Testtheorie/Aufgaben

1000g–Portionen

  (Lösung)

Obst- und Gemüsehändler Paul lässt seine Äpfel in 1000g-Portionen abpacken. Natürlich kann man nicht immer exakt 1000g abwiegen. Paul wiegt daher bei jeder Lieferung eine Stichprobe von 25 Portionen nach, um sicherzustellen, dass der Mittelwert von 1000g eingehalten wird. Heute hat er allerdings eine Stichprobe gezogen, deren Stichprobenmittelwert bei 1015g liegt. Paul ist beunruhigt und benötigt statistische Hilfe. Aus langjähriger Erfahrung weiß er, dass das Gewicht der gelieferten Portionen normalverteilt ist und eine Varianz von 625g$^{2}$ aufweist.
Testen Sie anhand von Pauls Stichprobe, ob die Hypothese
${\mbox{mittleres Portionsgewicht}}=1000$ g erfüllt ist.
Um wieviel Gramm muss der Stichprobenmittelwert nach beiden Seiten von 1000g abweichen, um die Hypothese zu einem Signifikanzniveau von 5% abzulehnen?

Anzahl der Kinder

  (Lösung)

Eine Umfrage unter 200 Familien mit 3 Kindern
(${\mbox{J}}={\mbox{Junge, M}}={\mbox{Mädchen}}$) ergab folgende Verteilung:

Anzahl der Kinder	3J, 0M	2J, 1M	1J, 2M	0J, 3M
Anzahl der Familien	16	60	92	32

Prüfen Sie mit dem Chi–Quadrat–Anpassungstest die Hypothese, dass die Wahrscheinlichkeit der Geburt von Jungen und Mädchen gleich groß ist. Welches ist das kleinste Signifikanzniveau, zu dem die Nullhypothese abgelehnt wird?

Arbeitsproduktivität

  (Lösung)

Bei der Vorbereitung technischer Arbeitsnormen wurden in einem Betrieb mit Monoproduktfertigung 64 unabhängige Messungen der Arbeitsproduktivität von Arbeitern durchgeführt. Es sei bekannt, dass die Standardabweichung der Arbeitsproduktivität bei derartiger Fertigung $\sigma =0,8$ Stück/Stunde ist. Die durchschnittliche Arbeitsproduktivität betrug in der Stichprobe 5,2 Stück/Stunde.
Auf einem Signifikanzniveau von $\alpha =0,05$ wird die zweiseitige Hypothese, dass die durchschnittliche Arbeitsproduktivität aller Arbeiter des Betriebes 5,5 Stück/Stunde beträgt, geprüft. Es wird nunmehr angenommen, dass in Wirklichkeit die durchschnittliche Arbeitsproduktivität 5,6 Stück/Stunde beträgt.
Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, einen Fehler 2. Art zu begehen.

Ausfallsicherheit

  (Lösung)

Ein Hersteller von Internetservern möchte die Ausfallsicherheit seiner Produkte untersuchen. Er möchte statistisch zeigen, dass die Ausfallzeit seiner Server geringer ist als 1% der Gesamtbetriebszeit, wobei er das Risiko einer Fehlentscheidung möglichst klein halten will. Dafür werden die Ausfallzeiten von 25 Servern innerhalb eines Jahres (=365 Tage) beobachtet. Es ergab sich eine mittlere Ausfallzeit von 84,2 Stunden bei einer Stichprobenvarianz von 100.
Führen Sie einen Test durch, um die genannte Aussage des Herstellers zu prüfen $(\alpha =0,05)$. Gehen Sie davon aus, dass die Server das ganze Jahr in Betrieb waren und die Ausfallzeit normalverteilt ist. Wie groß ist der Wert der Teststatistik $v$ und wie ist Ihre Testentscheidung?

Ausgaben für Urlaubsreisen

  (Lösung)

Von den 2,5 Millionen Haushalten eines Landes werden 10.000 Haushalte nach ihren Ausgaben im Jahre 2001 für Urlaubsreisen befragt. In der Stichprobe ergab sich ein arithmetisches Mittel von 3780 EUR und eine Standardabweichung von 2290 EUR. Ein Tourismusexperte geht von der Annahme eines hypothetischen Wertes für die Gesamtausgaben für Urlaubsreisen in der Grundgesamtheit von 10 Milliarden EUR aus und testet auf einem Signifikanzniveau von $\alpha =0,05$ die Nullhypothese, dass der Mittelwert $\mu$ in der Grundgesamtheit nicht größer ist als der hypothetische Mittelwert $\mu _{0}$: $H_{0}:\mu \leq \mu _{0}.$Wählen Sie eine adäquate Teststatistik und berechnen Sie den Wert der Teststatistik für die Stichprobe.

Batterien Lebensdauer

  (Lösung)

Der altgediente Leiter der statistischen Abteilung einer Batterie–Firma geht davon aus, dass die Lebensdauer der produzierten Batterien normalverteilt ist. Der neu eingestellte Statistiker S. Kepsis möchte es genau wissen. Dem Protokoll einer unlängst durchgeführten Qualitätskontrolle entnimmt er folgende Daten:

i	Batterie–Lebensdauer in Std.	beobachtete	${\bar {x}}_{i}$
	von …bis unter	Häufigkeit
1	…– 300	10	160
2	300 – 340	10	320
3	340 – 460	60	400
4	460 – …	20	560

Die Stichprobenstandardabweichung dieser Daten beträgt 100 Stunden.

• Mit welchem statistischen Verfahren läßt sich die Annahme des
  

Leiters der statistischen Abteilung überprüfen?

• Formulieren Sie die Hypothesen für diesen Test.
• Führen Sie den Test auf einem Signifikanzniveau von 1% mit
  

allen Begründungen durch.

