Quelltext der Seite Test auf Anteilswert/Beispiel: Kreditwürdigkeit

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===Kreditwürdigkeit===

Zu den wichtigsten Aufgaben einer Bank gehört die Bewertung der Kreditwürdigkeit potentieller Kreditnehmer, um Kreditverluste niedrig zu halten.

Die ABC-Bank will eine Verschärfung der Bewertungsrichtlinien der Kreditwürdigkeit vornehmen, wenn der Anteil von gewährten Krediten mit Schwierigkeiten bei der Rückzahlung nicht unter 20% liegt. 

Sie lässt deshalb von ihrer Statistik-Abteilung einen [[Statistischer Test|Test]] durchführen. Dabei will die Bank das Risiko, keine Veränderung in den Bewertungsrichtlinien vorzunehmen, obwohl der Anteil 20% und mehr beträgt, gering halten.

Die [[Zufallsvariable]] <math>X\;</math>: "Schwierigkeiten bei der Kreditrückzahlung" weist nur die Werte 0 (nein) oder 1 (ja) auf. Der Anteil <math>\pi</math> der Kreditnehmer mit Schwierigkeiten bei der Rückzahlung ist unbekannt. 

Die Überprüfung läuft auf einen [[Statistischer Test|Test]] des [[Anteilswert der Grundgesamtheit|Anteilswertes]] einer [[dichotomes Merkmal|dichotomen]] [[Grundgesamtheit]] hinaus, wobei der hypothetische Wert <math>\pi_{0} = 0,2</math> ist.

Es sind nur Abweichungen vom hypothetischen Wert nach einer Seite von Bedeutung, so dass ein [[einseitiger Test]] durchgeführt wird. 

Da die ABC-Bank nachweisen will, dass ihre derzeitigen Bewertungskriterien ausreichend sind, d.h. der Anteil der Kreditnehmer mit Rückzahlungsschwierigkeiten kleiner als 20% ist, wird diese Annahme als [[Alternativhypothese]] formuliert, woraus ein [[linksseitiger Test]] resultiert:

<math>H_{0}:\;\pi \geq \pi_{0}=0,2\quad H_{1}:\;\pi<\pi_{0}=0,2</math>

Über eine Fehlerbetrachtung ist zu prüfen, ob bei dieser Hypothesenformulierung die Vorgabe der Bank eingehalten wird. 

Der bei der [[Ablehnungsbereich der Nullhypothese|Ablehnung der <math>H_{0}</math>]] mögliche [[Fehler 1. Art]] hat folgenden Inhalt:

<math>\mbox{''}H_{1}\mbox{''}|H_{0}=</math> "Anteil mit Rückzahlungsschwierigkeiten <math> <20%</math>; Veränderungen in den Bewertungsrichtlinien werden nicht vorgenommen" | in Wirklichkeit ist der Anteil mit Rückzahlungsschwierigkeiten <math>\geq 20%</math>; Veränderungen in den Bewertungsrichtlinien müssten erfolgen.

Wird im Ergebnis des [[Statistischer Test|Tests]] die [[Nullhypothese]] nicht abgelehnt, ist der Inhalt des möglichen [[Fehler 2. Art|Fehlers 2. Art]]:

<math>\mbox{''}H_{0}\mbox{''}|H_{1} =</math> "Anteil mit Rückzahlungsschwierigkeiten <math>\geq 20%</math>; Veränderungen in den Bewertungsrichtlinien sind vorzunehmen"| in Wirklichkeit ist der Anteil mit Rückzahlungsschwierigkeiten <math>\leq 20%</math>; Veränderungen in den Bewertungsrichtlinien sind nicht notwendig.

Der [[Fehler 1. Art]] entspricht der Risikovorgabe der ABC-Bank. Die [[Wahrscheinlichkeit]] für den [[Fehler 1. Art]] <math>P(\mbox{''}H_{1}\mbox{''}|H_{0})</math> kann über die Festlegung des [[Signifikanzniveau]]s gesteuert werden. Die Bank will dieses Risiko klein halten und gibt deshalb <math>\alpha = 0,05</math> vor.

