نظرية الحد المركزية

$X_{1},X_{2},\dots ,X_{n}$ مع التوزيع الطبيعي تكون موزعة توزيعا طبيعيا. تبقى هذه الخاصة صحيحة لأي قيمة من n.

اذا المتغيرات العشوائية $X_{1},X_{2},\dots ,X_{n}$ ليست موزعة توزيعا طبيعيا, عندئذ هذه الخاصة ليست صحيحة بشكل تام لكنها تبقى صحيحة بشكل تقريبي عند حجم n كبيرة.

لدينا: $X_{1},X_{2},\dots ,X_{n}$ المتغيرات العشوائية الموزعة بشكل مستقل والمتماثلة مع $\mu$ = ($X_{i}$) E

و $\sigma ^{2}>0$ = ($X_{i}$ ) Var لأجل i=1,....nعندئذ مجموع هذه المتغيرات العشوائية لأجل n كبيرة توزع بشكل طبيعي تقريبا:

$E(X_{1}+X_{2}+\ldots +X_{n})=n\mu$

$Var(X_{1}+X_{2}+\ldots +X_{n})=n\sigma ^{2}$

$X_{1}+X_{2}+\ldots +X_{n}\approx N(n\mu ,\;n\sigma ^{2})$,

حيث $\approx$ يعني التقريب لأجل n كبيرة.

لدينا: $X_{1},X_{2},\dots ,X_{n}$ المتغيرات العشوائية الموزعة بشكل مستقل والمتماثلة مع $\mu$ = ($X_{i}$) E و $\sigma ^{2}>0$ = ($X_{i}$ ) Var لأجل i=1,....n عندئذ

الوسط الحسابي لهذه المتغيرات العشوائية لأجل n كبيرة توزع بشكل طبيعي تقريبا.

تتطلب هذه النتيجة بأن لا أحد من المتغيرات العشوائية مسؤول عن أغلب التباين.

يعتمد التوزيع ( $\mu ,{\frac {\sigma ^{2}}{n}}$ ) N على العدد المحدد n و لأجل n غير نهائية سيكون عنده $X_{1},\dots ,X_{n}$ المتغيرات العشوائية الموزعة بشكل مستقل ومتماثل :

$\mu$ = ($X_{i}$) E

$\sigma ^{2}>0$ = ($X_{i}$ ) Var

عندئذ $F_{n}(z)=P(Z_{n}\leq z)$ من ${\overline {x}}$

خطأ رياضيات (خطأ في التحويل. أبلغ الخادوم («cli») عن: «SyntaxError: Illegal TeX function Found \sigin 1:78»): {\displaystyle Z_{n}=\frac{\sum\limits_{i=1}^{n}\frac{X_{i}}{n}-\mu }{\sqrt{\sig... ...{2}/n}}= \frac{1}{\sqrt{n}}\sum_{i}{1}^{n}\frac{\frac{X_{i}}{n}-\mu }{\sigma } }

يقترب $\rightarrow \infty$ n ليكون التوزيع الطبيعي المعياري :

$\lim _{n\rightarrow \infty }F_{n}(z)=\Phi (z)$

يوزع المتغير العشوائي المعياري $Z_{n}$بشكل تقريبي كتوزيع طبيعي معياري:

$Z_{n}\approx N(0;1)$