• Interpretieren Sie das Testergebnis statistisch exakt.
• Ist Ihnen bei der Testentscheidung ein Fehler unterlaufen?

Benzinverbrauch Test

  (Lösung)

Ein Autohersteller behauptet, dass sein neuestes Auto einen mittleren Benzinverbrauch von 6 l/100 km hat. Ein Automobilclub lässt auf einem Signifikanzniveau von $\alpha =0,05$ überprüfen, ob es Abweichungen von dieser Behauptung gibt, wobei angenommen wird, dass der Benzinverbrauch normalverteilt ist. Eine einfache Zufallsstichprobe an 16 dieser Autos liefert folgende Informationen: $\sum _{i}x_{i}=97,6$ und
$\sum _{i}(x_{i}-{\overline {x}})^{2}=0,6615$.Wählen Sie einen geeigneten Test zur überprüfung der Hypothese und geben Sie dafür den Prüfwert (gerundet auf drei Stellen nach dem Komma) und den absoluten kritischen Wert an.

Chininhaltige Limonade

  (Lösung)

Der Getränkegroßhändler H. beabsichtigt, chininhaltige Limonade aus England zu importieren. Allerdings vermutet er aufgrund einschlägiger Erfahrungen mit englischen Importeuren, dass höchstens 90% aller importierten Flaschen dieser Limonade den hier geltenden Gesundheitsvorschriften hinsichtlich des Chiningehaltes genügen. Der Großhändler H. bittet nun Sie, für ihn einen statistischen Test auf einem Signifikanzniveau von 5% und einer Zufallsstichprobe vom Umfang $n=30$ durchzuführen.

• Formulieren Sie die Hypothesen für diesen Test, wobei Sie davon ausgehen können, dass der Großhändler sich eher einen neuen Importeur sucht als ein zu hohes Risiko einzugehen, Arger mit dem Gesundheitsamt zu bekommen.
• Wie lautet die Testfunktion bei diesem Test?
• Wie ist die Testfunktion unter $H_{0}$ verteilt?
• Bestimmen Sie den Annahme und den Ablehnungsbereich.

Aus der Stichprobe ergab sich, dass eine Flasche den Gesundheitsvorschriften nicht entsprach.

• Wie lautet die Testentscheidung?
• Interpretieren Sie das Testergebnis unter dem Gesichtspunkt der Konsequenzen, die sich eventuell für den Großhändler ergeben.
• Skizzieren Sie die Gütefunktion dieses Tests für folgende Werte
  

$p=0$, $p=0,1$ und $p=0,2$!

Dicke der Fahrbahndecke

  (Lösung)

Beim Bau eines Autobahnabschnittes wird vereinbart, dass der Bauunternehmer Abzüge vom vereinbarten Kaufpreis hinnehmen muss, wenn sich auf Grund einer Stichprobe von 64 Bohrkernen und auf einem Signifikanzniveau von 5% ergibt, dass die mittlere Dicke der Fahrbahndecke den Wert 3,5 unterschreitet. Formulieren Sie die Hypothesen für diesen Test aus der Sicht des Bauunternehmers mit Begründung.

Durchmesser von Wellen

  (Lösung)

Für den Durchmesser von Wellen ist ein Sollwert von 200mm vorgeschrieben. Außerdem ist bekannt, dass der Durchmesser der Wellen normalverteilt ist mit einer Standardabweichung von 5 mm. Um die Produktion zu kontrollieren, zog der Kontrolleur K$_{1}$ eine Zufallsstichprobe von $n=100$. Das arithmetische Mittel aus diesen 100 Messungen des Durchmessers ergab eine Abweichung vom Sollwert von +0,4mm.

Es soll die Hypothese $H_{0}:\mu =\mu _{0}$ gegen $H_{1}:\mu e\mu _{0}$ auf einem Signifikanzniveau von 5% getestet werden.

• Geben Sie den Verwerfungsbereich an!
• Wie entscheidet sich K$_{1}$?
• Welchen Fehler könnte K$_{1}$ bei seiner Entscheidung begangen haben?
• Ein zweiter Kontrolleur K$_{2}$ berechnet aus einer zweiten Zufallsstichprobe von $n=100$ ein ${\overline {x}}=$ 202mm. Wie entscheidet sich K$_{2}$ (bei gleichen Entscheidungskriterien)?
• Welchen Fehler könnte K$_{2}$ bei seiner Entscheidung begangen haben?

Durchschnittsgewicht

  (Lösung)

Ein Supermarkt hat bisher Hähnchen mit einem Durchschnittsgewicht von 1400g zu einem bestimmten Preis bezogen. Ein Händler macht nun das Angebot, Hähnchen von gleichem Durchschnittsgewicht zu einem günstigeren Stückpreis liefern zu können. Die Einkäufer E$_{1}$ und E$_{2}$ des Supermarkts, die beide wissen, dass das Hähnchengewicht normalverteilt ist, vermuten, dass der günstige Preis durch ein zu geringes Durchschnittsgewicht zustande kommt. E$_{1}$ wiegt daraufhin 25 zufällig ausgewählte Hähnchen ab. Dabei stellt sich heraus, dass das arithmetische Mittel um -9g vom Sollgewicht abweicht und die Standardabweichung sich zu 50g aus der Stichprobe ergab. Das Signifikanzniveau des Test soll 5% betragen.

