktion ist nicht abhängig vom Stichprobenergebnis, aber abhängig vom Stichprobenumfang.

Phosphatgehalt der Waschmittel

$X_{i}$ : “Phosphatgehalt des i-ten Paketes”; $i=1,...,36$

$X_{i}$ ist beliebig verteilt mit $E(X)=\mu$ ; $Var(X_{i})=36$ g $^{2}$

$H_{0}:\mu \leq \mu _{0}=18$ , $H_{1}:\mu >\mu _{0}=18$

$''H_{1}''|H_{0}$ = “Phosphatgehalt zu hoch” $|$ Phosphatgehalt stimmt; dies ist aus Sicht des Fabrikanten die schlimmere Fehlentscheidung.

${\overline {X}}$ : “Durchschnittlicher Phosphatgehalt eines Paketes bei einer Zufallsstichprobe vom Umfang $n=36$ ”

${\overline {X}}$ ist unter $H_{0}$ approximativ $N(\mu _{0};\sigma /{\sqrt {n}})=N(18;1)$ –verteilt wegen Zentralem Grenzwertsatz, $n>30$

$V=({\overline {X}}-\mu _{0})/(\sigma /{\sqrt {n}})$ ist unter $H_{0}$ approximativ $N(0;1)$ –verteilt
Ablehnungsbereich: $\{v|v>3,09\}$ , Nicht–Ablehnungsbereich: $\{v|v\leq 3,09\}$
$v=2\in$ Nicht–Ablehnungsbereich $\Rightarrow$ $''H_{0}''$
Es konnte statistisch bewiesen werden, dass der Richtwert überschritten wird. Die Firma spricht aber von einem statistischen Beweis, dass der Richtwert eingehalten wird (der $H_{0}$ !). $\alpha$ ist sehr klein! Kommt bei dieser Hypothesenformulierung nur der Firma zugute, d.h. nur bei einem ganz extrem großen Stichprobenwert von ${\overline {X}}$ muss die Firma das Produkt vom Markt nehmen ( $''H_{1}''$ ).
Wenn der wahre Wert des mittleren Phosphatgehalts 21,09g ist, würden 50% der Stichproben einen Mittelwert unter 21,09g und der Rest einen Mittelwert über 21,09g ergeben. Bei ${\overline {X}}=21,09$ nimmt der Prüfwert den Wert ${\frac {21,09-18}{{\sqrt {36}}/{\sqrt {36}}}}=3,09$ an, was genau der Grenze des Ablehnungsbereiches entspricht. Im Fall von 50% der möglichen Stichproben bekommt man also einen Prüfwert, der nicht zum Ablehnungsbereich gehört.

$\Rightarrow P(''H_{0}''|\mu =21,09)=0,5$

Schlampiges Gepäck-Handling

$i$	$x_{i}$		$p_{i}$		$h_{i}-np_{i}$	$(h_{i}-np_{i})^{2}$	$(h_{i}-np_{i})^{2}/(np_{i})$
1	0	460	0,449	449	11	121	0,269
2	1	350	0,360	360	-10	100	0,278
3	2	135	0,144	144	-9	81	0,563
4	3	40	0,038	38	2	4	0,105
5	4	15	0,008	8	7	49	5,125
6	$>$ 4	0	0,001	1	-1	1	1

$H_{0}$ : Stichprobenverteilung des Gepäckverlustes entspricht einer Poisson-Verteilung,

$H_{1}$ : Stichprobenverteilung des Gepäckverlustes entspricht nicht einer Poisson-Verteilung

$V=\sum _{i=1}^{I}{\frac {(h_{i}-n\cdot p_{i})^{2}}{n\cdot p_{i}}}$ $V$ ist unter $H_{0}$ approximativ ( $np_{i}\geq 1$ für alle $i$ , $np_{i}\geq 5$ für $80\%$ der $i$ ) $\chi ^{2}$ –verteilt mit $f=I-1-k=4$ Freiheitsgraden
Ablehnungsbereich: $\{v|v>13,28\}$ , Nicht–Ablehnungsbereich: $\{v|v\leq 13,28\}$
$L(x_{1},...,x_{n}|\lambda )={\frac {\lambda ^{x_{1}+...+x_{n}}}{x_{1}!\cdot ...\cdot x_{n}!}}\,e^{-n\lambda }\to \max \quad \Rightarrow \quad {\widehat {\lambda }}=0,8$
siehe obige Tabelle $v=7,34\not \in$ Ablehnungsbereich $\Rightarrow$ $''H_{0}''$
$H_{0}$ läßt sich statistisch nicht beweisen! Auf einem Signifikanzniveau von $\alpha =0,01$ und basierend auf einer Zufallsstichprobe vom Umfang $n=1000$ konnte lediglich statistisch bewiesen werden, dass es sich um eine Poisson-Verteilung handelt.

