مثال الاستقلال العشوائي

$X$ بالنتائج المحتملة نعم $x_{1}=\$ و لا $\ x_{2}=\$)

فيما اذا مهتمين بالسياسة (المتغير العشوائي $Y$ بالنتائج المحتملة مهتم جدا $y_{1}=\$ , مهتم$y_{2}=\$ , متوسط الاهتمام$y_{3}=\$ , قليل الاهتمام$y_{4}=\$ , غير مهتم $y_{5}=\$ )

يعطى التوزيع الاحتمالي المشترك لهذين المتغيرين العشوائيين في الجدول التالي:

التصويت	الاهتمام بالسياسة					$X$
	مهتم جدا $\left(\mathbf {\ y_{1}} \right)$	مهتم $\left(\mathbf {y_{2}} \right)$	متوسط الاهتمام $\left(\mathbf {y_{3}} \right)$	قليل الاهتمام $\left(\mathbf {y_{4}} \right)$	غير مهتم $\left(\mathbf {y_{5}} \right)$
نعم $x_{1}$	0.107	0.196	0.398	0.152	0.042	0.895
لا $x_{2}$	0.006	0.011	0.036	0.031	0.021	0.105
MR $Y$	0.113	0.207	0.434	0.183	0.063	1.000

نحصل من التوزيع المشترك على التوزيعات الشرطية:

a-التوزيع الشرطي $f(y_{j}\vert x_{i})$

التصويت	الاهتمام بالسياسة
	مهتم جدا $\left(\mathbf {\ y_{1}} \right)$	مهتم $\left(\mathbf {y_{2}} \right)$	متوسط الاهتمام $\left(\mathbf {y_{3}} \right)$	قليل الاهتمام $\left(\mathbf {y_{4}} \right)$	غير مهتم $\left(\mathbf {y_{5}} \right)$
نعم ( $x_{1}$ )	0.120	0.219	0.444	0.170	0.047	1.00
لا ( $X=\$ ) هو 0.219 . من جهة أخرى احتمال المواطن المختار عشوائيا مهتم بالسياسة لكنه لم يصوت في الانتخابات ( لا $X=\$) هو 0.105 b-التوزيع الشرطي $f(x_{i}\vert y_{j})$ التصويت الاهتمام بالسياسة   مهتم جدا $\left(\mathbf {\ y_{1}} \right)$ مهتم متوسط الاهتمام Mmengjavaimg1029.gif قليل الاهتمام غير مهتم $\left(\mathbf {y_{5}} \right)$ نعم ( $x_{1}$ ) 0.947 0.947 0.917 0.831 0.667 لا ( $x_{2}$ ) 0.053 0.053 0.083 0.169 0.333   1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 احتمال الشخص قليل الاهتمام بالسياسة (قليل الاهتمام $Y=\$) و صوت في الانتخابات الأخيرة هو 0.831 . نقارن التوزيعات الشرطية $f(y_{j}\vert x_{i})$ و$f(x_{i}\vert y_{j})$ التي تشير بأن هذه المتغيرات العشوائية غير مستقلة, عندما تختلف التوزيعات الشرطية. يثبت استقلال هذه المتغيرات بحساب $f(x_{i},y_{j})=f(x_{i})f(y_{j})$ لأجل $i$ و $j,$ ومقارنتها مع القيم الملاحظة من $f(x_{i},y_{j})$ , على سبيل المثال , $f(x_{1})f(y_{2})=0.895\cdot 0.207=0.185$ لكنه غير مساوي للاحتمال المشترك $f(x_{1},y_{2})=0.196$ (شاهد الجدول 1) يعني هذه المتغيرات العشوائية غير مستقلة. مثال لمتغيرين عشوائيين مستمرين : المتغيرات العشوائية المستمرة $X$ و$Y$ لها الكثافة الاحتمالية المشتركة: خطأ رياضيات (خطأ في التحويل. أبلغ الخادوم («cli») عن: «SyntaxError: Illegal TeX function Found \texin 4:23»): {\displaystyle f(x,y)=\left\{ \begin{array}{cl} \frac{x+3y}{2}\quad & \tex... ...m and }0<y<1 \\ 0 & \text{\rm otherwise} \end{array}\right. , } مع التوزيعات الهامشية خطأ رياضيات (خطأ في التحويل. أبلغ الخادوم («cli») عن: «SyntaxError: Illegal TeX function Found \begin{array}in 3:1»): {\displaystyle f(x)=\left\{ \begin{array}{cl} \frac{x}{2}+\frac{3}{4}\quad... ...rm for }0<x<1 \\ 0 & \text{\rm otherwise} \end{array}\right. } خطأ رياضيات (خطأ في التحويل. أبلغ الخادوم («cli») عن: «SyntaxError: Illegal TeX function Found \quain 4:25»): {\displaystyle f(y)=\left\{ \begin{array}{cl} \frac{3y}{2}+\frac{1}{4}\qua... ...m for }0<y<1 \\ 0 & \text{\rm otherwise.} \end{array}\right. } الشكل 1 : الكثافة المشتركة $f(x;y)$ الشكل 2 : التوزيع الهامشي $X$: $f(x)$ الشكل3  : التوزيع الهامشي $Y$: $f(y)$ $f(x,y)=f(x)f(y)$ خطأ رياضيات (خطأ في التحويل. أبلغ الخادوم («cli») عن: «SyntaxError: Expected "-", "[", "\\", "\\begin", "\\begin{", "]", "^", "_", "{", [ \t\n\r], [%$], [().], [,:;?!'], [/|], [0-9], [><~], [\-+*=], or [a-zA-Z] but end of input found.in 4:2»): {\displaystyle f(x)f(y)=\left( \frac{x}{2}+\frac{3}{4}\right) \left( \frac{3y}{2... ...frac{3}{4}xy+\frac{9}{8}y+\frac{1}{8}x+\frac{3}{16}\neq \frac{x+3y }{2}=f(x,y) } هذه المساواة لا تمثل هذه المتغيرات العشوائية وبالتالي هذه المتغيرات غير مستقلة .