• Der Einkäufer stellt folgende Hypothesen auf: $H_{0}:\mu \geq \mu _{0}(=1400)\quad {\mbox{und}}\quad H_{A}:\mu <\mu _{0}(=1400).$ Welches Risiko wird bei dieser Hypothesenformulierung klein gehalten?
• Geben Sie diejenige Stichprobenfunktion, die sich zur Prüfung der aufgestellten Hypothesen eignet, verbal an!
• Geben Sie ihre Verteilung und Parameter unter der Annahme an, dass $H_{0}$ richtig ist.
• Wie lautet die Testfunktion und wie ist diese unter $H_{0}$ verteilt?
• Ermitteln Sie den Annahmebereich und den Ablehnungsbereich der $H_{0}$.
• Wie entscheidet sich E$_{1}$?
• Welchen Fehler kann E$_{1}$ gemacht haben?

E$_{2}$ entnimmt eine zweite Zufallsstichprobe von n=25. Es ergibt sich ein Durchschnittsgewicht von 1381g bei gleicher Standardabweichung wie zuvor.

• Wie entscheidet sich E$_{2}$?
• Welchen Fehler kann E$_{2}$ gemacht haben?

Fachgebiete

  (Lösung)

Die Studentinnen Gerda und Bärbel stehen in der Bibliothek vor einem großen Regal mit Büchern, von denen sich jedes eindeutig einem Fachgebiet zuordnen lässt. Gerda behauptet, dass 10% der Bücher zur Statistik, 30% der Bücher zur VWL, 40% der Bücher zur BWL und der Rest zur Wirtschaftsinformatik gehören. Bärbel bezweifelt diese Behauptung und wählt zufällig 100 Bücher aus diesem Regal. Sie stellt fest, dass 5 Bücher zur Statistik, 35 zur VWL, 50 zur BWL und der Rest zur Wirtschaftsinformatik gehören. Wählen Sie einen geeigneten statistischen Test und berechnen Sie für diesen den Prüfwert.

FKK

  (Lösung)

In einer Zeitung stand, dass ein Meinungsforschungsinstitut eine Stichprobe von 100 alten und 50 neuen Bundesbürgern über ihre Haltung zu FKK befragte. Je 20 Alt– und Neubundesbürger sprachen sich für FKK aus, der Rest dagegen.
Prüfen Sie die Behauptung, die Neigung zu FKK sei unabhängig von der Region auf einem Signigfikanzniveau von 1%. Definieren Sie dazu die Zufallsvariablen, stellen Sie die Hypothesen auf und geben Sie die Testfunktion und ihre Verteilung unter $H_{0}$ an.

Gewinnspiel–Automat

  (Lösung)

An einem Gewinnspiel–Automaten ergaben sich nach 50 Spielen folgende Erträge bei jeweils gleichem Einsatz pro Spiel:

Gewinn minus Einsatz	-1	0	1	2	4
Anzahl	36	11	1	1	1

Testen Sie die Hypothese $H_{0}$, dass der erwartete Ertrag (Gewinn minus Einsatz) nicht negativ ist, zum Signifikanzniveau $\alpha =5\%$.
Wie klein dürfte der mittlere Ertrag gerade noch sein, damit die Hypothese nicht abgelehnt wird?

Grönländische Bohrlochkerne

  (Lösung)

Es wird angenommen, dass Grönländische Bohrlochkerne in 300 m Tiefe im ewigen Eis eine durchschnittliche Temperatur von $-25$C haben. Aus Erfahrung weiß man, dass die Temperatur der Bohrlochkerne normalverteilt ist mit Varianz $\sigma ^{2}=4$. Forscher vermuten, dass die Klimaerwärmung eine Erwärmung des Eises zur Folge hat und führen deshalb eine Messreihe an 100 zufällig ausgewählten Bohrlochkernen des letzten Jahres durch, die eine mittlere Temperatur von $-24$C bei einer Standardabweichung von 1,5C ergab. Die Nullhypothese $H_{0}$ wird auf einem Signifikanzniveau von 2,5% geprüft. Wenn in Wirklichkeit die durchschnittliche Temperatur der Bohrlochkerne $-24,8$C beträgt, wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, sich richtigerweise für die Alternativhypothese zu entscheiden, d.h. $P($“$H_{1}$”$|H_{1})=1-\beta$?

Kaffee Packungen

  (Lösung)

Die Firma Tschiduscho produziert unter anderem die Kaffeesorte Dröhnung. Die Abfüllung in 500 g–Packungen variiert zufällig, wie die Beobachtungen der Vergangenheit zeigen, und zwar gemäß einer Normalverteilung mit $\mu =500$ g und der Varianz von 100 g$^{2}$. Die Firma muss aus bestimmten Gründen den Lieferanten von Kaffeebohnen wechseln. Da die Bohnen des neuen Lieferanten größer sind, vermutet man, dass in die Kaffeepackungen effektiv weniger abgefüllt wird. Das aber hätte Arger mit den deutschen Kaffeetrinkern zur Folge, was die Firma auf jeden Fall vermeiden will.
Aus Erfahrung weiß man, dass ein solcher Wechsel der Kaffeebohnensorte weder die Verteilungsform noch die Varianz der Füllmenge pro Packung verändert, sondern allenfalls den Erwartungswert. Die Firma möchte nun einen Test auf diesen Erwartungswert durchführen auf einem Signifikanzniveau von 2,275% und auf der Basis einer einfachen Zufallsstichprobe von 25 Kaffeepackungen.

• Wie lauten die Hypothesen für diesen Test? überlegen Sie genau, welches Risiko zu kontrollieren ist und begründen Sie so Ihre Wahl der Hypothesen.
• Geben Sie die von Ihnen verwendete Schätzfunktion verbal und formal an und begründen Sie deren Verteilung unter $H_{0}$.
• Wie lautet die Testfunktion konkret und wie ist sie unter $H_{0}$ verteilt?
• Bestimmen Sie den Nicht–Ablehnungsbereich und den Ablehnungsbereich für diesen Test.