Der [[Fehler 2. Art]] hat für die Bank keine schwerwiegenden Folgen, denn eine Verschärfung der Bewertungsrichtlinien, obwohl es aufgrund des gesetzten Kriteriums nicht notwendig gewesen wäre, ist nicht nachteilig.

Von dieser Hypothesenformulierung und dem vorgegebenen [[Signifikanzniveau]] <math>\alpha = 0,05</math> wird bei den beiden
folgenden [[Statistischer Test|Test]]varianten ausgegangen.

Für die Durchführung des [[Statistischer Test|Tests]] soll eine [[einfache Zufallsstichprobe]] vom [[Stichprobenumfang|Umfang]] <math>n</math> aus den mehr als 10000 Kreditnehmern gezogen werden. 

Bei der gegebenen Problemstellung ist es nicht sinnvoll, das [[Zufallsauswahlmodell mit Zurücklegen]] anzuwenden. Bei Einhaltung eines [[Auswahlsatz]]es von <math>\frac{n}{N} \leq 0,05</math> kann jedoch eine [[Zufallsauswahlmodell ohne Zurücklegen|Zufallsauswahl ohne Zurücklegen]] näherungsweise als eine [[einfache Zufallsstichprobe]] angesehen werden.

====Stichprobenumfang n=30====

Um die Kosten für die Überprüfung niedrig zu halten, wird der [[Stichprobenumfang]] auf <math>n = 30</math> festgelegt. Die
Forderung <math>\frac{n}{N}\leq 0,05</math> wird eingehalten.

=====Teststatistik und Entscheidungsbereiche=====

Die [[Schätzfunktion]] <math>X=\;</math> "Anzahl der Kreditnehmer mit Rückzahlungsschwierigkeiten in einer [[Zufallsstichprobe]] von [[Stichprobenumfang|Umfang]] <math>n = 30</math>" kann unmittelbar als [[Teststatistik]] <math>V\;</math> verwendet werden.

<math>V = X\;</math> ist unter <math>H_{0}\sim B(30; 0,2)</math>-[[Verteilung (stochastisch)|verteilt]]. 

Eine kleine Anzahl von Kreditnehmern mit Rückzahlungsschwierigkeiten in der [[Stichprobe]] spricht dabei gegen die [[Nullhypothese]]. 

Der [[Kritischer Wert|kritische Wert]] <math>x_{c}</math> ist diejenige [[Realisation]] von <math>X\;</math>, für die <math>F_{B}(x)</math> den Wert <math>\alpha = 0,05</math> gerade überschreitet, so dass gilt: 

<math>F_{B}(x_{c} - 1) \leq 0,05</math> und <math>F_{B}(x_{c}) > 0,05</math>. 

In der Tabelle der [[Verteilungsfunktion (stochastisch, eindimensional)|Verteilungsfunktion]] der <math>B(30; 0,2)</math> findet man <math>x_{c} = 3</math>. 

Damit folgt:

[[Ablehnungsbereich der Nullhypothese|Ablehnungsbereich der <math>H_{0}</math>]]: <math>\left\{v|v<3\right\}=\left\{0,1,2\right\}</math>, mit <math>P\left(V<3|0,2\right) =0,0442</math>.

[[Nichtablehnungsbereich der Nullhypothese|Nichtablehnungsbereich der <math>H_{0}</math>]]: <math>\left\{v|v\geq 3\right\}=\left\{3,4,\ldots,30\right\}</math>, mit <math>P\left(V\geq 3|0,02\right) =0,9558</math>. 

Da <math>V = X\;</math> eine [[diskrete Zufallsvariable]] ist, wird das vorgegebene [[Signifikanzniveau]] von <math>\alpha = 0,05</math> nicht voll ausgeschöpft. Es ist nur <math>\alpha_{exakt}=0,0442</math>.

=====Prüfwert und Testentscheidung=====

Aus den Kreditnehmern werden 30 zufällig ausgewählt und festgestellt, ob es Schwierigkeiten bei der Rückzahlung gab oder nicht. 

