Quelltext der Seite Konfidenzintervall für die Differenz zweier Erwartungswerte

{{Schaetztheorie}}
{{SubpageToc|Beispiel: Benzinverbrauch}}

=={{Vorlage:Überschrift}}==

===Konfidenzintervall für die Differenz zweier Erwartungswerte===

Von den vielen Möglichkeiten, ''Konfidenzintervalle für die Differenz <math>\mu_{1}-\mu_{2}</math> zweier Erwartungswerte'' zu konstruieren, wird nur diejenige behandelt, für die nachstehende Voraussetzungen gelten:

* Gegeben sind zwei [[Grundgesamtheit]]en, in denen die [[Zufallsvariable]]n <math>X_{1}\;</math> und <math>X_{2}\;</math> [[Normalverteilung|normalverteilt]] sind mit <math>E\left[X_{1}\right]=\mu_{1}</math> bzw. <math>E\left[X_{2}\right]=\mu_{2}</math> und <math>Var(X_{1})=\sigma_{1}^{2}</math> bzw. <math>Var(X_{2})=\sigma _{2}^{2}</math>, d.h. <math>X_{1}\sim N\left(\mu_{1};\sigma_{1}^{2}\right)</math> und <math>X_{2}\sim N\left(\mu_{2};\sigma_{2}^{2}\right)</math>.

* Aus jeder [[Grundgesamtheit]] wird eine [[einfache Zufallsstichprobe]] gezogen bzw. es wird unterstellt, dass die [[Umfang der Grundgesamtheit|Umfänge der beiden Grundgesamtheiten]] <math>N_{1}</math> und <math>N_{2}</math> genügend groß sind, dass von der [[Realisation|Realisierung]] [[Einfache Zufallsstichprobe|einfacher Zufallsstichproben]] ausgegangen werden kann. Die [[Stichprobenumfang|Stichprobenumfänge]] sind <math>n_{1}</math> und <math>n_{2}</math>.

* Die beiden [[Zufallsstichprobe]]n sind [[Unabhängigkeit (empirisch)|unabhängig]] voneinander.

Von besonderem Interesse bei der praktischen Anwendung von [[Konfidenzintervall]]en für die Differenz <math>\mu_{1}-\mu_{2}</math> zweier [[Erwartungswert der Grundgesamtheit|Erwartungswerte]] ist es, ob der Wert 0 dabei überdeckt wird oder nicht. 

Sobald das aus den [[Stichprobe]]n resultierende [[Schätzintervall]] den Wert <math>\mu_{1}-\mu_{2}=0</math> nicht einschließt, ist ein
Unterschied zwischen <math>\mu_{1}</math> und <math>\mu_{2}</math> auf dem verwendeten [[Konfidenzniveau]] bedeutsam.

Da die [[Zufallsvariable]]n <math>X_{1}\;</math> und <math>X_{2}\;</math> [[Normalverteilung|normalverteilt]] sind, gilt dies auch für die [[Stichprobenmittelwert]]e <math>\bar{X_{1}}</math> und <math>\bar{X_{2}}</math> (vgl. Abschnitt "[[Verteilung des Stichprobenmittelwertes]]").

Weiterhin sind:

{|
|<math>E\left[\bar{X_{1}}\right] = \mu_{1}</math>
|-
|<math>Var(\bar{X_{1}}) = \sigma^{2}(\bar{X_{1}}) =\frac{\sigma^{2}_{1}}{n_{1}}</math>
|-
|<math>E\left[\bar{X_{2}}\right] = \mu_{2}</math>
|-
|<math>Var(\bar{X_{2}}) = \sigma^{2}(\bar{X_{2}}) =\frac{\sigma^{2}_{2}}{n_{2}}</math>
|}

Zusammenfassend kann geschrieben werden:

<math>\bar{X_{1}}\ \sim N\left(  \mu_{1};\frac{\sigma_{1}^{2}}{n_{1}}\right)\qquad\bar{X_{2}}\sim N\left(  \mu_{2};\frac{\sigma_{2}^{2}}{n_{2}}\right)</math>

