|
|
سطر ١: |
سطر ١: |
| [[صورة:H102.gif]] ''' مثال أخر لاختبار نسبة المجتمع'''
| | <math> \Prob\left( \lq \text{H}_{0}^{\prime }\vert\text{H}_{1}\right) +\Prob\left( \lq \text{H }_{1}^{\prime }\vert\text{H}_{1}\right) =1.</math> |
|
| |
|
|
| |
|
| | لأجل النسبة الحقيقية <math>\pi = 0,35</math>, تنتج صيغة العينة المقادير لعمل خطأ النوع الثاني , يشار للاحتمال بواسطة <math> \beta \left( |
| | 0.35\right) </math> لهذا نكتب : |
|
| |
|
| لدى بروفسور احصائي انطباع بأن مكتبة الجامعة اشترت في العام الماضي كتب احصائية جديدة بأقل
| |
|
| |
|
| نسبة عن السنوات الماضية , خلال السنوات الماضية المقدار النسبي للكتب الاحصائية وسط المشتريات الجديدة
| |
|
| |
|
| كانت أكثر من 10 بالمئة, سأل أحد مساعديه للتحقق فيما اذا هناك تغير لصالح الأقسام الأخرى , بالنيابة
| | <math> \beta \left( 0.35\right) +\Prob\left( \lq \text{H}_{1}^{\prime }\vert\text{H} _{1}\right) =1</math> |
| | |
| عن طلابه يريد تأمين أكبر عدد ممكن من الكتب الجديدة , يسأل مساعده لتصغير خطر عدم الشكوى لرئيس
| |
| | |
| المكتبة , عدم نقصان نسبة الكتب الاحصائية , يقرر المساعد أخذ عينة من 25 كتاب مأخوذة من ملف يحتوي المشتريات الجديدة على مدى الأشهر 12 الأخيرة .
| |
| | |
| يريد معرفة هل هذه الكتب احصائية ويقسم المتغير العشوائي الموضوع للمخرجات احصاء غير احصاء
| |
| | |
| بالطبع
| |
| اذا اعتبرت المشتريات كنتيجة لعملية صنع القرار التي تقوم بها المكتبات , بالنسبة للاحصائيون الذين يعتمدون على العينة لأنهم لا يستطيعون الحصول على جميع المعلومات ذات الصلة ,
| |
| | |
| من مجتمع الكتب الاحصائية , يريد المساعد الاستدلال على مجتمع الكتب المشتراة حديثا , باستعمال الاختبار
| |
| | |
| الاحصائي ليسمح لانحرافات النسبة في العينة عن النسبة في المجتمع , يريد التحقق اذا النسبة تسقط تحت
| |
| | |
| المتوسط 10 بالمئة سنختبر نسبة المجتمع <math>\pi</math> ونختار مستوى الدلالة المعياري <math>\alpha = 0,05</math>
| |
| | |
| | |
| [[صورة:H102.gif]] '''الفرضيات '''
| |
| | |
| | |
| يريد المساعد التحقق اذا النسبة تنخفض مادون 0,1 لذلك يطبق الاختبار الأحادي الجانب
| |
| نتذكر بأن البروفسور يريد تصغير احتمال عدم الكشف بأن النسبة تنخفض لما دون <math>\pi_{0}=0,1</math>
| |
| | |
| لذلك يتجه للاختبار الأحادي الجانب الأيمن بمعنى: نعرض ادعاء البروفسور كفرضية صفرية أصلا في عدم رفضها
| |
| | |
| | |
| <math>H_{0}:\; \pi \leq \pi_{0}=0,1 \quad H_{1}:\; \pi > \pi_{0}=0,1</math>
| |
| | |
|
| |
| يتولى المساعد التحقيق في خصائص هذا الاختبار
| |
| لدينا الموقف ما يدعى خطأ النوع الأول
| |
| | |
| | |
| | |
| <math>'H_1'|H_{0}=</math> " لن تنخفض نسبة الكتب الاحصائية" | تنخفض النسبة .
| |
| | |
| | |
| يعطي الاحتمال الأكبر لهذا الموقف <math>P\left('H_{1}'|H_{0}\right)</math> بواسطة مستوى الدلالة <math>\alpha</math>, والتي توضع مساوية الى <math>\alpha = 0,05</math>
| |
| | |
| اذا الفرضية الصفرية مقبولة عندئذ يظهر خطأ النوع الثاني .
| |
| | |
| | |
| <math>'H_{0}'|H_{1}= </math> "تنخفض نسبة الكتب الاحصائية " | لن تنخفض النسبة.
| |
| | |
| | |
| | |
| احتمال الحدوث هو <math>P\left('H_{0}'|H_{1}\right) =\beta</math>
| |
| غير معلوم لأن النسبة الحقيقية <math>\pi</math> غير معلومة.
