Quelltext der Seite Einstichproben-t-Test/Beispiel: Autoreifen

=={{Vorlage:Beispiele}}==

===Autoreifen===

Mit diesem Beispiel wird demonstriert, wie die verfügbaren Informationen über die [[Grundgesamtheit]] die Wahl der [[Teststatistik]], der [[Entscheidungsbereiche]] und möglicherweise, je nach konkretem [[Stichprobe]]nergebnis, die [[Entscheidungssituationen]] beeinflussen.

Ein Unternehmen stellt Autoreifen her. Zur Erhöhung der Lebensdauer eines bestimmten Typs von Autoreifen wurden Materialänderungen vorgenommen. 

Die Konkurrenz behauptet nun, dass durch die Materialänderung keine Erhöhung gegenüber der ursprünglichen mittleren Lebensdauer dieses Reifentyps von 38000 km erreicht wurde.

Die [[Zufallsvariable]] <math>X\;</math> in der [[Grundgesamtheit]] ist die Lebensdauer des betrachteten Reifentyps mit dem hypothetischen Wert über den [[Erwartungswert]] <math>E[X] = \mu_{0} = 38000 \mbox{ km}</math> .

Der Unternehmer behauptet, dass die mittlere Lebensdauer nach der Materialänderung größer ist: <math>\mu > \mu_{0}</math>. 

Diese Behauptung will er [[Statistik|statistisch]] untermauern, wobei er das Risiko einer Fehlentscheidung möglichst klein halten will, um der Konkurrenz keine weiteren Argumente zu liefern.

Da nur Abweichungen von <math>\mu_{0}</math> nach einer Seite von Bedeutung sind, wird ein [[einseitiger Test]] durchgeführt. 

Die Behauptung des Unternehmers wird als [[Alternativhypothese]] formuliert, womit ein [[rechtsseitiger Test]] resultiert:

<math>H_{0}:\;\mu \leq \mu_{0}\quad \mbox{(= 38000 km)}</math>
 
<math>H_{1}:\;\mu >\mu_{0}\quad \mbox{(= 38000 km)}</math>

Über eine Fehlerbetrachtung ist zu prüfen, ob bei dieser [[Hypothese]]nformulierung die Intention des Unternehmers eingehalten wird. Der bei der [[Ablehnungsbereich der Nullhypothese|Ablehnung der <math>H_{0}</math>]] mögliche [[Fehler 1. Art]] hat folgenden Inhalt:

<math>\mbox{''}H_{1}\mbox{''}|H_{0}:</math> Die "Lebensdauer hat sich durch die Materialänderung erhöht" | In Wirklichkeit hat sich die Lebensdauer nicht erhöht.

Wird im Ergebnis des [[Statistischer Test|Tests]] die [[Nullhypothese]] nicht abgelehnt, ist der Inhalt des dann möglichen [[Fehler 2. Art|Fehlers 2. Art]]:

<math>P(\mbox{''}H_{0}\mbox{''}|H_{1}):</math> "Die Lebensdauer hat sich nicht erhöht" | In Wirklichkeit hat sich die Lebensdauer durch die Materialänderung erhöht.

Der [[Fehler 1. Art]] ist für den Unternehmer der schwerwiegendere Fehler, denn die dauerhafte Verwendung des veränderten Reifens würde bald zeigen, dass die Lebensdauer durch die Materialänderung tatsächlich nicht größer wurde, was dem Ansehen des Reifenherstellers bei seinen Kunden erheblichen Schaden zufügen würde. 

Die [[Wahrscheinlichkeit]] eines [[Fehler 1. Art|Fehlers 1. Art]] <math>P(\mbox{''}H_{1}\mbox{''}|H_{0})</math> ist das [[Signifikanzniveau]] <math>\alpha</math>, mit dessen Vorgabe das Risiko eines derartigen Fehlers gering gehalten werden kann. 

Damit wird die Zielstellung des Unternehmers bei der Durchführung des [[Statistischer Test|Tests]] eingehalten.