Aufgrund der Reproduktivitätseigenschaft der [[Normalverteilung]] folgt, dass die Differenz der beiden [[Stichprobenmittelwert]]e

<math>D=\bar{X_{1}}-\bar{X_{2}}</math>

ebenfalls [[Normalverteilung|normalverteilt]] ist mit dem [[Erwartungswert]]

<math>E[D]=E\left[\bar{X_{1}}-\bar{X_{2}}\right]=E\left[\bar{X_{1}}\right]-E\left[\bar{X_{2}}\right]=\mu_{1}-\mu_{2}</math>

und der [[Varianz (stochastisch)|Varianz]]

<math>Var(D)=\sigma_{D}^{2}=Var(\bar{X_{1}}-\bar{X_{2}})=Var(\bar{X_{1}})+Var(\bar{X_{2}})=\frac{\sigma_{1}^{2}}{n_{1}}+\frac{\sigma_{2}^{2}}{n_{2}}</math>

Die [[Standardisierung|standardisierte]] [[Zufallsvariable]]

<math>Z=\frac{D-E[D]}{\sigma_{D}}=\frac{\left(\bar{X_{1}}-\bar{X_{2}}\right)-\left(\mu_{1}-\mu_{2}\right)}{\sqrt{\frac{\sigma_{1}^{2}}{n_{1}}+\frac{\sigma_{2}^{2}}{n_{2}}}}</math>

ist demzufolge [[Standardnormalverteilung|standardnormalverteilt]] <math>Z \sim N(0;1)\;</math>.

Anhand des Nenners von <math>Z\;</math> wird deutlich, dass für die Konstruktion von [[Konfidenzintervall]]en für <math>\mu_{1}-\mu_{2}</math> unterschieden werden muss nach:

* Die [[Varianz der Grundgesamtheit|Varianzen der beiden Grundgesamtheiten]] <math>\sigma_{1}^{2}</math> und <math>\sigma_{2}^{2}</math> sind bekannt.

* Die [[Varianz der Grundgesamtheit|Varianzen der beiden Grundgesamtheiten]] <math>\sigma_{1}^{2}</math> und <math>\sigma_{2}^{2}</math> sind unbekannt.

===Konfidenzintervall für die Differenz zweier Erwartungswerte bei bekannten Varianzen===

Bei Gültigkeit der eingangs genannten Voraussetzungen und bekannten [[Varianz der Grundgesamtheit|Varianzen]] <math>\sigma_{1}^{2}</math> und <math>\sigma_{2}^{2}</math> ist

<math>\left[ \left(\bar{X_{1}}-\bar{X_{2}}\right)-z_{1-\frac{\alpha}{2}}\cdot\sqrt{\frac{\sigma_{1}^{2}}{n_{1}}+\frac{\sigma_{2}^{2}}{n_{2}}},\;\left(\bar{X_{1}}-\bar{X_{2}}\right)+z_{1-\frac{\alpha}{2}}\cdot\sqrt{\frac{\sigma_{1}^{2}}{n_{1}}+\frac{\sigma_{2}^{2}}{n_{2}}}\right]</math>

ein [[Konfidenzintervall]] für die Differenz <math>\mu_{1}-\mu_{2}</math> zweier [[Erwartungswert der Grundgesamtheit|Erwartungswerte]] zum [[Konfidenzniveau]]

<math>P\left(\left(\bar{X_{1}}-\bar{X_{2}}\right)-z_{1-\frac{\alpha}{2}}\cdot\sqrt{\frac{\sigma_{1}^{2}}{n_{1}}+\frac{\sigma_{2}^{2}}{n_{2}}}\leq\mu_{1}-\mu_{2}\leq\left(\bar{X_{1}}-\bar{X_{2}}\right)+z_{1-\frac{\alpha}{2}}\cdot\sqrt{\frac{\sigma_{1}^{2}}{n_{1}}+\frac{\sigma_{2}^{2}}{n_{2}}}\right)  =1-\alpha</math>

Für die vorgegebene [[Wahrscheinlichkeit]] <math>1 - \alpha</math> findet man <math>z_{1-\frac{\alpha}{2}}</math> aus der Tabelle der [[Verteilungsfunktion (stochastisch, eindimensional)|Verteilungsfunktion]] der [[Standardnormalverteilung]].

