Quelltext der Seite Konfidenzintervall für den Anteilswert

{{Schaetztheorie}}

=={{Vorlage:Überschrift}}==

===Konfidenzintervall für den Anteilswert===

Vorausgesetzt wird eine [[dichotomes Merkmal|dichotome]] [[Grundgesamtheit]], in der ein unbekannter Anteil von [[Statistisches Element|Elementen]] eine Eigenschaft <math>A</math> aufweist und ein Anteil <math>1 - \pi</math> diese Eigenschaft nicht besitzt. 

Es soll eine [[Intervallschätzung]] für <math>\pi</math>  durchgeführt, d.h. ein [[Konfidenzintervall]] für den unbekannten [[Anteilswert der Grundgesamtheit|Anteilswert <math>\pi</math> der Grundgesamtheit]] konstruiert werden.

Aus dieser [[Grundgesamtheit]] wird eine [[einfache Zufallsstichprobe]] vom [[Stichprobenumfang|Umfang]] <math>n</math> gezogen, so dass die [[Stichprobenvariable]]n <math>X_{1},\ldots,X_{n}</math> [[Unabhängigkeit (stochastisch)|unabhängig]] und identisch [[Bernoulli-Experiment|Bernoulli-verteilt]] sind (siehe im Abschnitt [[Binomialverteilung]]).

Es wurde bereits gezeigt, dass der [[Stichprobenanteilswert]]

<math>\widehat{\pi}=\frac{X}{n}= \frac{1}{n}\cdot\sum\limits_{i=1}^{n}X_{i}</math>

mit dem [[Erwartungswert]]

<math>E\left[\widehat{\pi}\right]=\pi</math>

und der [[Varianz (stochastisch)|Varianz]]

<math>Var(\widehat{\pi})= \sigma^{2}(\widehat{\pi})=\frac{\pi\cdot(1-\pi)}{n}</math>

eine [[erwartungstreue]] und [[Konsistenz|konsistente]] [[Schätzfunktion]] für <math>\pi</math> ist (siehe Abschnitt Eigenschaften von [[Schätzfunktion]]en).

Da für kleine [[Stichprobenumfang|Stichprobenumfänge]] die Konstruktion von [[Konfidenzintervall]]en sehr aufwendig ist, wird hier nur die Situation betrachtet, dass der [[Stichprobenumfang]] <math>n</math> hinreichend groß ist, so dass die [[Standardisierung|standardisierte]] [[Zufallsvariable]]

<math>Z=\frac{\widehat{\pi}-\pi}{\sigma(\widehat{\pi})}=\frac{\widehat{\pi}-\pi}{\sqrt{\frac{\pi\cdot(1-\pi)}{n}}}</math>

aufgrund des [[Zentraler Grenzwertsatz|zentralen Grenzwertsatzes]] [[Approximation|approximativ]] [[Standardnormalverteilung|standardnormalverteilt]] ist: <math>Z\sim N(0;1)\;</math>. 

Somit gilt die [[Wahrscheinlichkeit]]saussage

<math>P\left(  -z_{1-\frac{\alpha}{2}}\leq\frac{\widehat{\pi}-\pi}{\sigma(\widehat{\pi})}\leq z_{1-\frac{\alpha}{2}}\right)  \approx1-\alpha</math>

wobei man <math>z_{1-\frac{\alpha}{2}}</math> aus der [[Verteilungsfunktion (stochastisch, eindimensional)|Verteilungsfunktion]] der
[[Standardnormalverteilung]] zur vorgegebenen [[Wahrscheinlichkeit]] <math>1 - \alpha</math> erhält.

Hieraus lässt sich noch kein geeignetes [[Konfidenzintervall]] für <math>\pi</math> gewinnen, denn bei unbekanntem <math>\pi</math> ist auch die [[Varianz der Grundgesamtheit|Varianz]] der [[Schätzfunktion]] <math>\widehat{\pi}</math> unbekannt. 

Diese [[Varianz der Grundgesamtheit|Varianz]] muss ebenfalls aus der [[Stichprobe]] geschätzt werden. 