Die Zufallsstichprobe ergab eine mittlere Abfüllmenge pro Packung von 504,5 g.

• Wie lautet Ihre Testentscheidung?
• Interpretieren Sie das Testergebnis inhaltlich und statistisch exakt.
• Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für einen Fehler 2. Art, wenn $\mu$ in Wahrheit den Wert $\mu _{1}=501$ g hat?
• Bestimmen und interpretieren Sie den Wert der Gütefunktion, falls $\mu$ in Wahrheit folgenden Wert hat:
  

(i) $\mu _{1}=499$ g(ii)$\mu _{2}=502$ g.

Kaffee Packungen 2

  (Lösung)

Eine Maschine füllt Packungen Kaffee ab, die ein Sollgewicht von 500 g haben sollen. Aufgrund langer Beobachtungen kann angenommen werden, dass für diese Maschine $\sigma =15$ g ist. Aus dieser Grundgesamtheit wird eine einfache Zufallsstichprobe vom Umfang $n=100$ gezogen. Auf einem Signifikanzniveau von von $\alpha =0,05$ wurde das mittlere Füllgewicht der Kaffeepackungen mittels der Hypothese $H_{0}:\mu \geq \mu _{0}$ und $H_{1}:\mu <\mu _{0}$ geprüft.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit eines Fehlers 2. Art, wenn $\mu =497$ g das wahre mittlere Füllgewicht ist?

Lagerhaltungsprobleme

  (Lösung)

In Zusammenhang mit bestimmten Lagerhaltungsproblemen ist zu prüfen, ob die Poisson–Verteilung ein geeignetes Modell für die Nachfrage nach einem Produkt ist. Eine einfache Zufallsstichprobe von $n=100$ Verkaufstagen liefert die folgenden Daten:

Anzahl der nachgefragten	Anzahl der Tage, an denen $x$
Produkte pro Tag $(x)$	Produkte nachgefragt wurden
0	17
1	20
2	27
3	18
4	18
5 und mehr	0

Wählen Sie einen geeigneten Test aus und bestimmen Sie dafür den kritischen Wert für ein Signifikanzniveau von $\alpha =0,05$.

Mietpreisbindung

  (Lösung)

Der Mieterverein von Bärenhausen kämpfte vor einiger Zeit gegen die Aufhebung der Mietpreisbindung für Altbauwohnungen. Alles, was er jedoch erreichen konnte, war eine Einigung darüber, dass der Mietpreis jährlich um maximal 5% angehoben werden darf. Ein Jahr nach Inkrafttreten des Gesetzes veröffentlicht der Verein der “Baulöwen und Großgrundbesitzer” folgende Meldung:

“Entgegen allen Befürchtungen der Mieter lag die durchschnittliche Mietpreissteigerung bei den Altbauwohnungen im letzten Jahr nur bei 2,5%. Ferner ist festzustellen, dass die Höhe der einzelnen Mietpreissteigerungen einer Gleichverteilung innerhalb des vereinbarten Bereiches folgt.”

Der Mieterverein bezweifelt diese Zahlen und führt deshalb selbst eine Erhebung vom Umfang $n=100$ durch. Diese Erhebung brachte folgende Ergebnisse:

Mietpreissteigerung in%	Häufigkeit
0 - 1	0
1 - 2	0
2 - 3	10
3 - 4	10
4 - 5	40
über 5	40

• Mit welchem statistischen Testverfahren kann der Mieterverein die Verteilungsannahme der Gegenseite überprüfen?
• Formulieren Sie die Hypothesen für diesen Test!
  

Berechnen Sie dafür die untere und obere Grenze der von der Gegenseite behaupteten Verteilung!

• Wie lautet die Testfunktion für diesen Test?
• Wie ist diese Testfunktion unter $H_{0}$ verteilt? Begründung!
• Bestimmen Sie den Verwerfungsbereich für diesen Test bei einer Irrtumswahrscheinlichkeit von 0,5%!
• Wie lautet die Testentscheidung?
• Interpretieren Sie das Testergebnis und statistisch exakt!

Münzen

  (Lösung)

Drei unterscheidbare Münzen werden insgesamt 240 mal geworfen, und jedesmal wurde die erscheinende Anzahl von “Kopf” beobachtet.

Die Ergebnisse sind im folgenden zusammengefasst:

0 mal Kopf:	24
1 mal Kopf:	108
2 mal Kopf:	85
3 mal Kopf:	23

Testen Sie die Hypothese, dass es sich bei den drei Münzen um ideale Münzen handelt ($\alpha =0,05$)!
(Bei einer idealen Münze werden Kopf und Zahl mit der gleichen Wahrscheinlichkeit geworfen.)

Neues Präparat

  (Lösung)

Von der Pharma–Industrie wurde ein neues Präparat gegen das bisher als unheilbar geltende und weltweit verbreitete Nasenjucken entwickelt, wobei vom Hersteller versprochen wird, dass bei höchstens 65% der mit diesem Präparat behandelten Patienten kein Heilerfolg eintritt.
Da Sie es als behandelnder Arzt mit der Kostendämpfung im Gesundheitswesen genau nehmen, wollen Sie Ihren Patienten dieses teure Präparat nur verschreiben, wenn man den Angaben des Herstellers trauen kann und die Krankenkassen nicht zur Kasse gebeten werden für die Bezahlung eines Präparats, dessen Heilung minimal ist.
Sie beschließen, dieses Präparat an 19 zufällig ausgewählten Patienten, die an Nasenjucken leiden, auszuprobieren und die Angaben des Herstellers zu testen $(\alpha =0,01)$. Von dieser Testentscheidung wollen Sie die Einführung des Präparats abhängig machen.