Wurden die beiden [[Stichprobe]]n gezogen, erhält man ein entsprechendes [[Schätzintervall]].

* [[Approximation]]: 

: Sofern keine [[Normalverteilung]] in den beiden [[Grundgesamtheit]]en unterstellt werden kann, die beiden [[Stichprobenumfang|Stichprobenumfänge]] jedoch <math>n_{1}\geq 30</math> und <math>n_{2}\geq30</math> sind, kann wegen des [[Zentraler Grenzwertsatz|zentralen Grenzwertsatzes]] das [[Konfidenzintervall]] ebenfalls verwendet werden.  Das [[Konfidenzniveau]] ist dann [[Approximation|approximativ]] <math>1-\alpha</math>.

===Konfidenzintervall für die Differenz zweier Erwartungswerte bei unbekannten Varianzen===

In diesem Fall werden <math>\sigma_{1}^{2}</math> und <math>\sigma_{2}^{2}</math> mittels der [[erwartungstreue]]n und [[Konsistenz|konsistenten]] [[Schätzfunktion]]en

<math>S_{1}^{2}=\frac{1}{n_{1}-1}\cdot\sum\limits_{i=1}^{n_{1}}(X_{1i}-\bar{X_{1}})^{2}\qquad
S_{2}^{2}=\frac{1}{n_{2}-1}\cdot\sum\limits_{i=1}^{n_{2}}(X_{2i}-\bar{X_{2}})^{2}</math>

aus den [[Stichprobe]]n [[Schätzung|geschätzt]].

====Annahme der Varianzhomogenität====

Unter der Annahme der [[Varianzhomogenität]], d.h. beide [[Grundgesamtheit]]en haben gleiche [[Varianz (stochastisch)|Varianz]] <math>\sigma_{1}^{2}=\sigma_{2}^{2}</math>, ergibt sich eine [[Schätzung]] <math>S^{2}\,</math> für die gemeinsame [[Varianz (stochastisch)|Varianz]] <math>\sigma^{2}</math> als gewogenes [[arithmetisches Mittel]] aus den beiden [[Stichprobenvarianz]]en:

<math>S^{2}=\frac{(n_{1}-1)\cdot S_{1}^{2}+(n_{2}-1)\cdot S_{2}^{2}}{n_{1}+n_{2}-2}</math>

<math>S^{2}\;</math> wird auch als pooled variance bezeichnet.

Als [[Schätzfunktion]] <math>S_{D}^{2}</math> für <math>\sigma_{D}^{2}</math> folgt:

<math>S_{D}^{2}=S^{2}\cdot \left(\frac{1}{n_{1}}+\frac{1}{n_{2}}\right)=\frac{n_{1}+n_{2}}{n_{1}n_{2}}\cdot\frac{(n_{1}-1)\cdot S_{1}^{2}+(n_{2}-1)\cdot S_{2}^{2}}{n_{1}+n_{2}-2}</math>

Die [[Standardabweichung (stochastisch)|Standardabweichung]] <math>S_{D}\;</math> als Wurzel aus <math>S_{D}^{2}</math> wird für die
[[Standardisierung]] verwendet, so dass die sich ergebende [[Zufallsvariable]]

<math>T=\cfrac{D-E(D)}{S_{D}}=\cfrac{(\bar{x}_{1}-\bar{x}_{2})-(\mu_{1}-\mu_{2})}{\sqrt{\cfrac{n_{1}+n_{2}}{n_{1}n_{2}}\cdot\cfrac{(n_{1}-1)\cdot s_{1}^{2}+(n_{2}-1)\cdot s_{2}^{2}}{n_{1}+n_{2}-2}}}</math>

einer [[t-Verteilung]] mit der Anzahl der [[Freiheitsgrad]]e <math>n_{1}+n_{2}-2</math> folgt.