Ersetzt man in <math>Var(\widehat{\pi})</math> den unbekannten [[Anteilswert der Grundgesamtheit|Anteilswert <math>\pi</math>]] durch die [[Schätzfunktion]] <math>\widehat{\pi}</math>, dann erhält man eine [[Konsistenz|konsistente]] [[Schätzfunktion]] für die [[Varianz (stochastisch)|Varianz]] von <math>\widehat{\pi}</math>:

<math>\widehat{\sigma^{2}}(\widehat{\pi})=\sqrt{\frac{\widehat{\pi}\cdot(1-\widehat{\pi})}{n}}</math>

Aus 

<math>P\left(  -z_{1-\frac{\alpha}{2}}\leq\frac{\widehat{\pi}-\pi}{\hat{\sigma}(\widehat{\pi})}\leq z_{1-\frac{\alpha}{2}}\right)  \approx1-\alpha</math>

lässt sich nunmehr durch elementare Umformungen das [[Konfidenzniveau]] herleiten:

<math>P\left(  \widehat{\pi}-z_{1-\frac{\alpha}{2}}\cdot\sqrt{\frac{\widehat{\pi}\cdot(1-\widehat{\pi})}{n}}\;\leq\;\pi\;\leq\;\widehat{\pi}+z_{1-\frac{\alpha}{2}}\cdot\sqrt{\frac{\widehat{\pi}\cdot(1-\widehat{\pi})}{n}}\right)  \approx1-\alpha</math>

Damit ist für sehr große [[Stichprobenumfang|Stichprobenumfänge]] ein [[Approximation|approximatives]] [[Konfidenzintervall]] für den
unbekannten [[Anteilswert der Grundgesamtheit|Anteilswert <math>\pi</math>]] einer [[dichotomes Merkmal|dichotomen]] [[Grundgesamtheit]] gegeben durch

<math>\left[  \widehat{\pi}-z_{1-\frac{\alpha}{2}}\cdot\sqrt{\frac{\widehat{\pi}\cdot(1-\widehat{\pi})}{n}},\quad\widehat{\pi}+z_{1-\frac{\alpha}{2}}\cdot\sqrt{\frac{\widehat{\pi}\cdot(1-\widehat{\pi})}{n}}\right]</math>

Für eine ausreichende [[Approximation]] an die [[Normalverteilung]] muss der [[Stichprobenumfang]] <math>n \geq 30</math> sein, sollte jedoch möglichst größer gewählt werden, etwa <math>n\geq 100</math>.

Für eine konkrete [[Stichprobe]] erhält man das [[Schätzintervall]]

<math>\left[P -z_{1-\frac{\alpha}{2}}\cdot\sqrt{\frac{p\cdot(1-p)}{n}};\;P+z_{1-\frac{\alpha}{2}}\cdot\sqrt{\frac{p\cdot(1-p)}{n}}\right]</math>,

worin <math>p = \frac{x}{n}</math> die [[relative Häufigkeit]] des Auftretens von [[Statistisches Element|Elementen]] mit der Eigenschaft <math>A</math> in der [[Stichprobe]] und <math>x</math> deren Anzahl in der [[Stichprobe]] sind.

=={{Vorlage:Überschrift_2}}==

===Charakteristika des Konfidenzintervalls===

* Das [[Konfidenzintervall]] ist ein bezüglich der [[Wahrscheinlichkeit]] [[Symmetrisches Konfidenzintervall|symmetrisches Intervall]].

: <math>P\left(  \pi<\widehat{\pi}-z_{1-\frac{\alpha}{2}}\cdot\sqrt{\frac{\widehat{\pi}\cdot(1-\widehat{\pi})}{n}}\right)  \approx\frac{\alpha}{2} \approx P\left(  \widehat{\pi}+z_{1-\frac{\alpha}{2}}\cdot\sqrt{\frac{\widehat{\pi}\cdot(1-\widehat{\pi})}{n}}<\pi\right)</math>

* Das [[Konfidenzintervall]] ist symmetrisch bezüglich der [[Punktschätzung]]. Die [[Grenzen des Konfidenzintervalls|Grenzen des Intervalls]] haben zu <math>\hat{\pi}</math> den gleichen Abstand.