Schwergewichtsboxer

$H_{0}:\pi \leq \pi _{0}=0,5$ , $H_{1}:\pi >\pi _{0}=0,5$ $\Rightarrow$ das will er beweisen
$X$ : “Anzahl der von J.Knockout gewonnenen Kämpfe bei einer Zufallsstichprobe vom Umfang $n=11$ ”
$X$ ist unter $H_{0}$ $B(11;0,5)$ –verteilt
Ablehnungsbereich: $\{x>8\}$ , Nicht–Ablehnungsbereich: $\{x\leq 8\}$
$x=8\not \in$ Ablehnungsbereich $\Rightarrow$ $''H_{0}''$
Fehler 2. Art
Auf einem Signifikanzniveau von $\alpha _{ex.}=0,0327$ und basierend auf einer Zufallsstichprobe vom Umfang $n=11$ Kämpfen konnte statistisch nicht gezeigt werden, dass J. Knockout der bessere Boxer ist.

Skirennen (Gütefunktion)

$G(\pi =0)=1$ ; $G(\pi =0,1)=0,0985$ ; $G(\pi =0,2)=0,0074$
Die Skizze ist in den Lösungen nicht enthalten.

Skirennen

$H_{0}:\pi \geq \pi _{0}=0,1$ , $H_{1}:\pi <\pi _{0}=0,1$

$''H_{1}''|H_{0}$ = “Hang bleibt wie gesteckt” $|$ Krankenhaus überfüllt

$X$ : “Anzahl der Gäste, die ausscheiden, bei einer Zufallsstichprobe vom Umfang $n=22$ ”

$X$ ist unter $H_{0}$ $B(22;0,1)$ –verteilt

Ablehnungsbereich: $\{x<1\}$ , Nicht–Ablehnungsbereich: $\{x\geq 1\}$
$\alpha _{ex.}=0,0985$
$x=1\not \in$ Ablehnungsbereich $\Rightarrow$ $''H_{0}''$
Auf einem Signifikanzniveau von $\alpha _{ex.}=0,0985$ und basierend auf einer Zufallsstichprobe vom Umfang $n=22$ konnte statistisch nicht bewiesen werden, dass die Ausfallquote kleiner als 10% ist.

Sollwerte

$H_{0}:\mu =\mu _{0}(=300)$ , $H_{1}:\mu \neq \mu _{0}(=300)$

$X_{i}$ : “Füllgewicht der i-ten Konserve”; $i=1,...,100$ ; $X_{i}\sim N(\mu ;\sigma )$

${\overline {X}}$ : “Durchschnittliches Füllgewicht einer Konserve bei einer Zufallsstichprobe vom Umfang $n=100$ ”

${\overline {X}}$ ist unter $H_{0}$ $N(300;\sigma /{\sqrt {n}})$ –verteilt $\sigma$ unbekannt, aber $n>30$ $\Rightarrow$ Verwendung der Normalverteilung $V=({\overline {X}}-\mu _{0})/(S/{\sqrt {n}})$ ist unter $H_{0}$ approximativ $N(0;1)$ –verteilt

Ablehnungsbereich: $\{v|v<-1,96oderv>1,96\}$ , Nicht–Ablehnungsbereich: $\{v|-1,96\leq v\leq 1,96\}$
$v=2\in$ Ablehnungsbereich $\Rightarrow$ $''H_{1}''$ ; Produktionsprozeß stoppen.
$H_{0}:\mu \geq \mu _{0}=300$ , $H_{1}:\mu <\mu _{0}=300$ (das will Abnehmer beweisen!)

Spezialgefrierschränke (Gütefunktion)

** $G(\mu _{1}=-24,8)=0,00135$ $G(\mu _{1}=-24,8)=0,00135$
- $G(\mu _{2}=-25,8)=0,97725$
- $G(\mu _{3}=-29)=1$
Die Skizze ist in den Lösungen nicht enthalten.