Die [[Wahrscheinlichkeit]] eines [[Fehler 2. Art|Fehlers 2. Art]] <math>P(\mbox{''}H_{0}\mbox{''}|H_{1})=\beta</math> ist unbekannt, da der wahre [[Erwartungswert]] <math>\mu</math> unter der [[Alternativhypothese]] nicht bekannt ist. 

Diese [[Wahrscheinlichkeit]] eines [[Fehler 2. Art|Fehlers 2. Art]], d.h. das Risiko, die tatsächlich eingetretene Erhöhung der Lebensdauer nicht nachzuweisen, kann sehr groß sein. 

Das muss der Unternehmer jedoch in Kauf nehmen, da er andere Prioritäten für die Überprüfung gesetzt hatte. In diesem Falle müsste er weitere technische Überprüfungen folgen lassen.

====Einstichproben-t-Test====

Bei gleichem [[Signifikanzniveau]] <math>\alpha = 0,05</math> und [[Stichprobenumfang]] <math>n = 10</math> wird weiterhin von einer [[Normalverteilung]] der Lebensdauer nach der Materialänderung ausgegangen. 

Die [[Standardabweichung (stochastisch)|Standardabweichung]] kann sich aber verändert haben, so dass sie nunmehr unbekannt ist.

Als [[Teststatistik]] ist jetzt

<math>V=\frac{\overline{X}-\mu_{0}}{S}\cdot\sqrt{n}</math>

zu verwenden, die bei Gültigkeit der [[Nullhypothese]] <math>H_{0}</math> einer [[t-Verteilung]] mit <math>f = n - 1 = 9</math> [[Freiheitsgrad]]en folgt. 

Aus der Tabelle der [[Verteilungsfunktion (stochastisch, eindimensional)|Verteilungsfunktion]] der [[t-Verteilung]] findet man für <math>P(V \leq c)=1-\alpha = 0,95</math> und <math>f = 9</math> den [[Kritischer Wert|kritischen Wert]] <math>c=t_{0,95; 9} = 1,833</math>. 

Damit ergeben sich die [[Entscheidungsbereiche]] des [[Statistischer Test|Tests]] zu

* [[Nichtablehnungsbereich der Nullhypothese|Nichtablehnungsbereich der <math>H_{0}:</math>]] <math>\{t|t\leq 1,833\}</math>

* [[Ablehnungsbereich der Nullhypothese|Ablehnungsbereich der <math>H_{0}:</math>]] <math>\left\{t|t>1,833\right\}</math>

Neben dem [[Stichprobenmittelwert]] <math>\bar{x}</math> muss auch die [[Standardabweichung (stochastisch)|Standardabweichung]] <math>s</math> aus der [[Stichprobe]] geschätzt werden. Es habe sich ergeben: <math>\bar{x} = 38900 \mbox{ km}</math> und <math>s = 1390 \mbox{ km}</math>. 

Als [[Prüfwert]] erhält man:

<math>v=\frac{38900-38000}{1390}\cdot\sqrt{10}=2,047</math>

Da <math>v = 2,047</math> in den [[Ablehnungsbereich der Nullhypothese|Ablehnungsbereich der <math>H_{0}</math>]] fällt, wird die [[Nullhypothese]] abgelehnt. 

Auf einem [[Signifikanzniveau]] von <math>\alpha = 0,05</math> und basierend auf einer [[Einfache Zufallsstichprobe|einfachen Zufallsstichprobe]] vom [[Stichprobenumfang|Umfang]] <math>n = 10</math> konnte [[Statistik|statistisch]] gezeigt werden, dass der wahre [[Erwartungswert der Grundgesamtheit|Erwartungswert]] <math>E[X] = \mu</math> der Lebensdauer des Reifentyps nach der Materialänderung größer als der hypothetische Wert <math>\mu_{0}= 38000 \mbox{ km} </math> ist. 