* Die [[Länge des Konfidenzintervalls|Länge <math>L</math> des Konfidenzintervalls]] und der [[Schätzfehler]] <math>E</math>

: <math>L=2\cdot z_{1-\frac{\alpha}{2}}\cdot\sqrt{\frac{\widehat{\pi}\cdot(1-\widehat{\pi})}{n}}, \quad E=z_{1-\frac{\alpha}{2}}\cdot\sqrt{\frac{\widehat{\pi}\cdot(1-\widehat{\pi})}{n}}</math>

: sind [[Zufallsvariable]]n, da sie über <math>\widehat{\pi}</math> vom [[Stichprobe]]nergebnis abhängen.

* Die [[Länge des Konfidenzintervalls|Länge <math>L</math> des Konfidenzintervalls]] und der [[Schätzfehler]] <math>E</math> hängen weiterhin vom vorgegebenen [[Konfidenzniveau]] <math>1 - \alpha</math> und vom [[Stichprobenumfang]] <math>n</math> ab.

===Information zur Schätzung der Varianz des Anteilswertes===

Die [[Varianz (stochastisch)|Varianz]] der [[Schätzfunktion]] <math>\widehat{\pi}</math>

<math>Var (\widehat{\pi})= \sigma^{2} (\widehat{\pi}) = \frac{\pi\cdot(1-\pi)}{n}</math>

ist unbekannt, da sie den unbekannten [[Anteilswert der Grundgesamtheit|Anteilswert <math>\pi</math>]] enthält. 

Diese [[Varianz (stochastisch)|Varianz]] muss ebenfalls aus der [[Stichprobe]] geschätzt werden, indem <math>\pi</math> durch den [[Schätzer]]
<math>\widehat{\pi}</math> ersetzt wird. 

Die Rechtfertigung für die Substituierung ist durch die Tatsache gegeben, dass der [[Erwartungswert]] von <math>\widehat{\pi}\cdot (1 - \widehat{\pi})</math> mit größer werdendem [[Stichprobenumfang]] <math>n</math> gegen <math>\pi\cdot (1 - \pi)</math> strebt:

<math>\lim_{n \rightarrow \infty} E [\widehat{\pi}\cdot(1-\widehat{\pi})] = \pi \cdot(1 - \pi).</math>

Dies lässt sich in der folgenden Weise zeigen. Es ist zunächst

<math>E\left[\widehat{\pi}\cdot(1-\widehat{\pi})\right] = E \left[ \frac{X}{n}\cdot \left( 1-\frac {X}{n}\right) \right] \cdot \frac {1} {n} \cdot E[X]- \frac{1}{n^{2}}\cdot E\left[X^{2}\right]</math>

Aufgrund des Verschiebungssatzes gilt

<math>Var(X) = E\left[X^{2}\right] - \left(E\left[X\right]\right)^{2}</math> und somit <math>E\left[{X}^{2}\right]= Var(X) + \left(E\left[X\right]\right)^{2}</math>.

<math>X\;</math> als die Anzahl des Eintretens von <math>A</math> in der [[Stichprobe]] ist [[Binomialverteilung|binomialverteilt]] mit <math>E\left[X\right] =n\cdot\pi</math> und 

<math>Var(X) = N\cdot\pi\cdot(1-\pi)</math>, so dass folgt:

<math>E\left[X^{2}\right] = Var(X) + \left(E\left[X\right]\right)^{2}= n\cdot\pi\cdot(1- \pi) + (n\cdot\pi)^{2}</math>

Diese Ergebnisse werden für die weitere Herleitung genutzt:

{|
|<math>E[\widehat{\pi}\cdot(1-\widehat{\pi})]</math>
|<math>= E\left[\frac{X}{n} \cdot\left(1-\frac{X}{n}\right)\right] = \frac{1}{n} \cdot E[X] -\frac {1}{n^{2}}\cdot E\left[X^{2}\right]</math>
|-
|
|<math>= \frac {1}{n}\cdot n\cdot\pi - \frac {1} {n^{2}}\cdot \left[ n\cdot\pi\cdot\left(1-\pi\right) + \left(n\cdot\pi\right)^{2}\right]</math>
|-
|
|<math>= \frac {1}{n}\cdot\left[ n\cdot\pi - \frac {1} {n}\cdot\left( n\cdot\pi -n\cdot\pi^{2} + n^{2}\cdot\pi^{2}\right)\right]</math>
|-
|
|<math>= \frac {1}{n}\cdot\left( n\cdot\pi - \pi + \pi^{2} - n\cdot\pi^{2}\right)</math>
|-
|
|<math>=\frac{\pi}{n}\cdot\left(n-1+ \pi -n\cdot \pi\right)</math>
|-
|
|<math>= \frac {\pi}{n}\cdot\left( n - 1\right)\cdot \left(1- \pi\right) = \frac{n-1}{n}\cdot \pi\cdot \left(1- \pi\right)</math>
|}

Für <math>n \rightarrow\infty</math> geht <math>\frac{n - 1}{n}</math> gegen 1, so dass gilt:

<math>\lim_{n \rightarrow\infty} \frac{n-1}{n}\cdot \pi \cdot(1- \pi) = \pi\cdot(1-\pi)</math>

=={{Vorlage:Beispiele}}==

===Sonntagsfrage===

Der Generalsekretär der Partei F möchte wegen der 5%-Klausel wissen, wie die Chancen seiner Partei sind, bei der nächsten Wahl in den Bundestag einzuziehen. 

Er beauftragt ein Meinungsforschungsinstitut mit einer Umfrage. Dieses Meinungsforschungsinstitut wählt zufällig <math>n = 2000</math> wahlberechtigte Bürger aus und stellt ihnen die Frage:

"Wenn am kommenden Sonntag Bundestagswahl wäre, welcher Partei würden sie ihre Stimme geben?"

Im Ergebnis der Umfrage entschieden sich 103 Befragte für die Partei F.

Auf einem [[Konfidenzniveau]] von <math>1 - \alpha = 0,95</math> soll ein [[Konfidenzintervall]] für den [[Anteilswert der Grundgesamtheit|Anteil <math>p</math>]] der Wähler der Partei F bestimmt werden.

Aus [[Statistik|statistischer]] Sicht ergeben sich folgende Überlegungen:

* Damit gesichert ist, dass ein bereits befragter Bürger nicht noch einmal ausgewählt wird, wird das [[Zufallsauswahlmodell ohne Zurücklegen]] angewandt. Bei der [[Stichprobe]] handelt es sich um eine [[uneingeschränkte Zufallsstichprobe]].

* Da die [[Grundgesamtheit]] aller wahlberechtigten Bürger jedoch sehr groß ist, spielt die Tatsache, dass [[Zufallsauswahlmodell ohne Zurücklegen|ohne Zurücklegen]] gezogen wird, keine Rolle, denn die [[Verteilung der Grundgesamtheit|Verteilung in der Grundgesamtheit]] verändert sich dadurch kaum. Die [[Stichprobe]] kann somit als eine [[einfache Zufallsstichprobe]] angesehen werden.

* Da das Interesse auf die Partei F gerichtet ist, wird das [[Ereignis]] <math>A</math> als "Wähle die Partei F" und das [[Komplementärereignis]] <math>\bar{A}</math> als "Wähle nicht die Partei F" definiert. 

: Es gibt somit nur zwei mögliche [[Ereignis]]se bei der Befragung. Die [[Grundgesamtheit]] ist [[dichotomes Merkmal|dichotom]]. Der [[Anteilswert der Grundgesamtheit|Anteil]] der Wähler der Partei F in der [[Grundgesamtheit]] ist <math>\pi = P(A)</math>.

* Aufgrund des großen [[Stichprobenumfang]]s <math>n = 2000</math> kann ein [[Approximation|approximatives]] [[Konfidenzintervall]] gemäß

: <math>\left[  \widehat{\pi}-z_{1-\frac{\alpha}{2}}\cdot\sqrt{\frac{\widehat{\pi}\cdot(1-\widehat{\pi})}{n}},\quad\widehat{\pi}+z_{1-\frac{\alpha}{2}}\cdot\sqrt{\frac{\widehat{\pi}\cdot(1-\widehat{\pi})}{n}}\right]</math>

: berechnet werden, das näherungsweise das [[Konfidenzniveau]] von <math>1 - \alpha = 0,95</math> aufweist.