• Stellen Sie die Hypothesen für diesen Test auf. überlegen Sie genau, welches Risiko zu kontrollieren ist und begründen Sie die Wahl der Hypothesen.
• Geben Sie die Testfunktion für diesen Test verbal und formal an.
• Wie ist die Testfunktion unter $H_{0}$ verteilt?
• Bestimmen Sie den Nicht–Ablehnungsbereich und den Ablehnungsbereich für diesen Test, sowie das zugehörige exakte Signifikanzniveau.

Da man in der Regel erst nach ein paar Tagen über den Heilerfolg von medizinischen Präparaten konkret etwas aussagen kann, beantworten Sie in der Zeit, in der Sie auf das Stichprobenergebnis warten, die folgende Frage:

• Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit und um welche Wahrscheinlichkeiten handelt es sich, dass Sie sich aufgrund des Testergebnisses
  1. nicht für die Einführung des Präparates entscheiden, wenn die Heilungsquote in Wahrheit sogar 50% betragen sollte?
  2. für die Einführung des Präparates entscheiden, wenn die Heilungsquote in Wahrheit 40% ausmachen sollte?

Paketversandfirma

  (Lösung)

Eine Paketversandfirma wirbt mit der Behauptung, dass mehr als 90% der von ihr beförderten Pakete ihren Empfänger innerhalb einer Woche erreichen. Wenn diese Behauptung stimmt, will ein Unternehmen diese Firma mit dem Versand seiner Pakete beauftragen. Das Unternehmen läßt deshalb einen Test mit den Hypothesen $H_{0}:\pi \leq \pi _{0}$ und $H_{1}:\pi >\pi _{0}$ auf einem Signifikanzniveau von $\alpha =0,0359$, basierend auf einer Zufallsstichprobe von 900 Paketen durchführen. Von den 900 Paketen erreichten 828 ihre Empfänger innerhalb einer Woche.
Geben Sie die Testfunktion und ihre Verteilung unter $H_{0}$, den Ablehnungsbereich der $H_{0}$ an und treffen Sie die Testentscheidung mit exakter inhaltlicher und statistischer Interpretation.

Phosphatgehalt der Waschmittel

  (Lösung)

Seit geraumer Zeit beklagen Umweltschützer die Verschmutzung der Seen durch die Abwässer der Haushalte – insbesondere durch den Phosphatgehalt der Waschmittel. So greifen sie auch eine bestimmte Firma an, da sie glauben, dass der zulässige Durchschnittswert von höchstens 18g pro Packung in deren Produkt überschritten wird. Die Firma bestreitet energisch und verspricht den Umweltschützern, das Produkt vom Markt zu nehmen, falls sich statistisch zeigen läßt, dass der mittlere Phosphatgehalt ihres Produkts tatsächlich zu hoch ist.

Die Firma will nun diesen Test durchführen und schlägt den Umweltschützern eine Irrtumswahrscheinlichkeit von 0,001 vor, da man dann mit hoher Sicherheit ein richtiges Testergebnis bekommen würde. Die Umweltschützer akzeptieren dies, da ihnen die Argumentation völlig einleuchtet. Die Varianz des Phosphatgehalts pro Packung wird mit 36g$^{2}$ als bekannt vorausgesetzt.

Bei einer gezogenen Zufallsstichprobe von 36 Packungen ergab sich ein durchschnittlicher Phosphatgehalt von 20g.

• Formulieren Sie die Hypothesen für diesen Test!
• Geben Sie die zugrundeliegende Stichprobenfunktion formal und verbal an. Wie ist sie unter $H_{0}$ verteilt?
• Wie lautet die Testfunktion und wie ist diese unter $H_{0}$ verteilt?
• Bestimmen Sie den Ablehnungsbereich für diesen Test.
• Wie lautet die Testentscheidung?

Die Firma gibt folgende Pressemitteilung heraus:

“Mit Hilfe eines Tests konnte unsere Firma statistisch belegen, dass der mittlere Phosphatgehalt in unseren Waschmittelpaketen den Richtwert von 18g nicht überschreitet. Für diesen Test wurden unter den Augen der Umweltschützer 36 Waschmittelpakete zufällig ausgewählt und untersucht. Um eine Fehlentscheidung bei diesem Test fast vollständig auszuschließen, haben wir nach Absprache mit den Umweltschützern den Test so durchgeführt, dass eine Fehlentscheidung nur mit 0,1%-iger Wahrscheinlichkeit vorkommen kann. Damit hat unsere Firma wieder einmal bewiesen, dass sie zu den umweltbewußten Herstellern von... usw. ... usw.”

• Nehmen Sie ausführlich Stellung zu dieser Pressemitteilung!
• Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit für die Fehlentscheidung, falls der mittlere Phosphatgehalt pro Paket den wahren Wert 21,09g hat.

Phosphatgehalt der Waschmittel (Gütefunktion)

  (Lösung)

Ist der Verlauf der Gütefunktion für den in Test in der Aufgabe Phosphatgehalt der Waschmitte abhängig vom Stichprobenergebnis bzw. vom Stichprobenumfang?

Schlampiges Gepäck-Handling

  (Lösung)

Einer im Berlin–Verkehr tätigen ausländischen Fluggesellschaft wird gelegentlich schlampiges Gepäck-Handling vorgeworfen. Gewöhnlich verteidigt sich der Deutschlanddirektor der Fluggesellschaft gegenüber Journalisten mit dem Hinweis, dass es sich bei diesen Vorkommnissen um “seltene” Ereignisse handelt. Als der Deutschlanddirektor durch Zufall erfährt, dass es eine statistische Verteilung gibt, die gerade “Verteilung der seltenen Ereignisse” heißt, wittert er eine Chance, seine Behauptung statistisch zu untermauern. Dies soll durch einen statistischen Test geschehen, bei dem die Behauptung “Nichtmitnahme von Passagiergepäck mit dem Flugzeug unterliegt der Verteilung der seltenen Ereignisse” auf einem Signifikanzniveau von 1% überprüft werden soll.