Auch bei dieser [[Statistischer Test|Test]]entscheidung besteht natürlich die Möglichkeit, einen [[Fehler 1. Art]] zu begehen, falls in Wirklichkeit die [[Nullhypothese]] <math>H_{0}</math> richtig ist. 

Die [[Wahrscheinlichkeit]] <math>P(\mbox{''}H_{1}\mbox{''}|H_{0})</math> wurde jedoch mit dem [[Signifikanzniveau]] <math>\alpha = 0,05</math> klein gehalten.

Wenn in Wirklichkeit die [[Alternativhypothese]] <math>H_{1}</math> richtig ist, wurde im Ergebnis des [[Statistischer Test|Tests]] eine richtige Entscheidung getroffen <math>(\mbox{''}H_{1}\mbox{''}|H_{1})</math>. 

Die [[Wahrscheinlichkeit]] <math>P(''H_{1}''|H_{1})=1-\beta</math> kann nur bestimmt werden, wenn ein konkreter Alternativwert <math>\mu</math> angegeben werden kann und gleichzeitig unterstellt wird, dass die [[Punktschätzung]] <math>s = 1390 \mbox{ km}</math> die wahre [[Standardabweichung (stochastisch)|Standardabweichung]] in der [[Grundgesamtheit]] ist.

====Approximation durch Gauß-Test====

Nunmehr wird auch die Annahme der [[Normalverteilung]] für die Lebensdauer fallengelassen, womit diese Variante die praktisch relevanteste ist. 

Um einen [[Statistischer Test|Test]] auf <math>\mu</math> durchführen zu können, muss der [[Stichprobenumfang]] <math>n > 30</math> gewählt werden, damit der [[Zentraler Grenzwertsatz|Zentrale Grenzwertsatz]] zur Anwendung kommen kann. 

Der Unternehmer entscheidet sich für <math>n = 35</math>. 

Eine Lebensdauerprüfung der Reifen diesen Umfangs ist natürlich mit wesentlich höheren Kosten verbunden, die er jedoch als "Tribut" für die fehlenden Informationen über die [[Grundgesamtheit]] zahlen muss, wenn er den [[Statistischer Test|Test]] überhaupt durchführen will.

Als [[Signifikanzniveau]] wählt er <math>\alpha= 0,025</math>.

Als Teststatistik ist

<math>V=\frac{\overline{X}-\mu_{0}}{S}\cdot\sqrt{n}</math>

zu verwenden, die (wegen <math>n > 30</math> und der Wirksamkeit des [[Zentraler Grenzwertsatz|Zentralen Grenzwertsatzes]]) unter <math>H_{0}</math> [[Approximation|approximativ]] <math>N(0; 1)</math>-[[Verteilung (stochastisch)|verteilt]] ist. 

Für <math>P(V \leq c) =1-\alpha = 0,975</math> findet man den [[Kritischer Wert|kritischen Wert]] <math>c = z_{0,975} = 1,96</math>. 

Damit ergeben sich die [[Approximation|approximativen]] [[Entscheidungsbereiche]]:

* [[Nichtablehnungsbereich der Nullhypothese|Nichtablehnungsbereich der <math>H_{0}:\left\{t|t\leq 1,96\right\}</math>]]

* [[Ablehnungsbereich der Nullhypothese|Ablehnungsbereich der <math>H_{0}:\left\{t|t>1,96\right\}</math>]].

Neben dem [[Stichprobenmittelwert]] <math>\bar{x}</math> muss auch bei dieser Variante die [[Standardabweichung (stochastisch)|Standardabweichung]] <math>s</math> aus der [[Stichprobe]] [[Schätzung|geschätzt]] werden. Es habe sich ergeben: <math>\bar{x} = 38500 \mbox{ km}</math> und <math>s = 1400 \mbox{ km}</math>. 

Als [[Prüfwert]] erhält man:

<math>v=\frac{38500-38000}{1400}\cdot\sqrt{35}=2,11</math>

Da <math>v = 2,11</math> in den [[Ablehnungsbereich der Nullhypothese|Ablehnungsbereich der <math>H_{0}</math>]] fällt, wird die [[Nullhypothese]] abgelehnt. 