Spezialgefrierschränke

$H_{0}:\mu \geq \mu _{0}=-25^{o}$ C, $H_{1}:\mu <\mu _{0}=-25^{o}$ C

$P(''H_{1}''|H_{0})=P($ “Kunden zufrieden?” $|$ Ruin $)=\alpha$

${\overline {X}}$ : “Durchschnittliche Temperatur eines Spezialgefrierschrankes bei einer Zufallsstichprobe $n=100$ ” $X_{i}$ : “Temperatur des $i$ –ten Spezialgefrierschrankes”; $i=1,\ldots ,100$ $X_{i}\sim N(\mu ;2)$ ; ${\overline {X}}$ ist unter $H_{0}$ $N(-25;0,2)$ –verteilt
$V=({\overline {X}}-\mu _{0})/(\sigma /{\sqrt {n}})$ ist unter $H_{0}$ $N(0;1)$ -verteilt
Ablehnungsbereich: $\{v|v<-2\}$ , Nicht–Ablehnungsbereich: $\{v|v\geq -2\}$
** $v=-5\in$ $v=-5\in$ Ablehnungsbereich $\Rightarrow$ $\Rightarrow$ $''H_{1}''$ $''H_{1}''$
- Auf einem Signifikanzniveau von 2,275% und basierend auf einer Zufallsstichprobe vom Umfang n = 100 konnte statistisch bewiesen werden, dass die durchschnittliche Temperatur der Geräte unter -25 $^{o}$ C liegt. Somit keine Produktionsveränderung notwendig.
** $v=-1,5\not \in$ $v=-1,5\not \in$ Ablehnungsbereich $\Rightarrow$ $\Rightarrow$ $''H_{0}''$ $''H_{0}''$
- Auf einem Signifikanzniveau von 2,275% und basierend auf einer Zufallsstichprobe vom Umfang $n=100$ konnte statistisch nicht bewiesen werden, dass die durchschnittliche Temperatur der Geräte unter -25 $^{o}$ C liegt. Somit Produktionsveränderung notwendig.
- Fehler 2. Art
- Frage kann nicht beantwortet werden; Fehler ist unterlaufen oder nicht.
- $P(''H_{0}''|H_{1}:\mu =-29)=0$
$P(''H_{1}''|H_{0})=\alpha$ ist an der Nahtstelle der Hypothesen stets am größten

Testfunktion

Für den Ablehnungsbereich $\{v|v>c\}$ gilt $P(V>c)=\alpha$ .
Für jedes $v\leq c$ ist $P(V>v)>P(V>c)$ , d.h. das vorgegebene Signifikanzniveau wird nicht eingehalten.
Oder: $P(V>c)=\alpha$ ; $P(V>v)=\gamma$ ,
$P(V>v|v\leq c)=[P(V\leq c)-P(V\leq v)]+P(V>c)$
$\gamma =\delta +\alpha$
$\gamma =\alpha$ für $v=c$ , $\delta =0$ ; $\gamma >\alpha$ für $v<c$ , $\delta >0$ .
$P(V>v|v>c)=P(V>c)-[P(V\leq v)-P(V\leq c)]$
$\gamma =\alpha -\delta$
$\gamma <\alpha$ für $v>c$ , $\delta >0$ .

Torerfolge

$X$ : “Torerfolge pro Spiel”

$i$	$x_{i}$	$h_{i}$	$p_{i}$	$np_{i}$	$h_{i}-np_{i}$	$(h_{i}-np_{i})^{2}$	$(h_{i}-np_{i})^{2}/(np_{i})$
1	0	18	0,0334	10	8	64	6,40
2	1	24	0,1134	34	-10	100	2,94
3	2	56	0,1929	58	-2	4	0,07
4	3	63	0,2187	66	-3	9	0,14
5	4	61	0,1858	56	5	25	0,45
6	5	39	0,1263	38	1	1	0,03
7	6	26	0,0716	21	5	25	1,19
8	7	6	0,0348	10	-4	16	1,60
9	8	5	0,0148	4	1	1	0,25
10	9	(2)2	0,0056	(3)2	-1	1	0,33
11	$>$ 9	0	0,0027	1

Werte in Klammern, wenn alle Werte mit $x_{i}\geq 9$ in einer Klasse.