Mit diesen Ergebnissen lässt sich ein [[Konfidenzintervall]] angeben:

Bei Gültigkeit der eingangs genannten Voraussetzungen und unbekannten gleichen [[Varianz der Grundgesamtheit|Varianzen]] <math>\sigma_{1}^{2} =\sigma_{2}^{2}</math> ist:

<math>\left[\left(\bar{X}_{1}-\bar{X}_{2}\right)-t_{n_{1}+n_{2}-2;1-\frac{\alpha}{2}}\cdot S_{D};\;\left(\bar{X}_{1}-\bar{X}_{2}\right)+t_{n_{1}+n_{2}-2;1-\frac{\alpha}{2}}\cdot S_{D}\right]</math>

ein [[Konfidenzintervall]] für die Differenz <math>\mu_{1} - \mu_{2}</math> zweier [[Erwartungswert der Grundgesamtheit|Erwartungswerte]] zum [[Konfidenzniveau]]

<math>P\left(\left(\bar{X}_{1}-\bar{X}_{2}\right)-t_{n_{1}+n_{2}-2;1-\frac{\alpha}{2}}\cdot S_{D}\leq\mu_{1}-\mu_{2}\leq\left(\bar{X}_{1}-\bar{X}_{2}\right)+t_{n_{1}+n_{2}-2;1-\frac{\alpha}{2}}\cdot S_{D}\right)\approx 1-\alpha</math>

Für die vorgegebene [[Wahrscheinlichkeit]] <math>1-\alpha</math> findet man <math>t_{n_{1}+n_{2}-2;1-\frac{\alpha}{2}}</math> in der Tabelle der [[Verteilungsfunktion (stochastisch, eindimensional)|Verteilungsfunktion]] der [[t-Verteilung]].

* [[Approximation]]: 

: Sofern die beiden [[Stichprobenumfang|Stichprobenumfänge]] genügend groß sind (Faustregel: <math>n_{1}\geq 30</math> und <math>n_{2}\geq 30</math>) kann <math>t_{f, 1-\frac{\alpha}{2}}</math> durch <math>z_{1-\frac{\alpha}{2}}</math> aus der [[Standardnormalverteilung]] ersetzt werden. Das [[Konfidenzniveau]] ist dann [[Approximation|approximativ]] <math>1 - \alpha</math>.

====Annahme der Varianzheterogenität====

Unter der Annahme der [[Varianzheterogenität]], d.h. beide [[Grundgesamtheit]]en haben ungleiche [[Varianz (stochastisch)|Varianz]] <math>\sigma_{1}^{2} \neq \sigma_{2}^{2}</math> ergibt sich als [[Schätzfunktion]] <math>S_{D}^{2}</math> für <math>\sigma_{D}^{2}</math>

<math>S_{D}^{2}=\frac{S_{1}^{2}}{n_{1}}+\frac{S_{2}^{2}}{n_{2}}</math>

Wenn die beiden [[Stichprobenumfang|Stichprobenumfänge]] genügend groß sind (<math>n_{1}\geq 30</math> und <math>n_{2}\geq 30</math>), lässt sich folgende Aussage treffen:

Bei Gültigkeit der eingangs genannten Voraussetzungen und unbekannten ungleichen [[Varianz der Grundgesamtheit|Varianzen]] <math>\sigma_{1}^{2}</math> und <math>\sigma_{2}^{2}</math> ist

<math>\left[(\bar{X}_{1}-\bar{X}_{2})-z_{1-\frac{\alpha}{2}}\cdot\sqrt{\frac{S_{1}^{2}}{n_{1}}+\frac{S_{2}^{2}}{n_{2}}},\;(\bar{X}_{1}-\bar{X}_{2})+z_{1-\frac{\alpha}{2}}\cdot\sqrt{\frac{S_{1}^{2}}{n_{1}}+\frac{S_{2}^{2}}{n_{2}}}\right]</math>

ein [[Approximation|approximatives]] [[Konfidenzintervall]] für die Differenz <math>\mu_{1}-\mu_{2}</math> zweier [[Erwartungswert]]e zum näherungsweisen [[Konfidenzniveau]]