Von der Vertretung der Airline in Berlin-Tegel läßt er sich eine zufällige Auswahl von 1000 Flügen vorlegen. Danach wurde in 460 Fällen ohne Beanstandung abgefertigt. In 350 Fällen wurde das Gepäck jeweils eines Passagiers nicht befördert. Für 135 Flüge war dies bei zwei Fluggästen, für 40 Flüge bei drei und für 15 Flüge bei vier Berlin-Reisenden der Fall. In keinem Fall hatten mehr als vier Fluggäste Grund zur Beanstandung.
(Hinweis: Die Poisson-Verteilung wird auch “Verteilung der seltenen Ereignisse” genannt)

• Formulieren Sie die Hypothesen für diesen Test!

• Wie ist die Testfunktion unter $H_{0}$ verteilt? (Verteilungstyp und Verteilungsparameter)

• Bestimmen Sie den Verwerfungsbereich für diesen Test.

• Welche Schätzfunktion ergibt sich nach dem Maximum-Likelihood-Prinzip, falls zur Durchführung dieses Tests Parameter geschätzt werden müssen?

• Wie lautet die Testentscheidung?
  Hinweis: Runden Sie die Werte aus den Verteilungstabellen auf drei Stellen nach dem Komma!

• Nach Kenntnisnahme des Testergebnisses argumentiert der Deutschlanddirektor wie folgt:

  “Vorwürfe widerlegt! Mittels eines Tests konnte auf der Grundlage einer Stichprobe vom Umfang 1000 mit einer Irrtumswahrscheinlichkeit von 1% statistisch bewiesen werden, dass fehlerhaftes Gepäck-Handling einer Verteilung der seltenen Ereignisse unterliegt.”

  Nehmen Sie Stellung zu dieser Behauptung und begründen Sie Ihre Aussage!

Schwergewichtsboxer

  (Lösung)

Die beiden Schwergewichtsboxer Jim Knockout und Bill Uppercut werden aufgrund von Computer-Ranglisten als gleichstarke weltbeste Boxer eingeschätzt. Eine bekannte Firma für Hühneraugenpflaster will dem weltbesten Boxer einen Werbevertrag für 1 Mill. EUR pro Jahr anbieten. Der Chef dieser Firma glaubt, dass Jim Knockout, der schon viele k.o.–Siege errungen hat, der bessere Boxer ist.

Um diese These statistisch zu zeigen, organisiert der Firmenchef 11 Schaukämpfe zwischen den beiden Boxern, wobei es in jedem dieser Kämpfe stets einen Sieger geben soll, ein Unentschieden also nicht möglich ist. ($\alpha =0.05$)

• Stellen Sie die Hypothesen für diesen Test auf.
• Definieren Sie die Testfunktion für diesen Test.
• Wie ist diese Testfunktion bei Zutreffen der Nullhypothese verteilt?
• Bestimmen Sie den Annahme- und den Ablehnungsbereich für diesen Test.
• Wie entscheiden Sie sich bei diesem Test, wenn J. Knockout 3 Kämpfe verliert?
• Können Sie einen Fehler bei Ihrer Testentscheidung begangen haben? Wenn ja, welchen?
• Die Firma beabsichtigt, das Testergebnis in kurzer und verständlicher Form in einer Presseerklärung zu veröffentlichen. Formulieren Sie diese Presseerklärung.

Skirennen

  (Lösung)

In einem bekannten Wintersportort wird alljährlich ein großes Skirennen für Gäste veranstaltet, bei dem alle Gäste teilnehmen können. Diesmal soll der Slalom an einem erst kürzlich erschlossenen Hang stattfinden. Eine Gruppe von Skilehrern bekommt den Auftrag, einen Slalom abzustecken, der für alle Gäste befahrbar ist. Es ist beabsichtigt, dass im Mittel mehr als 90% der Gäste heil durchs Ziel kommen sollen. Die bisherigen Erfahrungen haben gezeigt, dass man den Schwierigkeitsgrad des Hanges noch überprüfen muss. Es soll ein Test auf einem Signifikanzniveau von 10% durchgeführt werden auf der Basis der Ergebnisse von 22 zufällig ausgewählten Gastskiläufern, die den abgesteckten Slalom zu durchfahren haben.

• Formulieren Sie die Hypothesen für diesen Test.
• Welche Verteilung besitzt die Testfunktion unter $H_{0}$?
• Bestimmen Sie den Ablehnungsbereich für diesen Test.
• Wie groß ist die exakte Wahrscheinlichkeit, sich bei diesem Test fälschlicherweise für $H_{A}$ zu entscheiden?
• Von den 22 Testläufern schied ein Läufer aus. Wie lautet die Testentscheidung?
• Rechtfertigen Sie diese Entscheidung.

Skirennen (Gütefunktion)

  (Lösung)

Für den Test in der Aufgabe Skirennen

• geben Sie den Wert der Gütefunktion $g(p)$ an für $p=0$, $p=0,1$ und $p=0,2$.
• Skizzieren Sie den Verlauf der Gütefunktion unter Verwendung der unter g) ermittelten Werte.