$H_{0}$ : Stichprobenverteilung entspricht einer $PO(3,4)$

$H_{1}$ : Stichprobenverteilung entspricht nicht einer $PO(3,4)$

$V=\sum _{i=1}^{I}{\frac {(h_{i}-n\cdot p_{i})^{2}}{n\cdot p_{i}}}$ $V$ ist unter $H_{0}$ approximativ ( $np_{i}\geq 1$ für alle $i$ , $np_{i}\geq 5$ für mindestens $80\%$ der $i$ ) $\chi ^{2}$ –verteilt mit $f=I-1-k=10-1-0=9$ Freiheitsgraden
Ablehnungsbereich: $\{v|v>14,68\}$ , Nicht–Ablehnungsbereich: $\{v|v\leq 14,68\}$
$v=13,40\not \in$ Ablehnungsbereich $\Rightarrow$ $''H_{0}''$
Auf einem Signifikanzniveau von $\alpha =0,1$ und basierend auf einer Zufallsstichprobe vom Umfang $n=300$ konnte statistisch nicht bewiesen werden, dass die Stichprobenverteilung der Torfolge nicht einer $PO(3,4)$ entspricht.

Werbeaktion

$U_{i}={\mbox{Umsatz pro Kunde}}$ , $i=1,\dots ,n=900$ , $n>30$
${\overline {U}}=(\sum _{i=1}^{n}U_{i})/n$ , $E(U_{i})=\mu$ , $Var(U_{i})=\sigma ^{2}$
$H_{0}:\mu \geq 165$ ; $H_{1}:\mu <165$
asymptotisch: $V={\frac {{\overline {U}}-\mu }{\sqrt {\sigma ^{2}}}}{\sqrt {n}}\approx {\frac {{\overline {U}}-\mu }{\sqrt {S^{2}}}}{\sqrt {n}}\sim N(0;1)$ daher für $\mu _{0}=165$

${\begin{aligned}0,05=&P(V\leq c|H_{0})=P{\Bigg (}{\frac {{\overline {U}}-\mu _{0}}{\sqrt {S^{2}}}}{\sqrt {n}}\leq {\frac {c-\mu _{0}}{\sqrt {S^{2}}}}{\sqrt {n}}{\Bigg )}=\Phi {\Big (}{\frac {c-\mu _{0}}{\sqrt {S^{2}}}}{\sqrt {n}}{\Big )}\\0,95=&1-\Phi {\Big (}{\frac {c-\mu _{0}}{\sqrt {S^{2}}}}{\sqrt {n}}{\Big )}=\Phi {\Big (}-{\frac {c-\mu _{0}}{\sqrt {S^{2}}}}{\sqrt {n}}{\big )}\\1,64=&-{\frac {c-\mu _{0}}{\sqrt {S^{2}}}}{\sqrt {n}}=-{\frac {c-165}{\sqrt {900}}}{\sqrt {900}}\end{aligned}}$

$\rightarrow c=165-1,64=163,36$

Wetterlage und Geschäftslage

$X$ : “Wetterlage”; $Y$ : “Geschäftslage”

$X$ $\backslash$ $Y$	$y_{1}$ =gut	$y_{2}$ =normal	$y_{3}$ =schlecht
$x_{1}$ =Regentag	5	10	5	20
$x_{2}$ =Sonnentag	15	5	10	30
	20	15	15	50

$H_{0}$ : Wetter und Geschäftslage sind stochastisch unabhängig
$H_{1}$ : Wetter und Geschäftslage sind nicht stochastisch unabhängig
ja, da alle ${\widetilde {h}}_{ij}\geq 5$ $V=\sum _{i=1}^{I}\sum _{j=1}^{J}{\frac {(h_{ij}-{\widetilde {h}}_{ij})^{2}}{{\widetilde {h}}_{ij}}}$ ist unter $H_{0}$ approximativ $\chi ^{2}$ –verteilt mit $f=2$ Freiheitsgraden.