<math>P\left((\bar{X}_{1}-\bar{X}_{2})-z_{1-\frac{\alpha}{2}}\cdot\sqrt{\frac{S_{1}^{2}}{n_{1}}+\frac{S_{2}^{2}}{n_{2}}}\;\leq\;\mu_{1}-\mu_{2}\;\leq\;(\bar{X}_{1}-\bar{X}_{2})+z_{1-\frac{\alpha}{2}}\cdot\sqrt{\frac{S_{1}^{2}}{n_{1}}+\frac{S_{2}^{2}}{n_{2}}}\right)=1-\alpha</math>

Für die vorgegebene [[Wahrscheinlichkeit]] <math>1 - \alpha</math> findet man <math>z_{1-\frac{\alpha}{2}}</math> aus der Tabelle der [[Verteilungsfunktion (stochastisch, eindimensional)|Verteilungsfunktion]] der [[Standardnormalverteilung]].

* [[Approximation]]:

: Für kleine [[Stichprobenumfang|Stichprobenumfänge]] <math>n_{1}</math> und <math>n_{2}</math> gibt es die Möglichkeit, unter Verwendung der [[t-Verteilung]] [[Konfidenzintervall]]e für <math>\mu_{1} - \mu_{2}</math> anzugeben.

=={{Vorlage:Überschrift_2}}==

===Charakteristika des Konfidenzintervalls bei bekannten Varianzen===

* Das angegebene [[Konfidenzintervall]] ist ein bezüglich der [[Wahrscheinlichkeit]] [[symmetrisches Konfidenzintervall]], denn es gilt:

: <math>P\left(  \mu_{1}-\mu_{2}<D-z_{1-\frac{\alpha}{2}}\cdot\sigma_{D}\right)=\frac{\alpha}{2}=P\left(  D+z_{1-\frac{\alpha}{2}}\cdot\sigma_{D}<\mu_{1}-\mu_{2}\right)</math>

* Das [[Konfidenzintervall]] ist symmetrisch bezüglich der [[Punktschätzung]]. Die [[Grenzen des Konfidenzintervalls|Grenzen des Intervalls]] haben zu <math>D\;</math> den gleichen Abstand.

* Die [[Länge des Konfidenzintervalls]] und der [[Schätzfehler]] hängen nicht von den [[Stichprobe]]nergebnissen, jedoch von den [[Stichprobenumfang|Stichprobenumfängen]] <math>n_{1}</math> und <math>n_{2}</math>, den [[Varianz der Grundgesamtheit|Varianzen]] <math>\sigma_{1}^{2}</math> und <math>\sigma_{2}^{2}</math> der beiden [[Grundgesamtheit]]en und vom vorgegebenen [[Konfidenzniveau]] <math>1-\alpha</math> ab.

===Charakteristika des Konfidenzintervalls bei unbekannten Varianzen===

* die angegebenen [[Konfidenzintervall]]e sind bezüglich der [[Wahrscheinlichkeit]] [[Symmetrisches Konfidenzintervall|symmetrische Konfidenzintervalle]].

* Die [[Konfidenzintervall]]e sind symmetrisch bezüglich der [[Punktschätzung]]. Die [[Grenzen des Konfidenzintervalls|Grenzen der Intervalle]] haben zu <math>D\;</math> den gleichen Abstand.

* Die [[Länge des Konfidenzintervalls|Länge der Konfidenzintervalle]] und die [[Schätzfehler]] sind [[Zufallsvariable]]n, da sie über <math>S_{1}^{2}</math> und <math>S_{2}^{2}</math> von den [[Stichprobe]]nergebnissen abhängen.

* Die [[Konfidenzintervall]]e sind außerdem von den [[Stichprobenumfang|Stichprobenumfängen]] <math>n_{1}</math> und <math>n_{2}</math> und vom vorgegebenen [[Konfidenzniveau]] <math>1-\alpha</math> abhängig.