Es habe sich <math>x = 5</math> als Anzahl der Kreditnehmer mit Rückzahlungsschwierigkeiten in der [[Zufallsstichprobe]] ergeben,
was gleichzeitig der [[Prüfwert]] <math>v</math> ist.

Da <math>v = x = 5</math> in den [[Nichtablehnungsbereich der Nullhypothese|Nichtablehnungsbereich der <math>H_{0}</math>]]
fällt, wird die [[Nullhypothese]] nicht abgelehnt. 

Der in der [[Stichprobe]] beobachtete Anteil <math>\frac{5}{30} = 0,167</math> ist zwar kleiner als der hypothetische Wert <math>\pi_{0}= 0,20</math>, die Differenz zwischen beiden wird jedoch auf einem [[Signifikanzniveau]] von <math>\alpha = 0,05</math> noch nicht als wesentlich angesehen. 

Man beachte, dass bei [[Statistischer Test|Tests]] auf einem vorgegebenen [[Signifikanzniveau]] <math>\alpha</math> stets [[Entscheidungsbereiche]] ([[Nichtablehnungsbereich der Nullhypothese|Nichtablehnungsbereich]] bzw. [[Ablehnungsbereich der Nullhypothese|Ablehnungsbereich der <math>H_{0}</math>]]) der [[Statistischer Test|Test]]entscheidung zugrunde liegen und nicht nur die [[Punktschätzung]]. 

Basierend auf einer [[Zufallsstichprobe]] vom [[Stichprobenumfang|Umfang]] <math>n = 30</math> konnte [[Statistik|statistisch]] nicht bewiesen werden, dass der Anteil der Kreditnehmer mit Rückzahlungsschwierigkeiten kleiner als 20% ist. Die ABC-Bank wird ihre
Bewertungskriterien überarbeiten.

=====Gütefunktion=====

Mit der Beibehaltung der [[Nullhypothese]] kann ein [[Fehler 2. Art]] <math>(\mbox{''}H_{0}\mbox{''}|H_{1})</math> unterlaufen, wenn in Wirklichkeit die [[Alternativhypothese]] richtig ist.

Wie groß wäre die [[Wahrscheinlichkeit]], dass bei diesem [[Linksseitiger Test|linksseitigen Test]] (mit <math>\pi_{0}=0,2,\; n = 30,\; \alpha = 0,05</math> und <math>x_{c} = 3</math>) die [[Nullhypothese]] nicht verworfen würde, wenn der wahre Anteil der
Kreditnehmer mit Rückzahlungsschwierigkeiten <math>\pi = 0,15</math> beträgt? 

Für <math>\pi = 0,15</math> gilt in Wirklichkeit die [[Alternativhypothese]], so dass die [[Wahrscheinlichkeit]] für einen [[Fehler 2. Art]] gesucht wird:

<math>\beta \left( \pi =0,15\right) =P\left(\mbox{''}H_{0}\mbox{''}|H_{1}\right) =P\left(V=X\in\mbox{ Nichtablehnungsbereich der }H_{0}|\pi =0,15\right)=P\left(V\geq 3|\pi=0,15\right)</math>

Es ist

<math>P\left( V\geq 3|\pi=0,15\right)=1-P\left(V<3|\pi=0,15\right)=1-P\left(V\leq 2|\pi=0,15\right)=1-0,1514=0,8486</math>

wobei man <math>P\left(V\leq 2|\pi=0,15\right)</math> in der Tabelle der [[Verteilungsfunktion (stochastisch, eindimensional)|Verteilungsfunktion]] der <math>B\left(30;\; 0,15\right)</math> findet. 

Im Fall eines wahren Anteils von <math>\pi =0,15</math> wird in <math>84,86%</math> aller [[Stichprobe]]n vom [[Stichprobenumfang|Umfang]] <math>n = 30</math> die Abweichung vom hypothetischen Wert <math>\pi_{0}=0,20</math>, durch den [[Statistischer Test|Test]] nicht aufgedeckt. 