Tabelle mit ${\widetilde {h}}_{ij}$

$X$ $\backslash$ $Y$	$y_{1}$ =gut	$y_{2}$ =normal	$y_{3}$ =schlecht
$x_{1}$ =Regentag	8	6	6	20
$x_{2}$ =Sonnentag	12	9	9	30
	20	15	15	50

Ablehnungsbereich: $\{v|v>9,21\}$ , Nicht–Ablehnungsbereich: $\{v|v\leq 9,21\}$
$v=6,597\not \in$ Ablehnungsbereich $\Rightarrow$ $''H_{0}''$
Ablehnungsbereich: $\{v|v>5,99\}$ , Nicht–Ablehnungsbereich: $\{v|v\leq 5,99\}$
$v=6,597\in$ Ablehnungsbereich $\Rightarrow$ $''H_{1}''$

(i) Fehler 2. Art, (ii) Fehler 1. Art

Wocheneinkommen

X:Wocheneinkommen in diesem Stadtteil, Verteilung unbekannt, $\sigma =20$ EUR;
${\overline {X}}$ :Durchschnittliches Wocheneinkommen in diesem Stadtteil, ${\overline {X}}$ ist approximativ (Zentraler Grenzwertsatz, $n=100>30)$ $N\sim (\mu ;\sigma /{\sqrt {n}})$ mit $\sigma /{\sqrt {n}}=20/10=2$
$\mu _{0}=400$ , $\alpha =0,050503$ , $z_{0,949497}=1,64$ , $\mu _{1}=406$ , $H_{0}:\mu \leq 400\quad H_{1}:\mu >400$

$G(\mu _{1})=1-P{\big (}V\leq c-{\frac {\mu _{1}-\mu _{0}}{\sigma /{\sqrt {n}}}}{\big )}$

${\begin{aligned}G(\mu _{1}=406)&=1-P(V\leq 1,64-(406-400)/2)\\&=1-P(V\leq -1,36)\\&=1-(1-P(V\leq 1,36))\\&=P(V\leq 1,36)\\&=0,913085\end{aligned}}$ ,

$\beta =1-G(\mu _{1})=1-0,913085=0,086915\approx 0,087$

Zigarettenpreis

$X_{i}$ : “Zigarettenkonsum des $i$ –ten Rauchers pro Tag”; $i=1,...,100$ ;

$X_{i}$ ist beliebig verteilt mit $E(X_{i})=\mu$ und $Var(X_{i})=\sigma ^{2}$

$H_{0}:\mu \geq \mu _{0}=16$ , $H_{1}:\mu <\mu _{0}=16$ $\Rightarrow$ das will der Prokurist beweisen
${\overline {X}}$ : “Durchschnittlicher Zigarettenkonsum eines Rauchers pro Tag bei einer Zufallsstichprobe vom Umfang $n=100$ ”
${\overline {X}}$ ist unter $H_{0}$ approximativ $N(16;\sigma /{\sqrt {n}})$ –verteilt wegen Zentralem Grenzwertsatz und $n>30$
$V=({\overline {X}}-\mu _{0})/(S/{\sqrt {n}})$ ist unter $H_{0}$ approximativ $N(0;1)$
Ablehnungsbereich: $\{v|v<-2,33\}$ , Nicht–Ablehnungsbereich: $\{v|v\geq -2,33\}$ ,

$v=-2\not \in$ Ablehnungsbereich $\Rightarrow$ $''H_{0}''$

Fehler 2. Art
Auf einem Signifikanzniveau von $\alpha =0,01$ und basierend auf einer Zufallsstichprobe vom Umfang $n=100$ konnte statistisch nicht gezeigt werden, dass sich der durchschnittliche Zigarettenkonsum verringert hat.

Zugkraft eines Drahtseiles

$n=49>30;{\overline {X}}{\mbox{ approximativ normalverteilt}}$
$\mu _{0}=15$ ; $\mu =14,8$ ; $\sigma =0,4964$ ; $\alpha =0,07927$ ; $c_{0,92073}=1,41$ ; $\beta =1-G(\mu )$

${\begin{aligned}G(\mu )&=P{\Big (}V\leq -c-{\frac {\mu -\mu _{0}}{\sigma }}{\sqrt {n}}{\Big )}\\G(14,8)&=P{\Big (}V\leq -1,41-{\frac {14,8-15}{0,4964}}{\sqrt {49}}{\Big )}\\&=P(V\leq -1,41+2,82)\\&=P(V\leq 1,41)\\&=0,92073\\\beta &=1-0,92073=0,07927\end{aligned}}$