Sollwerte

  (Lösung)

Kein Produktionsprozess ist vollkommen. Deshalb muss man darauf bedacht sein, dass die vorgeschriebenen Sollwerte der Produkte möglichst gut eingehalten werden. Unter Verwendung einer geeigneten Prüfgröße testet man die Hypothese $H_{0}:\mu =\mu _{0}$, dass ein bestimmter Sollwert eingehalten ist, gegen die Alternativhypothese $H_{A}:\mu e\mu _{0}$. Behält man bei einem solchen Test $\mu =\mu _{0}$ bei, so lässt man den Produktionsvorgang weiterlaufen. Führt der Test zur Ablehnung, so stoppt man den Prozess.

Ein Füllmaschine füllt Konserven mit Erbsen. Der Hersteller vermutet, dass die Füllgewichte seiner Dosen normalverteilt sind. Der Sollwert sei $\mu _{0}$ = 300g. Ein Kontrolleur nimmt aus der laufenden Produktion eine Zufallsstichprobe von $n=100$ und errechnet aus den Stichprobenwerten ein Durchschnittsgewicht von 304g bei einer Standardabweichung von 20g.

• Muss aufgrund des Ergebnisses der Stichprobe der Produktionsprozess gestoppt werden? ($\alpha =0,05$) Ein Abnehmer hat die Vermutung, dass die Dosen aus dieser Produktion zu leicht sind und möchte diesen Sachverhalt statistisch prüfen.
• Welche Hypothesenformulierung wählt er?

Spezialgefrierschränke

  (Lösung)

Ein Unternehmen stellt Spezialgefrierschränke her, die zur Konservierung bestimmter Güter verwendet werden. Die Soll-Kühltemperatur beträgt für derartige Gefrierschränke -25$^{o}$C.

Da man weiß, dass die tiefgefrorenen Güter bei höheren Temperaturen leicht verderben, und da der potentielle Kundenstamm nicht sehr groß ist, würde ein mangelhaftes Produkt, das also nicht tief genug kühlt, das Schlimmste, nämlich den Ruin der Firma, bedeuten. Aus Gründen der Vorsicht soll nun die Kühlleistung der Gefrierschränke an 100 zufällig aus der Produktion ausgewählten Gefrierschränken auf einem Signifikanzniveau von 2,275% getestet werden, um zu entscheiden, ob die Produktion weiterlaufen kann oder eine Konstruktionsänderung an den Geräten vorgenommen werden muss.
Aus Erfahrung weiß man, dass die erreichte Kühltemperatur eines solchen Gefrierschrankes normalverteilt ist mit einer Standardabweichung von 2$^{o}$C.

• Wie lauten die Hypothesen für diesen Test? Begründen Sie Ihre Wahl in Form einer Risikobetrachtung!
• Geben Sie die zugrundeliegende Stichprobenfunktion formal und verbal sowie ihre Verteilung unter $H_{0}$ an!
• Wie lautet die Testfunktion und wie ist diese unter $H_{0}$ verteilt?
• Bestimmen Sie den Verwerfungsbereich für diesen Test!
• Die Zufallsstichprobe ergab eine mittlere Kühltemperatur pro Gerät von -26$^{o}$C bei einer Standardabweichung von 1,5$^{o}$C.
  • Wie lautet die Testentscheidung?
  • Interpretieren Sie das Testergebnis inhaltlich und statistisch exakt!
• Die Zufallsstichprobe ergab eine mittlere Kühltemperatur pro Gerät von -25,3$^{o}$C.
  • Wie lautet die Testentscheidung?
  • Interpretieren Sie das Testergebnis inhaltlich und statistisch exakt!
  • Welcher Fehler kann bei dieser Entscheidung unterlaufen sein?
  • Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass dieser Fehler hier unterlaufen ist?
  • Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, bei diesem Testverfahren diesen Fehler zu machen, wenn $\mu$ tatsächlich -29$^{o}$C beträgt?
• Warum reicht es beim einseitigen Test aus, dass man unter der Nullhypothese nur den Fall $\mu =\mu _{0}$ betrachtet?

Spezialgefrierschränke (Gütefunktion)

  (Lösung)

Für den in Test in der Aufgabe Spezialgefrierschränke

• bestimmen Sie die Werte der Gütefunktion, falls die mittlere Kühltemperatur in Wahrheit
  

(i) - 24,8$^{o}$C,(ii) - 25,8$^{o}$C, (iii) - 29,0$^{o}$C beträgt!

• Skizzieren Sie die Gütefunktion.

Testfunktion

  (Lösung)

Für die Daten einer Stichprobe aus einer Grundgesamtheit mit beliebiger Verteilung wird der Test der Nullhypothese
$H_{0}:\mu \leq 0$ zum Signifikanzniveau $\alpha =0,05$ computergestützt durchgeführt. Der Computerausdruck enthält folgende Angaben:
Stichprobenumfang: $n=200$
realisierter Wert der Testfunktion V: $v=2,06$
$\gamma =P(V>2,06)=0,0197$,
wobei V eine standardnormalverteilte Testfunktion ist.
Wann wird die Nullhypothese zum vorgegebenen Signifikanzniveau $\alpha$ abgelehnt?

Torerfolge

  (Lösung)

In einer Fußball–Liga wurden für eine Saison die Torerfolge pro Spiel in folgender Häufigkeitstabelle zusammengefasst:

Torerfolge	Häufigkeit
pro Spiel
0	18
1	24
2	56
3	63
4	61
5	39
6	26
7	6
8	5
9	2
$>$9	0

Es soll mit einem statistischen Testverfahren überprüft werden, ob die Torerfolge pro Spiel einer Poissonverteilung mit $\lambda$ = 3,4 folgen ($\alpha =0,1$).

• Wie lauten die Hypothesen für den Chi-Quadrat-Anpassungstest?
• Wie lautet die Testfunktion und wie ist diese unter $H_{0}$ verteilt?
  

Begründung!