Auf einem [[Signifikanzniveau]] von <math>\alpha = 0,025</math> und basierend auf einer [[Einfache Zufallsstichprobe|einfachen Zufallsstichprobe]] vom [[Stichprobenumfang|Umfang]] <math>n = 35</math> konnte [[Statistik|statistisch]] gezeigt werden, dass der wahre [[Erwartungswert der Grundgesamtheit|Erwartungswert]] <math>E(X) = \mu</math> der Lebensdauer des Reifentyps nach der Materialänderung größer als der hypothetische Wert <math>\mu_{0} = 38000 \mbox{ km}</math> ist.

Falls in Wirklichkeit die [[Nullhypothese]] <math>H_{0}</math> richtig ist, begeht man mit ihrer Ablehnung einen [[Fehler 1. Art]], dessen [[Wahrscheinlichkeit]] <math>P(\mbox{''}H_{1}\mbox{''}| H_{0})</math> mit dem [[Signifikanzniveau]] <math>\alpha = 0,025 </math> klein gehalten wurde.

Wenn in Wirklichkeit die [[Alternativhypothese]] richtig ist, wurde im Ergebnis des [[Statistischer Test|Tests]] eine richtige Entscheidung getroffen <math>(\mbox{''}H_{1}\mbox{''}| H_{1})</math>. 

Die [[Wahrscheinlichkeit]] <math>P(\mbox{''}H_{1}\mbox{''}|H_{1}) = 1 - \beta</math> kann nur bestimmt werden, wenn ein konkreter Alternativwert <math>\mu</math> angegeben werden kann und gleichzeitig unterstellt wird, dass die [[Punktschätzung]] <math>s = 1400 \mbox{ km} </math> die wahre [[Standardabweichung (stochastisch)|Standardabweichung]] in der [[Grundgesamtheit]] ist.

<!--==Interaktives Beispiel I==
Für eine Grundgesamtheit von <math>N = 3000</math> Dispositionskrediten bei einer Bank
sei unterstellt, dass die [[STAT-Glossar#Zufallsvariable|Zufallsvariable]] <math>X =\;</math> "Höhe des Dispositionskredits
in €" einer Normalverteilung mit dem unbekannten [[STAT-Glossar#Erwartungswert|Erwartungswert]] <math>\mu</math> und
der bekannten [[STAT-Glossar#Standardabweichung|Standardabweichung]] <math>\sigma = 1174</math> DM folgt.

Auf einem [[STAT-Glossar#Signifikanzniveau|Signifikanzniveau]] von <math>\alpha</math> und basierend auf einer
einfachen Zufallsstichprobe vom Umfang <math>n</math> soll getestet werden, ob
der [[STAT-Glossar#Erwartungswert|Erwartungswert]] dem hypothetischen Wert <math>E(X) = \mu_{0} = 1800</math> € entspricht, d.h.

<math>H_{0}:\; \mu =1800\mbox{ €}\quad H_{1}:\;\mu \neq 1800\mbox{ €}</math>

Mit diesem Beispiel haben Sie die Möglichkeit, den Test wiederholt
durchzuführen, wobei '''für jede Testdurchführung erneut eine Zufallsstichprobe aus der Grundgesamtheit gezogen wird.''' Dabei können Sie

* das [[STAT-Glossar#Signifikanzniveau|Signifikanzniveau]] <math>\alpha</math> und den [[STAT-Glossar#Stichprobenumfang|Stichprobenumfang]] <math>n</math> konstant halten;

* das [[STAT-Glossar#Signifikanzniveau|Signifikanzniveau]] <math>\alpha</math> verändern und den [[STAT-Glossar#Stichprobenumfang|Stichprobenumfang]] <math>n</math> konstant halten;