Die Beibehaltung der [[Nullhypothese]] <math>(\mbox{''}H_{0}\mbox{''})</math> im Ergebnis des [[Statistischer Test|Tests]] auf der Basis der konkreten [[Stichprobe]] veranlasst die Bank zur Verschärfung der Bewertungsrichtlinien; da jedoch mit <math>\pi = 0,15</math> in Wirklichkeit die [[Alternativhypothese]] wahr ist, wäre die Veränderung der Bewertungsrichtlinien nicht
notwendig. 

<math>\beta(\pi = 0,15) = 0,8496</math> ist somit die [[Wahrscheinlichkeit]] für eine nicht notwendige Veränderung der
Richtlinien. 

Obwohl sie recht hoch ist, stellt sie aber für die Bank bei der [[Statistischer Test|Test]]durchführung nicht das entscheidende Problem dar (im Vergleich zur [[Wahrscheinlichkeit]] eines [[Fehler 1. Art|Fehlers 1. Art]]).

Mit der Beibehaltung der [[Nullhypothese]] kann aber auch eine richtige Entscheidung getroffen werden, wenn in Wirklichkeit die
[[Nullhypothese]] richtig ist <math>(\mbox{''}H_{0}\mbox{''}|H_{0})</math>.

Wie groß wäre die [[Wahrscheinlichkeit]], dass bei diesem [[Linksseitiger Test|linksseitigen Test]] (mit <math>\pi_{0}=0,2,\; n = 30,\;\alpha = 0,05</math> und <math>x_{c} = 3</math>) die [[Nullhypothese]] nicht verworfen würde, wenn der wahre Anteil der
Kreditnehmer mit Rückzahlungsschwierigkeiten <math>\pi = 0,25</math> beträgt? 

Für <math>\pi = 0,25</math> gilt in Wirklichkeit die [[Nullhypothese]], so dass folgende [[Wahrscheinlichkeit]] gesucht wird:

<math>P\left( V=X \in \mbox{Nichtablehnungsbereich der }H_{0}|\pi=0,25\right) =P\left( V\geq 3|\pi =0,25\right) =P\left(\mbox{''}H_{0}\mbox{''}|H_{0}\right)=1-\alpha^{*}</math>

Es ist

<math>P\left(V\geq 3|\pi=0,25\right)=1-P\left(V\leq 2|\pi=0,25\right)=1-P\left(V\leq 2|\pi=0,25\right)=1-0,0106=0,9894</math>

mit <math>P\left( V\leq 2|\pi=0,25\right)</math> aus der Tabelle der [[Verteilungsfunktion (stochastisch, eindimensional)|Verteilungsfunktion]] der <math>B\left(30;\; 0,25\right)</math>

Beide [[Wahrscheinlichkeit]]sberechnungen können für verschiedene zulässige Werte von <math>\pi</math> durchgeführt werden.

Eine geeignete Berechnungs- und Darstellungsweise ist die [[Gütefunktion]] <math>G(\pi)</math> bzw. <math>1 - G(\pi)</math>.

{| border="1" cellpadding="3" style="text-align:center;margin:1em 1em 1em 0; background:#f9f9f9; border:1px #AAA solid; border-collapse:collapse; empty-cells:show;"
|align="center"|<math>\pi</math>
|align="center"|Gültigkeit von
|align="center"|<math>G\left(\pi\right)</math>
|align="center"|<math>1-G\left(\pi\right)</math>
|-
|align="center"|0
|align="center"|<math>H_{1}</math>
|align="center"|<math>1=1-\beta</math>
|align="center"|<math>0=\beta</math>
|-
|align="center"|0,05
|align="center"|<math>H_{1}</math>
|align="center"|<math>0,8122=1-\beta</math>
|align="center"|<math>0,1878=\beta</math>
|-
|align="center"|0,10
|align="center"|<math>H_{1}</math>
|align="center"|<math>0,4114=1-\beta</math>
|align="center"|<math>0,5886=\beta</math>
|-
|align="center"|0,15
|align="center"|<math>H_{1}</math>
|align="center"|<math>0,1514=1-\beta</math>
|align="center"|<math>0,8486=\beta</math>
|-
|align="center"|0,20
|align="center"|<math>H_{0}</math>
|align="center"|<math>0,0442=\alpha_{a}</math>
|align="center"|<math>0,9558=1-\alpha_{a}</math>
|-
|align="center"|0,25
|align="center"|<math>H_{0}</math>
|align="center"|<math>0,0106=\alpha</math>
|align="center"|<math>0,9894=1-\alpha</math>
|-
|align="center"|0,30
|align="center"|<math>H_{0}</math>
|align="center"|<math>0,0021=\alpha</math>
|align="center"|<math>0,9979=1-\alpha</math>
|-
|align="center"|0,35
|align="center"|<math>H_{0}</math>
|align="center"|<math>0,0003=\alpha</math>
|align="center"|<math>0,9997=1-\alpha</math>
|-
|align="center"|0,40
|align="center"|<math>H_{0}</math>
|align="center"|<math>0=\alpha</math>
|align="center"|<math>1=1-\alpha</math>
|}