• Bestimmen Sie den Verwerfungsbereich für diesen Test! Runden Sie die $np_{i}$ - Werte auf ganz Zahlen!
• Wie lautet die Testentscheidung? Interpretieren Sie das Testergebnis kurz, aber statistisch exakt!

Werbeaktion

  (Lösung)

Ein bekannter Technik-Markt führt seit einiger Zeit eine Werbeaktion mit großen Zeitungsanzeigen durch. Der Geschäftsleiter möchte diese Werbeaktion jedoch nur fortführen, wenn sich der Umsatz um mindestens 10% erhöht hat.
Vor der Werbeaktion betrug der Umsatz üblicherweise 150 EUR pro Kunde. Der Geschäftsleiter ermittelt nun die Umsätze $u_{i}$ von 900 Kunden in einer Woche und erhält eine Gesamtsumme von $u=\sum u_{i}=148000$ EUR.
Die geschätzte Varianz der Umsätze $s^{2}=\sum (u_{i}-u/900)^{2}/899$ beläuft sich auf 900 EUR.
Der Geschäftsleiter will daraufhin die Werbeaktion stoppen, sein Assistent weist ihn jedoch daraufhin, dass statistisch gesehen die Hypothese “erwarteter Umsatz pro Kunde” $\geq$165 EUR nicht unbedingt abgelehnt werden kann.
Wie klein darf der tatsächliche wöchentliche Umsatz sein, um diese Hypothese zu einem Signifikanzniveau von 5% gerade nicht mehr abzulehnen?

Wetterlage und Geschäftslage

  (Lösung)

Ein Taxiunternehmen will überprüfen, ob sich eine Abhängigkeit zwischen der Wetterlage und der Geschäftslage nachweisen lässt. Dazu werden einige Tage des vergangenen Jahres zufällig ausgewählt. Folgende Angaben stehen zur Verfügung:

• Von insgesamt 20 Regentagen gab es ebensoviele mit guter wie mit schlechter Geschäftslage.
• 5 Sonnentage brachten ein normales Geschäft.
• 15 Tage brachten ein schlechtes Geschäft.
• Ein gutes Geschäft konnte an 15 Sonnentagen beobachtet werden.
• Das Geschäft lief an 15 Tagen normal.

• Stellen Sie das Ergebnis in einer Kontingenztabelle dar!
• Formulieren Sie verbal die Hypothesen!
• Ist eine Anwendung der $\chi ^{2}$-Verteilung hier gerechtfertigt?
• Fällen Sie die Entscheidung bei (i) $\alpha$ = 1% bzw. (ii) $\alpha$ = 5%.
• Welcher Fehler kann Ihnen im Fall (i) bzw.(ii) jeweils unterlaufen sein?

Wocheneinkommen

  (Lösung)

Ein Lebensmittelunternehmen will in einem neuen Stadtteil eine Filiale errichten. Aus langjähriger Erfahrung ist bekannt, dass eine Filiale nur dann gewinnbringend arbeitet, wenn das durchschnittliche Wocheneinkommen der Bewohner mehr als 400 EUR beträgt. Weiterhin sei die Standardabweichung des Wocheneinkommens mit $\sigma =20$ EUR bekannt. Es wird eine einfache Zufallsstichprobe vom Umfang $n=100$ gezogen. Die Wahrscheinlichkeit für einen Fehler 1. Art wird mit
$\alpha =0,050503$ vorgegeben.
Angenommen, in Wirklichkeit betrage das durchschnittliche Wocheneinkommen in diesem Stadtteil 406 EUR. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, einen Fehler 2. Art zu begehen.

Zigarettenpreis

  (Lösung)

Der Zigarettenkonzern TAB will den Zigarettenpreis erhöhen, obwohl dieser vor einem Jahr schon einmal angehoben wurde. Prokurist L. liegt das Wohl des Konzerns am Herzen und weil er meint, dass der Zigarettenkonsum pro Tag bei neuerlichen Preiserhöhungen abnehmen werde, will er einen Test durchführen. Er weiß, dass der tägliche Zigarettenkonsum pro Raucher vor der letzten Preiserhöhung einem erwarteten Wert von 16 Stück entsprach.

Mit Hilfe einer zufälligen Befragung unter $n=100$ Rauchern will er statistisch zeigen, dass sich der durchschnittliche Konsum verringert hat ($\alpha =0,01$).

• Formulieren Sie die Null- und die Alternativhypothese.
• Geben Sie die zugrundeliegende Stichprobenfunktion verbal an.
• Geben Sie Verteilungstyp und Verteilungsparameter dieser Stichprobenfunktion unter der Annahme an, dass $H_{0}$ richtig ist.
• Wie lautet die Testfunktion und wie ist diese verteilt?
• Angenommen, die 100 Versuchspersonen rauchen durchschnittlich 15 Zigaretten pro Tag bei einer Standardabweichung von 5 Stück.
  

Wie entscheidet sich der Prokurist?

• Welchen Fehler kann der Prokurist bei seiner Entscheidung gemacht haben?
• Formulieren Sie in einer Pressemitteilung kurz, aber statistisch exakt das Testergebnis.

Zugkraft eines Drahtseiles

  (Lösung)

Die durchschnittliche Zugkraft eines Drahtseiles soll nach Angaben des Herstellers $\mu =15$ Tonnen mit einer Standardabweichung von $\sigma =0,4964$ Tonnen betragen. Um die Behauptung eines Kunden zu widerlegen, dass die Zugkraft geringer sei, werden 49 Drahtseile geprüft und die Hypothese $H_{0}:\mu \geq \mu _{0}$ auf einem Signifikanzniveau von $\alpha =0,07927$ getestet.
Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit für einen Fehler 2. Art, wenn in Wirklichkeit $\mu =14,8$ Tonnen beträgt.