مثال : مجال الثقة لفرق المتوسطين

مثال : مجالات الثقة لفرق المتوسطين

يريد نادي السيارات المقارنة بين استهلاك الغاز لنوعين متشابهين من السيارات المنتجة من قبل الشركة A و B لمساعدة النادي سنبني مجال الثقة للفرق بين المتوسطين $\mu _{1}-\mu _{2}$ عند درجة الثقة .

نعمل الافتراضات التالية:

• نفرض المتغيرات العشوائية:

$X_{1}=$ استهلاك الغاز كل 100 كم لسيارات النوع A.

$X_{2}=$ استهلاك الغاز كل 100 كم لسيارات النوع B.

وهذه المتغيرات لها توزيع طبيعي مع المتوسطات المجهولة $E(X_{1})=\mu _{1}$ و $E(X_{2})=\mu _{2}$ والتباينات المجهولة $Var(X_{1})=\sigma _{1}^{2}$ و $Var(X_{2})=\sigma _{2}^{2}$. ولا نفرض التباينات متساوية.

• نفرض $n_{1}\geq 30$ و $n_{2}\geq 30$

• المجتمعات كبيرة لذلك نأخذ العينات مع الاعادة.

• نفرض كل المشاهدات مستقلة .

يبنى مجال الثقة للفرق $\mu _{1}-\mu _{2}$ باستعمال:

$\left[({\bar {x}}_{1}-{\bar {x}}_{2})-z_{1-{\frac {\alpha }{2}}}{\sqrt {{\frac {s_{1}^{2}}{n_{1}}}+{\frac {s_{2}^{2}}{n_{2}}}}},\,\,\,\,\,({\bar {x}}_{1}-{\bar {x}}_{2})+z_{1-{\frac {\alpha }{2}}}{\sqrt {{\frac {s_{1}^{2}}{n_{1}}}+{\frac {s_{2}^{2}}{n_{2}}}}}\right]$

ويكون مع درجة الثقة التقريبية:

$P\left(({\bar {x}}_{1}-{\bar {x}}_{2})-z_{1-{\frac {\alpha }{2}}}{\sqrt {{\frac {s_{1}^{2}}{n_{1}}}+{\frac {s_{2}^{2}}{n_{2}}}}}\,\quad \leq \quad \mu _{1}-\mu _{2}\quad \leq \quad ({\bar {x}}_{1}-{\bar {x}}_{2})+z_{1-{\frac {\alpha }{2}}}{\sqrt {{\frac {s_{1}^{2}}{n_{1}}}+{\frac {s_{2}^{2}}{n_{2}}}}}\right)=0,95$

حيث $z_{1-\alpha /2}=1,96$.

يختبر نادي السيارات 36 سيارة للشركة A و 40 سيارة للشركة B ,حسبت المقادير التالية باللتر لكل 100 كم:

${\bar {x}}_{1}=9,2{\mbox{ l}}/100{\mbox{ km}}$	$s=0,6{\mbox{ l}}/100{\mbox{ km}}$
${\bar {x}}_{2}=8,4{\mbox{ l}}/100{\mbox{ km}}$	$s=0,4{\mbox{ l}}/100{\mbox{ km}}$

يكون مجال الثقة:

$\left[(9,2-8,4)-1,96\cdot {\sqrt {{\frac {0,6^{2}}{36}}+{\frac {0,4^{2}}{40}}}}\;;\;(9,2-8,4)+1,96\cdot {\sqrt {{\frac {0,6^{2}}{36}}+{\frac {0,4^{2}}{40}}}}\right]=[0,586\;;\;1,032]$

لا يغطي هذا المجال القيمة 0 , سنرى لاحقا بأنه يتضمن اختلاف دلالي احصائي في متوسط استهلاك الغاز ما بين المجتمعين.