: Aus der Tabelle der [[Verteilungsfunktion (stochastisch, eindimensional)|Verteilungsfunktion]] der [[Standardnormalverteilung]] findet man für <math>1 - \frac{\alpha}{2} = 0,975</math> den Wert <math>z_{0,975} = 1,96</math>.

Mit dem Ergebnis der [[Stichprobe]] ergibt sich ein [[Stichprobenanteilswert]] von

<math>p = \frac{103}{2000} = 0,0515</math>

und ein [[Schätzintervall]] von

<math>\left[  0,0515-1,96\cdot\sqrt{\frac{0,0515\cdot0,9485}{2000}},\; 0,0515+1,96\cdot\sqrt{\frac{0,0515\cdot0,9485}{2000}}\right]=[4,18%;\;6,12%]</math>

Das [[Schätzintervall]] <math>[4,18%;\;6,12%]</math> überdeckt die 5%, die zum Einzug einer Partei in den Bundestag erforderlich sind. 

Bei einem näherungsweisen [[Konfidenzniveau]] von 95% ist nicht gesichert, dass die Partei F im nächsten Bundestag vertreten sein wird.

<!--==Interaktives Beispiel==


Es steht eine Grundgesamtheit von <math>N = 3250</math> Angestellten einer Versicherungsgesellschaft zur Verfügung. An den Angestellten wurden die dichotomen Variablen:

<math>X_1=\;</math> Angestellter ist selbst Kunde der Schadenfall-AG

<math>X_2=\;</math>  Außendienstmitarbeiter,

<math>X_3=\;</math> Firmenwagennutzung

<math>X_4=\;</math>  Fachkompetenz

beobachtet. Es handelt sich bei allen Variablen um dichotome Variablen, die nur die
Ausprägungen 1 und 0 annehmen. Dabei steht 1 für "ja" und 0 für "nein". Der Anteilswert
<math>\pi</math> für das Vorhandensein der Eigenschaft in der Grundgesamtheit ist bei allen Variablen <math>X_{1},\ldots,X_{4}</math> unbekannt.

Ermitteln Sie auf der Basis einer einfachen Zufallsstichprobe eine Punkt- und
Intervallschätzung für den unbekannten Anteilswert <math>\pi</math>. Dabei soll nur der Fall
betrachtet werden, dass ein approximatives Konfidenzintervall für <math>\pi</math> unter Verwendung der Normalverteilung bestimmt wird.

Mit diesem Beispiel haben Sie die Möglichkeit, den Einfluss des [[STAT-Glossar#Konfidenzniveau|Konfidenzniveaus]] und des
[[STAT-Glossar#Stichprobenumfang|Stichprobenumfanges]] auf die Breite des Konfidenzintervalls zu studieren. Dazu empfiehlt es
sich, nur eine der beiden Größen zu verändern, während die andere konstant gehalten wird

Treffen Sie bitte nachfolgend ihre Entscheidungen über

* die zu analysierende Variable,
* den [[STAT-Glossar#Stichprobenumfang|Stichprobenumfang]] <math>n</math>
* das [[STAT-Glossar#Konfidenzniveau|Konfidenzniveau]] <math>1 - \alpha</math> (als Dezimalzahl, z.B. 0,95).


'''Ausgabe:'''

Als Ergebnis gibt dieses interaktive Beispiel 
# ein ''Stabdiagramm'' der ausgewählten Variable (ein Stab pro Variablenausprägung) und
# das - zum gewählte [[STAT-Glossar#Konfidenzniveau|Konfidenzniveau]] passende - ''Konfidenzintervall''

aus. Wenn man die gleiche Variable weiter verwendet, aber ein(en) anderes/n
[[STAT-Glossar#Konfidenzniveau|Konfidenzniveau]]/[[STAT-Glossar#Stichprobenumfang|Stichprobenumfang]] angibt, so werden im Ausgabefenster auch die alten
''Konfidenzintervalle'' angezeigt (zum Vergleich).-->