Die nachstehende Abbildung zeigt die [[Gütefunktion]] für den [[Linksseitiger Test|linksseitigen Test]] mit <math>\pi_{0}=0,20,\; n = 30,\; \alpha = 0,05</math> und <math>x_{c} = 3</math>.

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====Stichprobenumfang n=350====

Die [[Statistik]]-Abteilung will nicht nur die [[Wahrscheinlichkeit]] des für die Bank schwerwiegenden [[Fehler 1. Art|Fehlers 1. Art]] durch die Vorgabe von <math>\alpha = 0,05</math> niedrig halten, sondern auch erreichen, dass das Risiko für einen [[Fehler 2. Art]] nicht zu hoch ausfällt. 

Da bekannt ist, dass bei festgelegtem [[Signifikanzniveau]] <math>\alpha</math> die [[Wahrscheinlichkeit]] <math>\beta</math> für einen [[Fehler 2. Art]] über die Erhöhung des [[Stichprobenumfang]]s verringert werden kann, entscheidet sich die [[Statistik]]-Abteilung gleich für einen großen [[Stichprobenumfang]]: <math>n = 350</math>. Die Forderung <math>\frac{n}{N}\leq 0,05</math> wird eingehalten.

=====Teststatistik und Entscheidungsbereiche=====

Es wird die [[Teststatistik]]

<math>V=\frac{\widehat{\pi }-\pi_{0}}{\sigma_{0}\left( \widehat{\pi }\right) }=
\frac{\widehat{\pi }-\pi_{0}}{\sqrt{\cfrac{\pi_{0}\left( 1-\pi_{0}\right) }{n}}}</math>

verwendet, die bei Gültigkeit der [[Nullhypothese]] [[Approximation|approximativ]] [[Standardnormalverteilung|standardnormalverteilt]] ist, da aufgrund des sehr großen [[Stichprobenumfang]]es die [[Approximation]]sbedingungen erfüllt sind.

Für <math>P(V \leq c) = 1 - \alpha = 0,95</math> findet man aus der Tabelle der [[Verteilungsfunktion (stochastisch, eindimensional)|Verteilungsfunktion]] der <math>N(0; 1):\; c = z_{0,95} = 1,645</math>, so dass wegen der Symmetrie der [[Normalverteilung]] der [[Kritischer Wert|kritische Wert]] <math>-c = - 1,645</math> ist. 

Der [[Approximation|approximative]] [[Ablehnungsbereich der Nullhypothese|Ablehnungsbereich der <math>H_{0}</math>]] ist gegeben durch <math>\left\{v|v<-1,645\right\}</math>

Für den [[Approximation|approximativen]] [[Nichtablehnungsbereich der Nullhypothese|Nichtablehnungsbereich der <math>H_{0}</math>]] erhält man <math>\left\{ v|v\geq -1,645\right\}</math>

=====Prüfwert und Testentscheidung=====

Aus den Kreditnehmern werden 350 zufällig ausgewählt und festgestellt, ob es Schwierigkeiten bei der Rückzahlung gab oder nicht. 