@@ Zeile 180: / Zeile 180: @@
 |}
-<math>\begin{aligned}
+<math>\begin{align}
 \bar{x}&=\displaystyle\frac{1}{n}\sum_ix_ih_j=\frac{1}{100}\cdot40000=400\\ s&=100\\
 p_1 & = P(V\leq300)=P\left(Z\leq\displaystyle\frac{300-400}{100}\right)\\
@@ Zeile 191: / Zeile 191: @@
        &=2\cdot0,725747-1\approx0,45\\
    p_4 & = P(V\geq460)=P\left(Z\geq\displaystyle\frac{460-400}{100}\right)\\
-       & =1-P(Z\leq0,6)=1-0,725747\approx0,27\end{aligned}</math>
+       & =1-P(Z\leq0,6)=1-0,725747\approx0,27\end{align}</math>
 Approximationsbedingung erfüllt; <math>f=4-1-2=1</math>; <math>\alpha=0,01</math><br />
@@ Zeile 255: / Zeile 255: @@
 Anwendung des Chi-Quadrat-Anpassungstests zur Prüfung der Hypothese, ob die von Bärbel beobachtete Verteilung (<math>h_{Stat}=5, h_{VWL}=35, h_{BWL}=50, h_{WI}=10</math>) mit der theoretisch erwarteten Verteilung (Gerdas Behauptung: <math>nf_{Stat}=10, nf_{VWL}=30, nf_{BWL}=40, nf_{WI}=20</math>) übereinstimmt. Beide Approximationsbedingungen sind erfüllt.<br />
-Prüfwert: <math>\begin{aligned}
+Prüfwert: <math>\begin{align}
      v&=&\sum_i[(h_i-np_i)^2/np_i]\\
      &=&(5-10)^2/10+(35-30)^2/30+(50-40)^2/40+(10-20)^2/20\\
      &=&25/10+25/30+100/40+100/20=(300+100+300+600)/120\\
-     &=&1300/120=10,83\approx10,8\end{aligned}</math>
+     &=&1300/120=10,83\approx10,8\end{align}</math>
 ===FKK===
@@ Zeile 315: / Zeile 315: @@
 <math>
-\begin{aligned}
+\begin{align}
 ,05 &= P(V\leq c|H_0) \\
           &= P\Big( \frac{\overline{U} - \mu_0}{\sqrt{S^2}} \sqrt{n} \leq
@@ Zeile 325: / Zeile 325: @@
      \\
 ,64 &= -\frac{c-\mu_0}{\sqrt{S^2} \sqrt{n}} = - \frac{c-0}{\sqrt{0.82}} \sqrt{50}
-\end{aligned}
+\end{align}
 </math>
@@ Zeile 342: / Zeile 342: @@
 * es ist <math>P(V\in \mbox{Ablehnungsbereich der }H_0|\mu>\mu_0)=P(</math>“<math>H_1</math>”<math>|H_1)=1-\beta</math>.
-<math>\begin{aligned}
+<math>\begin{align}
 G(\mu=-24,8)&=&1-P\left(V\leq z_{1-\alpha}-\frac{\mu-\mu_0}{\sigma/\sqrt{n}}\right)\\
 &=&1-P\left(V\leq1,96-\frac{-24,8-(-25)}{2}\sqrt{100}\right)\\
-&=&1-P(V\leq0,96)=1-0,831482=0,168518\approx0,17\end{aligned}</math>
+&=&1-P(V\leq0,96)=1-0,831482=0,168518\approx0,17\end{align}</math>
 ===Kaffee Packungen 2===
@@ Zeile 378: / Zeile 378: @@
 Es ist (wahr) <math>\mu=497<\mu_0=500</math>; es gilt in Wirklichkeit die Alternativhypothese und mit der Ablehnung von <math>H_0</math> wird eine richtige Entscheidung getroffen. Es ist <math>P(V\in\mbox{Ablehnungsbereich der }H_0|\mu<\mu_0)=P(</math>“<math>H_1</math>”<math>|H_1)=1-\beta</math><br />
-Berechnung der Gütefunktion: <math>\begin{aligned}
+Berechnung der Gütefunktion: <math>\begin{align}
      G(\mu)&=&P\left(V\leq-z_{1-\alpha}-\frac{\mu-\mu_0}{\sigma/\sqrt{n}}\right)=P\left(V\leq-1,64-\frac{497-500}{15/\sqrt{100}}\right)\\
