Quelltext der Seite Verteilung des Stichprobenanteilswertes/Beispiel: Urne

=={{Vorlage:Beispiele}}==


===Urne===

Aus einer Urne mit <math>N</math> Kugeln, unter denen ein Anteil <math>\pi</math> roter Kugeln ist, werden [[Stichprobe]]n im [[Stichprobenumfang|Umfang]] <math>n</math> [[Zufallsauswahlmodell ohne Zurücklegen|ohne Zurücklegen]] gezogen.

Bestimmen Sie die [[Wahrscheinlichkeit]]en, in den [[Stichprobe]]n Anteilswerte roter Kugeln zwischen <math>p_1</math> und <math>p_2</math> zu finden.

====Grundgesamtheit vom Umfang N=5====

Aus einer [[Grundgesamtheit]] mit dem [[Stichprobenumfang|Umfang]] <math>N = 5</math> und <math>\pi = 0,4</math> wird eine [[uneingeschränkte Zufallsstichprobe]] vom [[Stichprobenumfang|Umfang]] <math>n = 3</math> entnommen.

Die [[Zufallsvariable]] <math>X\;</math> als Summe der 3 [[Stichprobenvariable]]n beinhaltet die Anzahl der roten Kugeln in der [[Stichprobe]] und die [[Zufallsvariable]] <math>\widehat{\pi}= \frac{X }{n}</math> den Anteil der roten Kugeln in der [[Stichprobe]].

* Welcher [[Verteilung (stochastisch)|Verteilung]] genügt die Anzahl bzw. der Anteil der roten Kugeln in der [[Stichprobe]]?
* Wie groß ist die [[Wahrscheinlichkeit]], in der [[Stichprobe]] Anteilswerte zwischen <math>\frac{1}{3}</math> und <math>\frac{2}{3}</math> zu finden ? 

Da die [[Grundgesamtheit]] endlich ist und bei einer [[uneingeschränkte Zufallsstichprobe|uneingeschränkten Zufallsstichprobe]] die [[Element]]e [[Zufallsauswahlmodell ohne Zurücklegen|ohne Zurücklegen]] entnommen werden, ist die [[Stichprobenfunktion]] <math>X\;</math> [[Hypergeometrische Verteilung|hypergeometrisch verteilt]]:

<math>X \sim H ( N; M; n ) = H ( 5;2;3 )\;</math>, wobei <math>M = 0,4 \cdot 5 = 2</math> ist.

Die gesuchte [[Wahrscheinlichkeit]] ist <math>P( \frac{1}{3} \leq \widehat{\pi} \leq \frac{2}{3} )</math>.

Wegen <math>X = n\cdot \widehat{\pi} </math> und somit <math>x_1 = 3 \cdot \frac{1}{3}  = 1</math> und <math>x_2 = 3 \cdot \frac{2}{3} = 2</math> entspricht dies der [[Wahrscheinlichkeit]] <math>P( 1 \leq X \leq 2 )</math>.

<math>P( 1 \leq X \leq 2 ) = f(1) + f(2) = 0,6 +0,3 = 0,9</math>.

{| 
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x=c(0:2)
H1 <- dhyper(x, n=3, m=2, k=3)
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</R>
|}

====Grundgesamtheit vom Umfang N=1000====

Aus einer [[Grundgesamtheit]] mit dem [[Umfang der Grundgesamtheit|Umfang]] <math>N = 1000</math> und <math>\pi = 0,2</math> wird eine [[uneingeschränkte Zufallsstichprobe]] vom [[Stichprobenumfang|Umfang]] <math>n = 4</math> entnommen.

Die [[Zufallsvariable]] <math>X\;</math> als Summe der 4 [[Stichprobenvariable]]n beinhaltet die Anzahl der roten Kugeln in der [[Stichprobe]] und die [[Zufallsvariable]] <math>\widehat{\pi}= \frac{X}{n}</math> den Anteil der roten Kugeln in der [[Stichprobe]].

* Welcher [[Verteilung (stochastisch)|Verteilung]] genügt die Anzahl bzw. der Anteil der roten Kugeln in der [[Stichprobe]]?
* Wie groß ist die [[Wahrscheinlichkeit]], in der [[Stichprobe]] Anteilswerte zwischen 0,25 und 0,75 zu finden? 

Da eine [[uneingeschränkte Zufallsstichprobe]] gezogen wird und die [[Grundgesamtheit]] endlich ist, ist die [[Zufallsvariable]] [[Hypergeometrische Verteilung|hypergeometrisch verteilt]]: <math>X \sim H ( 1000; 200 ; 4 )\;</math>.

