مجال الثقة للمتوسط

$X\sim N(\mu ;\sigma ^{2})\,,\ X_{i}\sim N(\mu ;\sigma ^{2})\$ و

${\bar {x}}\sim N(\mu ,\sigma ^{2}({\bar {x}}))$

سنحتاج ثانية المتغير العشوائي الذي يعتمد فقط على العنصر المجهول $\mu$ المتغير العشوائي المعياري $z$ لن يعمل لأنه يتطلب لنا معرفة $\sigma ^{2}$ نفرض التباين $\sigma ^{2}$ يقدر باستعمال

$s^{2}={\frac {1}{n-1}}\sum \limits _{i=1}^{n}(X_{i}-{\bar {x}})^{2}\,.$

ونستبدل بالانحراف المعياري $\sigma$ للحصول $s$

$t={\sqrt {n}}{\frac {{\bar {x}}-\mu }{s}}\,.$

يتبع المتغير العشوائي توزيع-t مع درجة الحرية $n-1$ .

$t\sim t(n-1)$

ندع $t_{n-1;\alpha /2}$ لتكون المقدار $\alpha /2$ و $t_{n-1;1-\alpha /2}$ لتكون المقدار $(1-\alpha /2)$ لتوزيع-t وبسبب تناظر توزيع-t

$t_{n-1;\alpha /2}=-t_{n-1;1-\alpha /2}\,,$

حينئذ ينتج:

$P(-t_{n-1;1-\alpha /2}\leq t\leq t_{n-1;1-\alpha /2})=1-\alpha \,.$

لأجل الاحتمال $1-\alpha /2$ يحصل المرء عندئذ على $t_{n-1;1-\alpha /2}$ من جدول توزيع-t.

نستبدل t وبعد اجراء بعض العمليات الجبرية لدينا مجال الثقة:

$\left[{\bar {x}}-t_{n-1;1-{\frac {\alpha }{2}}}\cdot {\frac {s}{\sqrt {n}}}\,,\,\,\,{\bar {x}}+t_{n-1;1-{\frac {\alpha }{2}}}\cdot {\frac {s}{\sqrt {n}}}\right]$

للعنصر المجهول $\mu$ مع المجال الاحتمالي المطابق ويعطى مجال الثقة بواسطة:

$P\left({\bar {x}}-t_{n-1;1-{\frac {\alpha }{2}}}\cdot {\frac {s}{\sqrt {n}}}......q{\bar {x}}+t_{n-1;1-{\frac {\alpha }{2}}}\cdot {\frac {s}{\sqrt {n}}}\right)=1-\alpha \,.$

حيث يقترب توزيع-t للتوزيع $N(0;1)$ لما حجم العينة $n$ يزداد.

سيستخدم التوزيع الطبيعي المعياري بدلا من توزيع-t اذا حجم العينة كبير بشكل كافي كقاعدة تجريب في حالة خطأ رياضيات (خطأ في التحويل. أبلغ الخادوم («cli») عن: «SyntaxError: Expected "-", "[", "\\", "\\begin", "\\begin{", "]", "^", "_", "{", "}", [ \t\n\r], [%$], [().], [,:;?!'], [/|], [0-9], [><~], [\-+*=], or [a-zA-Z] but "&" found.in 1:18»): {\displaystyle n&gt;30.}

خواص مجال الثقة:

• الخواص مشابهة كما في الحالة السابقة ما عدا طول مجال الثقة ليس ثابت لكن المتغير العشوائي يعتمد على التقدير $s$ من $\sigma$

$2t_{n-1;1-{\frac {\alpha }{2}}}\cdot {\frac {s}{\sqrt {n}}}\,$

مع حجم العينة المعطاة $n$ ومستوى الثقة $1-\alpha$ يحصل المرء على مجالات تقدير مختلفة من عينة لأخرى والذي سيعرض أطوال مختلفة.

• يعتمد طول مجال الثقة على حجم العينة $n$ وعلى

$t_{n-1;1-\alpha /2}$ ومستوى الثقة المعطاة $1-\alpha$.

• المقدار من

$t_{n-1;1-\alpha /2}$ توزيع-t أكبر من المقدار $z_{1-\alpha /2}$ من التوزيع الطبيعي المعياري ومجالات الثقة ستصبح أعرض عندما التباين مجهول.

• اذا توزيع المجتمع مجهول عندئذ باستعمال نظرية الحد المركزية, ${\bar {x}}$

تقرب للتوزيع الطبيعي وينتج الاجراء فوق مجالات الثقة التقريبية.