* das [[STAT-Glossar#Signifikanzniveau|Signifikanzniveau]] <math>\alpha</math> konstant halten und den [[STAT-Glossar#Stichprobenumfang|Stichprobenumfang]] <math>n</math> verändern;

* das [[STAT-Glossar#Signifikanzniveau|Signifikanzniveau]] <math>\alpha</math> und den [[STAT-Glossar#Stichprobenumfang|Stichprobenumfang]] <math>n</math> verändern.-->

<!--==Interaktives Beispiel II==

Gegeben sei folgendes rechtsseitiges Testproblem:

<math>H_{0}:\mu \leq 0\quad H_{1}:\mu >0</math>

mit bekannter [[STAT-Glossar#Standardabweichung|Standardabweichung]] der Grundgesamtheit <math>\sigma=8</math>
[[STAT-Glossar#Stichprobenumfang|Stichprobenumfang]] und [[STAT-Glossar#Signifikanzniveau|Signifikanzniveau]] sind noch nicht festgelegt.

Mit diesem Beispiel haben Sie die Möglichkeit zu studieren, wie die
[[STAT-Glossar#Wahrscheinlichkeit|Wahrscheinlichkeit]] für einen [[STAT-Glossar#Fehler_2._Art|Fehler 2. Art]] beeinflusst wird von

* der Wahl des [[STAT-Glossar#Stichprobenumfang|Stichprobenumfangs]] <math>n</math>

* der Wahl des [[STAT-Glossar#Signifikanzniveau|Signifikanzniveaus]] <math>\alpha</math>,

* der Wahl des Elements <math>\mu</math> aus der Menge der Erwartungswerte in der [[STAT-Glossar#Alternativhypothese|Alternativhypothese]] (<math>\mu > 0</math>).

Nachdem Sie <math>\mu</math>, <math>n</math> und <math>\alpha</math> interaktiv gewählt haben, wird Ihnen eine Grafik mit folgendem Inhalt gezeigt:

* die Verteilung des [[STAT-Glossar#Stichprobenmittelwert|Stichprobenmittelwertes]] unter <math>H_{0}</math> (rote Glockenkurve),

* die Verteilung des [[STAT-Glossar#Stichprobenmittelwert|Stichprobenmittelwertes]] unter <math>H_{1}</math> mit dem von Ihnen gewählten <math>\mu</math> (blaue Glockenkurve),

* der [[STAT-Glossar#Kritische(r)_Wert(e)|kritische Wert]] (schwarze vertikale Linie), für den gilt, dass <math>H_{0}</math> verworfen wird, falls der [[STAT-Glossar#Stichprobenmittelwert|Stichprobenmittelwert]] den [[STAT-Glossar#Kritische(r)_Wert(e)|kritischen Wert]] überschreitet,

* die [[STAT-Glossar#Wahrscheinlichkeit|Wahrscheinlichkeit]] für einen [[STAT-Glossar#Fehler_1._Art|Fehler 1. Art]] (rote Fläche unter der roten Kurve),

* die [[STAT-Glossar#Wahrscheinlichkeit|Wahrscheinlichkeit]] für einen [[STAT-Glossar#Fehler_2._Art|Fehler 2. Art]] (blaue Fläche unter der blauen Kurve).

Indem Sie beim nächsten Durchgang <math>\mu</math>, <math>n</math> oder <math>\alpha</math> variieren, können Sie die Wirkung Ihrer Wahl auf die [[STAT-Glossar#Wahrscheinlichkeit|Wahrscheinlichkeit]] für einen [[STAT-Glossar#Fehler_2._Art|Fehler 2. Art]] studieren. Wir empfehlen Ihnen, immer nur eine der drei Größen relativ zum vorherigen Durchgang zu verändern, um die Wirkungen zu verstehen. Ab dem zweiten Durchgang wird Ihnen stets die Grafik zu Ihrer aktuellen Wahl (unteres Bild) von <math>\mu</math>, <math>n</math> und <math>\alpha</math>, also auch die Grafik zum vorherigen Durchgang (oberes Bild) gezeigt.
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