مجال الثقة للتباين

مجال الثقة للتباين,بناء مجالات الثقة للتباين – المثال التفاعلي,مثال : مجالات الثقة للتباين

8.7 مجال الثقة للتباين

نريد اشتقاق مجال الثقة للتباين المجهول $\sigma ^{2}$ للمجتمع تحت الشروط التالية :

1- المجتمع له توزيع طبيعي $X\sim N(\mu ;\sigma ^{2})$.

2-التوقع $E(X)=\mu$ مجهول .

3- نسحب العينة العشوائية من الحجم $n$ , المتغيرات العشوائية $X_{1},\ldots ,X_{n}$ مستقلة ومتطابقة وموزعة بشكل طبيعي .

كما رأينا في السابق , يعطى المقدر غير المتحيز للتباين المجهول $\sigma ^{2}$ بواسطة :

$S^{2}={\frac {1}{n-1}}\sum \limits _{i=1}^{n}(X_{i}-{\bar {X}})^{2}$

كما رأينا من قبل أن (شاهد توزيع تباين العينة )

${\frac {(n-1)S^{2}}{\sigma ^{2}}}={\frac {1}{\sigma ^{2}}}\sum \limits _{i=1}^{n}(X_{i}-{\bar {X}})^{2}=\sum \limits _{i=1}^{n}\left({\frac {X_{i}-{\bar {X}}}{\sigma }}\right)^{2}$

له توزيع كاي مربع مع $f=n-1$ درجة الحرية.

يمكن عمل العبارة الاحتمالية بالصيغة التالية :

$P\left({\frac {\sigma ^{2}\chi _{{\frac {\alpha }{2}};n-1}^{2}}{n-1}}\leq S^{2}\leq {\frac {\sigma ^{2}\chi _{1-{\frac {\alpha }{2}};n-1}^{2}}{n-1}}\right)=1-\alpha$

هنا $\chi _{{\frac {\alpha }{2}};n-1}^{2}$ للمقدار $\alpha /2$ و $\chi _{1-{\frac {\alpha }{2}};n-1}^{2}$ للمقدار لتوزيع كاي مربع مع درجة الحرية $f=n-1$

بواسطة العملية الجبرية نعزل $\sigma ^{2}$ في منتصف العبارة الاحتمالية :

$P\left({\frac {(n-1)S^{2}}{\chi _{1-{\frac {\alpha }{2}};n-1}^{2}}}\leq \sigma ^{2}\leq {\frac {(n-1)S^{2}}{\chi _{{\frac {\alpha }{2}};n-1}^{2}}}\right)=1-\alpha$

يكون مجال الثقة المطابق .

$\left[{\frac {(n-1)S^{2}}{\chi _{1-{\frac {\alpha }{2}};n-1}^{2}}},\quad {\frac {(n-1)S^{2}}{\chi _{{\frac {\alpha }{2}};n-1}^{2}}}\right]$

التعريف هو نفسه كالسابق , النسبة $(1-\alpha )$ لمجالات الثقة بهذه الطريقة ستحتوي قيمة العنصر الحقيقي $\sigma ^{2}$ .

خواص مجال الثقة:

• تخصص مجالات الثقة احتمالات متساوية الى:

$P\left(\sigma ^{2}<{\frac {(n-1)S^{2}}{\chi _{1-{\frac {\alpha }{2}};n-1}^{2}}}\right)={\frac {\alpha }{2}},\quad P\left({\frac {(n-1)S^{2}}{\chi _{{\frac {\alpha }{2}};n-1}^{2}}}<\sigma ^{2}\right)={\frac {\alpha }{2}}$

• لا يكون مجال الثقة متناظر حول تقدير النقطة $s^{2}$ , حيث توزيع كاي مربع ليس توزيع متناظر .

• طول مجال الثقة هو

$(n-1)S^{2}\left({\frac {1}{\chi _{{\frac {\alpha }{2}};n-1}^{2}}}-{\frac {1}{\chi _{1-{\frac {\alpha }{2}};n-1}^{2}}}\right)$

يعتمد على قيم العينة $x_{1},\ldots ,x_{n}$ وهو متغير عشوائي . يعتمد طول المجال أيضا على حجم العينة $n$ ودرجة الثقة $1-\alpha$.