مثال للتوزيع الأسي

$\lambda$.

يصور المثال التالي توزيع بواسون. نفترض وجود ألة فيها عيبان, بالمتوسط العيوب المسجلة كل أسبوع.

ندع t = عدد المجالات مع طول ثابت (بالأسابيع).

a -احتمال عدم وجود عيوب مسجلة في الأسبوع هو :

$Y_{1}$: "عدد العيوب كل أسبوع" مع t=1.

$E(Y_{1})=\lambda =2\,,\qquad Y_{1}\sim PO(2)$

$f_{PO}(y_{1};\lambda )={\frac {(\lambda t)^{y_{1}}}{y_{1}!}}e^{-\lambda x}={\frac {(2\cdot 1)^{0}}{0!}}e^{-2\cdot 1}=e^{-2}=0.1353$

b-احتمال عدم تسجيل عيوب خلال أسبوعين : $Y_{2}$: "عدد العيوب في أسبوعين" مع t=2

$E(Y_{2})=\lambda t=2\cdot 2\,,\qquad Y_{2}\sim PO(4)$

$P(Y_{2}=0)={\frac {(2\cdot 2)^{0}}{0!}}e^{-2\cdot 2}={\frac {4^{0}}{0!}}e^{-4}=e^{-4}=0.0183$

بالعموم يعطى احتمال عدم تسجيل عيوب في (أسابيع t) كالتالي : $Y$: "عدد العيوب في t أسبوع"

E(Y) = $\lambda$ t

Y $\qquad$ $\sim$ PO( $\lambda$ t)

$P(Y=0)=frac{(\lambda t)^{0}}{0!}e^{-\lambda t}=e^{-\lambda t}$

لذلك نهتم بايجاد الاحتمال المرتبط بظهور العطل القادم , على سبيل المثال سيكون على الأقل

أسبوعين قبل ظهور العطل القادم, X: "زمن الانتظار حتى ظهور العطل القادم".

لحساب ( $X>2$ ) P نستعمل التوزيع الأسي

$P(X>2)=1-P(X\leq 2)=1-F_{EX}(x;\lambda )=1-(1-e^{-\lambda x})=e^{-\lambda x}=e^{-2\cdot 2}=0.0183$

هذه القيمة تماما كالاحتمال P( = 0)

من توزيع بواسون , لأجل المتغير العشوائي Y"في أسبوعين بدون أعطال مسجلة".

تابع الكثافة الاحتمالي ( EX(2

تابع التوزيع ( EX(2

لاحظ : f(x) = F(X)