Da aber zum einen der [[Umfang der Grundgesamtheit]] sehr groß und zum anderen der [[Auswahlsatz]] <math>\frac{n}{ N} = 0,004 < 0,05</math> ist, kann die Endlichkeit der [[Grundgesamtheit]] vernachlässigt und [[Approximation|approximativ]] die [[Binomialverteilung]] mit <math>\pi = \frac{M}{N} = 0,2</math> verwendet werden, so dass gilt: <math>X \approx B ( 4; 0,2 )</math>

Die gesuchte [[Wahrscheinlichkeit]] ist <math>P( 0,25 \leq \widehat{\pi} \leq 0,75 )</math>.

Wegen <math>X = n \cdot \widehat{\pi}</math> und somit <math>x_1 = 4 \cdot 0,25 = 1</math> und <math>x_2 = 4 \cdot 0,75 = 3</math> entspricht dies der [[Wahrscheinlichkeit]] <math>P( 1 \leq X \leq 3 )</math>.

<math>P( 1 \leq X \leq 3 ) = F_B( 3 ) - F_B( 0 ) = 0,9984 - 0,4096 = 0,5888</math>

<math>F_B( 3 )</math> und <math>F_B( 0 )</math> findet man in der Tabelle der [[Verteilungsfunktion (stochastisch, eindimensional)|Verteilungsfunktion]] der [[Binomialverteilung]] <math>B ( 4; 0,2 )</math>.

{| 
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x=c(0:4)
H1 <- dbinom(x, size=4, prob=0.2)
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</R>
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<!--
[[Bild:STAT-S2_32_e_2.gif]]
-->

====Grundgesamtheit vom Umfang N=2500====

Aus einer [[Grundgesamtheit]] mit dem [[Umfang der Grundgesamtheit|Umfang]] <math>N = 2500</math> und <math>\pi = 0,2</math> wird eine [[uneingeschränkte Zufallsstichprobe]] vom [[Stichprobenumfang|Umfang]] <math>n = 100</math> entnommen.

Die [[Zufallsvariable]] <math>X\;</math> als Summe der 100 [[Stichprobenvariable]]n beinhaltet die Anzahl der roten Kugeln in der [[Stichprobe]] und die [[Zufallsvariable]] <math>\widehat{\pi}= \frac{X }{n}</math> den Anteil der roten Kugeln in der [[Stichprobe]].

* Welcher [[Verteilung (stochastisch)|Verteilung]] genügt die Anzahl bzw. der Anteil der roten Kugeln in der [[Stichprobe]]?
* Wie groß ist die [[Wahrscheinlichkeit]], in der [[Stichprobe]] Anteilswerte zwischen 0,14 und 0,3 zu finden ? 

Da die [[Grundgesamtheit]] endlich ist und eine [[uneingeschränkte Zufallsstichprobe]] gezogen wird, ist die [[Zufallsvariable]] <math>X</math> [[Hypergeometrische Verteilung|hypergeometrisch verteilt]]: <math>X \sim H ( 2500 ; 500 ; 100 )\;</math>.

Da der [[Stichprobenumfang]] <math>n = 100</math> groß ist und die Kriterien 

<math>n \cdot \frac{M}{N} = 100 \cdot 0,2 = 20 \geq 5</math> 

<math>n \cdot ( 1 - \frac{M}{N} ) = 80 \geq 5</math> und 

<math>\frac{n}{N} = 0,04 < 0,05</math> 

erfüllt sind, kann [[Approximation|approximativ]] die [[Normalverteilung]] verwendet werden.

Es sind:

<math>E \left[ \widehat{\pi} \right] = \pi = 0,2</math>

<math>Var ( \widehat{\pi}) =\frac{ \pi \cdot ( 1 - \pi )}{ n }\cdot \frac{ N -n }{ N -1 } = 0,001537</math>

<math>\sigma( \widehat{\pi}) = 0,039 \approx 0,04</math>.

Somit wird die [[hypergeometrische Verteilung]] durch die <math>N ( 0,2 ; 0,04 )</math> [[Approximation|approximiert]]. 

Dabei wird zur Vereinfachung auf die [[Stetigkeitskorrektur]] verzichtet.

Die gesuchte [[Wahrscheinlichkeit]] ist <math>P( 0,14 \leq \widehat{\pi}\leq 0,3 )</math>:

Wegen <math>z_2 = \frac{0,3 - 0,2 }{0,04} = 2,5</math> und <math>z_1= \frac{0,14 - 0,2}{ 0,04} = - 1,5</math> gilt:

<math>P( 0,14 \leq \widehat{\pi}\leq 0,3 ) =\Phi (2,5) - \Phi (- 1,5) = \Phi (2,5) - ( 1 - \Phi (1,5) ) = 0,99379 - (1 - 0,933193) = 0,9269</math>.

<math>\Phi(2,5)</math> und <math>\Phi(1,5)</math> findet man in der Tabelle der [[Verteilungsfunktion (stochastisch, eindimensional)|Verteilungsfunktion]] der [[Standardnormalverteilung]].

{| 
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