      &=&P\left(V\leq-1,64-\frac{-3}{1,5}\right)=P(V\leq-1,64+2)=P(V\leq0,36)\\
-     &=& 1-\beta=0,64058\end{aligned}</math> <math>\rightarrow \beta=0,35942\approx0,36</math>
+     &=& 1-\beta=0,64058\end{align}</math> <math>\rightarrow \beta=0,35942\approx0,36</math>
 ===Kaffee Packungen===
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 <li><p>
 <math>
-\begin{aligned}
+\begin{align}
 \beta & =  1-G(\mu=501)=1-P(\overline{X}>\overline{x}_c|\mu=501)\\
        & =  P(\overline{X}\leq\overline{x}_c|\mu=501)\\
        & =  P\Big( V\leq c-\frac{\mu-\mu_0}{\sigma/\sqrt{n}} \Big)\\
        & =  P\Big( V\leq2-\frac{501-500}{2} \Big)\\
-       & =  P(V\leq1,5)=0,933193\end{aligned}
+       & =  P(V\leq1,5)=0,933193\end{align}
 </math>
 </p>
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 <math>
-\begin{aligned}
+\begin{align}
 G(\mu=499) & = 1-P \Big( V\leq c-\frac{\mu-\mu_0}{\sigma/\sqrt{n}} \Big)=1-P\Big( V \leq 2-\frac{499-500}{2} \Big)\\
             & = 1-P(V\leq2,5)=1-0,99379=0,00621\\
-            & = P(\text{“} H_1 \text{”}|H_0)=\alpha(\mu=499)\end{aligned}</math></p>
+            & = P(\text{“} H_1 \text{”}|H_0)=\alpha(\mu=499)\end{align}</math></p>
 <p>Die Wahrscheinlichkeit für einen Fehler 1. Art (unberechtigte Annahme der <math>H_1</math>) beträgt <math>\alpha=0,00621</math>, wenn das wahre <math>\mu=499</math> ist.
-<math>\begin{aligned}
+<math>\begin{align}
 G(\mu=502) & = 1-P\Big(V\leq2-\frac{502-500}{2}\Big)=1-P(V\leq1)\\
             & = 1-0,841345=0,158655\\
             & = P(\text{“} H_1 \text{”}|H_1)=1-\beta(\mu=502)
-\end{aligned}
+\end{align}
 </math>
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 asymptotisch:<math>V=\frac{\overline{U}-\mu}{\sqrt{\sigma^2}}\sqrt{n}\approx\frac{\overline{U}-\mu}{\sqrt{S^2}}\sqrt{n}\sim N(0;1)</math>daher für <math>\mu_0=165</math>
-<math>\begin{aligned}
+<math>\begin{align}
 ,05 =& P(V\leq c|H_0)=P\Bigg(\frac{\overline{U}-\mu_0}{\sqrt{S^2}}\sqrt{n}\leq\frac{c-\mu_0}{\sqrt{S^2}}\sqrt{n}\Bigg)=\Phi\Big(\frac{c-\mu_0}{\sqrt{S^2}}\sqrt{n}\Big)\\
 ,95 =&1-\Phi\Big(\frac{c-\mu_0}{\sqrt{S^2}}\sqrt{n}\Big)=\Phi\Big(-\frac{c-\mu_0}{\sqrt{S^2}}\sqrt{n}\big)\\
 ,64=&-\frac{c-\mu_0}{\sqrt{S^2}}\sqrt{n}=-\frac{c-165}{\sqrt{900}}\sqrt{900}
-\end{aligned}
+\end{align}
 </math>
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 <math>
-\begin{aligned}
+\begin{align}
 G(\mu)   &=  P\Big( V\leq-c-\frac{\mu-\mu_0}{\sigma}\sqrt{n}\Big)\\
 G(14,8)  &=  P\Big( V\leq-1,41-\frac{14,8-15}{0,4964}\sqrt{49} \Big)\\
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           &=  P(V\leq1,41)\\
           &=  0,92073\\
-\beta    &= 1-0,92073=0,07927\end{aligned}</math>
+\beta    &= 1-0,92073=0,07927\end{align}</math>

Ablehnungsbereich:	$\{v\|v>2\}$
Nicht–Ablehnungsbereich:	$\{v\|v\leq 2\}$