مجال الثقة للتباين

$(1-\alpha /2)$ لتوزيع كاي مربع مع درجة الحرية $f=n-1$

بواسطة العملية الجبرية نعزل $\sigma ^{2}$ في منتصف العبارة الاحتمالية :

$P\left({\frac {(n-1)S^{2}}{\chi _{1-{\frac {\alpha }{2}};n-1}^{2}}}\leq \sigma ^{2}\leq {\frac {(n-1)S^{2}}{\chi _{{\frac {\alpha }{2}};n-1}^{2}}}\right)=1-\alpha$

يكون مجال الثقة المطابق .

$\left[{\frac {(n-1)S^{2}}{\chi _{1-{\frac {\alpha }{2}};n-1}^{2}}},\quad {\frac {(n-1)S^{2}}{\chi _{{\frac {\alpha }{2}};n-1}^{2}}}\right]$

التعريف هو نفسه كالسابق , النسبة $(1-\alpha )$ لمجالات الثقة بهذه الطريقة ستحتوي قيمة العنصر الحقيقي $\sigma ^{2}$ .

خواص مجال الثقة:

• تخصص مجالات الثقة احتمالات متساوية الى:

$P\left(\sigma ^{2}<{\frac {(n-1)S^{2}}{\chi _{1-{\frac {\alpha }{2}};n-1}^{2}}}\right)={\frac {\alpha }{2}},\quad P\left({\frac {(n-1)S^{2}}{\chi _{{\frac {\alpha }{2}};n-1}^{2}}}<\sigma ^{2}\right)={\frac {\alpha }{2}}$

• لا يكون مجال الثقة متناظر حول تقدير النقطة $s^{2}$ , حيث توزيع كاي مربع ليس توزيع متناظر .

• طول مجال الثقة هو

$(n-1)S^{2}\left({\frac {1}{\chi _{{\frac {\alpha }{2}};n-1}^{2}}}-{\frac {1}{\chi _{1-{\frac {\alpha }{2}};n-1}^{2}}}\right)$

يعتمد على قيم العينة $x_{1},\ldots ,x_{n}$ وهو متغير عشوائي . يعتمد طول المجال أيضا على حجم العينة $n$ ودرجة الثقة $1-\alpha$.