Es habe sich <math>x = 63</math> als Anzahl der Kreditnehmer mit Rückzahlungsschwierigkeiten in der [[Zufallsstichprobe]]
ergeben, womit der Anteil in der [[Stichprobe]] 0,18 beträgt. 

Einsetzen in die [[Teststatistik]] führt zu dem [[Prüfwert]]:

<math>v=\frac{0,18-0,2}{\sqrt{\cfrac{0,2\cdot 0,8}{350}}}=-0,935</math>

Da <math>v = - 0,935</math> in den [[Nichtablehnungsbereich der Nullhypothese|Nichtablehnungsbereich der <math>H_{0}</math>]] fällt, wird die [[Nullhypothese]] nicht abgelehnt. 

Basierend auf einer [[Zufallsstichprobe]] vom [[Stichprobenumfang|Umfang]] <math>n = 350</math> konnte [[Statistik|statistisch]] nicht bewiesen werden, dass der Anteil der Kreditnehmer mit Rückzahlungsschwierigkeiten kleiner als 20% ist. 

Die ABC-Bank wird ihre Bewertungskriterien überarbeiten.

=====Wahrscheinlichkeit eines Fehlers 2. Art=====

Auch bei dieser [[Statistischer Test|Test]]variante kann mit der Beibehaltung der [[Nullhypothese]] ein [[Fehler 2. Art]] <math>(\mbox{''}H_{0}\mbox{''}|H_{1})</math> unterlaufen, wenn in Wirklichkeit die [[Alternativhypothese]] richtig ist. 

Analog soll die Frage gestellt werden: 

Wie groß wäre die [[Wahrscheinlichkeit]], dass bei diesem [[Linksseitiger Test|linksseitigen Test]] (mit <math>\pi_{0} = 0,2,\; n = 350,\; \alpha = 0,05</math>) die [[Nullhypothese]] nicht verworfen würde, wenn der wahre Anteil der Kreditnehmer mit Rückzahlungsschwierigkeiten <math>\pi = 0,15</math> beträgt? 

Für <math>\pi = 0,15</math> gilt in Wirklichkeit die [[Alternativhypothese]], so dass die [[Wahrscheinlichkeit]] für einen [[Fehler 2. Art]] gesucht wird: <math>\beta(\pi = 0,15)=P(\mbox{''}H_{0}\mbox{''}|H_{1})</math>.

Zunächst wird der kritische [[Anteilswert der Grundgesamtheit|Anteilswert]] <math>p_{c}</math> bei Gültigkeit der <math>H_{0}</math> ermittelt, der sich aus der Beziehung <math>-c = \frac{p_{c} - \pi_{0}}{\sigma(\widehat{\pi})}</math> zu <math>p_{c} = \pi_{0} - c \cdot \sigma(\widehat{\pi }) = 0,2 - 1,645\left(0,2\cdot \frac{0,8}{350}\right) = 0,1648</math> ergibt. 

<math>\beta(\pi)</math> ist somit die [[Wahrscheinlichkeit]], dass die [[Schätzfunktion]] <math>\widehat{\pi }</math> einen Wert im [[Nichtablehnungsbereich der Nullhypothese|Nichtablehnungsbereich der <math>H_{0}</math>]] annimmt, obwohl <math>H_{1}</math> gilt:

<math>\beta \left( \pi =0,15\right) =P\left(\widehat{\pi}\geq p_{c}|\pi =0,15\right)=P\left(\widehat{\pi }\geq 0,1648|\pi =0,15\right)</math>

Um diese [[Wahrscheinlichkeit]] aus der Tabelle der [[Standardnormalverteilung]] entnehmen zu können, muss ebenfalls eine
[[Standardisierung]] vorgenommen werden, da jedoch <math>H_{1}</math> gilt mit <math>E\left[\widehat{\pi }\right] =\pi =0,15</math> und <math>Var\left(\widehat{\pi }\right) =\frac{\pi\left( 1-\pi \right)}{n}=\frac{0,15\cdot 0,85}{350}</math>:

{|
|<math>\beta \left( \pi =0,15\right)</math>
|<math>=P\left( \widehat{\pi }\geq p_{c}|\pi =0,15\right) =P\left( \frac{\widehat{\pi }-\pi_{0}}{\sqrt{\frac{\pi \left( 1-\pi \right) }{n}}}\geq \frac{p_{c}-\pi_{0}}{\sqrt{\frac{\pi\left( 1-\pi \right) }{n}}}|\pi =0,15\right)</math>
|-
|
|<math> =P\left( V\geq \frac{0,1648-0,15}{\sqrt{\frac{0,15\cdot 0,85}{350}}}|\pi =0,15\right)=P\left( V\geq 0,775|\pi =0,15\right)</math>
|}

Aus der Tabelle der [[Verteilungsfunktion (stochastisch, eindimensional)|Verteilungsfunktion]] der [[Standardnormalverteilung]] findet man <math>P\left( V\leq 0,775\right)=0,7808</math> und somit

<math>\beta\left( \pi=0,15\right)=1-P\left( V\leq 0,775 \right)=1-0,7808=0,2192</math>

Diese [[Wahrscheinlichkeit]] eines [[Fehler 2. Art|Fehlers 2. Art]] <math>\beta\left( \pi=0,15\right)</math> liegt deutlich unter vorheriger Variante mit [[Stichprobenumfang]] n=30. Dies resultiert aus der Erhöhung des [[Stichprobenumfang]]es.

<!--==Interaktives Beispiel==

Vorausgesetzt wird eine dichotome Grundgesamtheit von <math>N = 3250</math> Studenten einer
Wirtschaftswissenschaftlichen Fakultät, in der ein unbekannter Anteil <math>\pi</math> von Studenten Begeisterung für Statistik aufweist und ein Anteil <math>1 - \pi</math> diese Eigenschaft nicht besitzt. Die zugrundeliegende [[STAT-Glossar#Zufallsvariable|Zufallsvariable]] ist <math>X =\;</math> "Statistikbegeisterung der Studenten", die nur die Werte
<math>X = 1</math> für "ja" und <math>X = 0</math> für "nein" annehmen kann.

Es wird angenommen, dass die Hälfte der Studenten sich für Statistik begeistert, d.h., der
hypothetische Wert ist <math>\pi_{0}=0,5</math>

Auf einem [[STAT-Glossar#Signifikanzniveau|Signifikanzniveau]] von <math>\alpha</math> und basierend auf einer einfachen Zufallsstichprobe vom Umfang <math>n</math> soll getestet werden, ob der wahre Anteilswert <math>\pi</math> der [[STAT-Glossar#Zufallsvariable|Zufallsvariablen]] <math>X\;</math> in der
Grundgesamtheit dem hypothetischen Wert <math>\pi_{0} = 0,5</math> entspricht, d.h.

<math>H_{0}:\;\pi =\pi_{0}=0,5\quad H_{1}:\;\pi \neq \pi_{0}=0,5</math>

Mit diesem Beispiel haben Sie die Möglichkeit, den Test wiederholt durchzuführen, wobei
'''für jede Testdurchführung erneut eine Zufallsstichprobe aus der Grundgesamtheit gezogen
wird.''' Dabei können Sie

* das [[STAT-Glossar#Signifikanzniveau|Signifikanzniveau]] <math>\alpha</math> und den [[STAT-Glossar#Stichprobenumfang|Stichprobenumfang]] <math>n</math> konstant halten;
* das [[STAT-Glossar#Signifikanzniveau|Signifikanzniveau]] <math>\alpha</math> verändern und den [[STAT-Glossar#Stichprobenumfang|Stichprobenumfang]] <math>n</math> konstant halten;
* das [[STAT-Glossar#Signifikanzniveau|Signifikanzniveau]] <math>\alpha</math> konstant halten und den [[STAT-Glossar#Stichprobenumfang|Stichprobenumfang]] <math>n</math> verändern;
* das [[STAT-Glossar#Signifikanzniveau|Signifikanzniveau]] <math>\alpha</math> und den [[STAT-Glossar#Stichprobenumfang|Stichprobenumfang]] <math>n</math> verändern.
-->