| |
| | |
| | |
| | |
| [[صورة:H102.gif]] '''الاختبار الاحصائي وتوزيعه , مجالات القرار '''
| |
| | |
| | |
| سيخدم التقدير <math>X</math>: عدد الكتب الاحصائية في العينة من حجم 25 كتاب, <math>V</math> الاختبار الاحصائي تحت الفرضية <math>H_{0}</math>
| |
| | |
| <math>V = X</math> له التوزيع الثنائي مع العناصر <math>B( 25;\;0,1)</math>
| |
| | |
| يدعم العدد العالي من الكتب الاحصائية في العينة [[الفرضية البديلة]] حيث نسبة الكتب الاحصائية
| |
| | |
| القيمة الحرجة <math>c</math> هي القيمة الفعلية الى <math>X</math> حيث <math>F_{B}\left( c\right)</math> تساوي أو تتجاوز <math>1-\alpha =0,95</math>
| |
| | |
| يتطلب <math>F_{B}\left( x_{c}-1\right) <1-\alpha=0,95</math> و
| |
| <math>F_{B}\left(x_{c}\right) \geq 1-\alpha =0,95</math>.
| |
| | |
| | |
| في جدول [[تابع التوزيع]] التجميعي الى <math>B(25;\; 0,1)</math> سنجد <math>c = 5</math>.
| |
| | |
| | |
| مجال الرفض للفرضية <math>H_{0}</math>
| |
| | |
| | |
| <math>\left\{ v|v>5\right\}=\left\{6,7,\ldots ,25\right\}</math>
| |
| | |
| مع
| |
| | |
| <math>P\left( V>5|0,1\right) =0,0334=\alpha_{exakt}</math>.
| |
| | |
| | |
| يعطى مجال القبول للفرضية <math>H_{0}</math> بواسطة:
| |
| | |
| | |
| <math>\left\{v|v\leq 5\right\} =\left\{0,1,2,3,4,5\right\}</math>
| |
| | |
| | |
| مع
| |
| | |
| | |
| | |
| <math>P\left(V\leq 5|0,1\right) =0,9666</math>.
| |
| | |
| | |
| | |
| [[صورة:H102.gif]] '''العينة وحساب الاختبار الاحصائي '''
| |
| | |
|
| |
| عينة الكتب 25 المختارة من قائمة السنوات الماضية المشتريات الجديدة والمصنفة لكتب احصائية كتب غير احصائية , الكمية الاجمالية للكتب الجديدة كبيرة بشكل كافي عن القيمة النظرية للعينة.
| |
| | |
| نسحب العينة العشوائية البسيطة بمعنى: تنفذ العينات بدون اعادة , مقدار الكتب الاحصائية في العينة <math>x = 3</math>, قيمة الاختبار الاحصائية الفعلية <math>v</math> .
| |
| | |
| | |
| [[صورة:H102.gif]] '''قرار الاختبار والتعاريف '''
| |
| | |
| | |
| | |
| لما <math>v = x = 3</math> تقع في مجال القبول للفرضية <math>H_{0}</math>
| |
| | |
| لن نرفض الفرضية الصفرية , على قاعدة العينة العشوائية من الحجم <math>n = 25</math> ومستوى الدلالة <math>\alpha=0,05</math> , لايستطيع المساعد التمييز احصائيا أن نسبة الكتب الاحصائية تبقى فوق 10 بالمئة , تعني نتيجة هذا الاختبار هذا بأن الشكوى للمكتبة تبدو مبررة.
| |
| | |
| | |
| | |
| [[صورة:H102.gif]] ''' القوة'''
| |
| | |
| | |
| | |
| نعطي عناصر اختبارنا <math>\pi_{0}=0,1,\; n=25,\; \alpha =0,05</math>
| |
| و <math>c=5</math>
| |
| | |
| ما هو احتمال قبول الفرضية الصفرية اذا النسبة الحقيقية للكتب الاحصائية هي <math>\pi = 0,2</math>؟
| |
| ذلك يعني نريد حساب احتمال خطأ النوع الثاني الذي يعطي العنصر المحدد لمجموعة العناصر المرتبطة بالفرضية البديلة <math>\pi = 0,2</math>
| |
| | |
| | |
| <math>\beta \left( \pi = 0,2\right) =P\left('H_{0}'|H_{1}\right)=P\left( V=X\in\;\mbox{ } H_{0}|\pi =0,2\right) =P\left( V\leq 5|\pi =0,2\right)</math>
| |
| | |
| | |
| | |
| في جدول التوزيع الثنائي التجميعي <math>B(25; 0,2)</math>, نجد هذا الاحتمال ليكون 0,6167, اذا
| |
| | |
| ازدادت النسبة الحقيقية الى 20 بالمئة , توجد فرصة 61,67 بالمئة لعدم اكتشاف دلالة الانحراف عن النسبة النظرية 10 بالمئة
| |
| | |
| وهذا الاحتمال للشكوى غير المبررة الصادرة عن البروفسور باعطاء النسبة لترتفع الى 0,2
| |
| | |
| احتمال عمل خطأ النوع الثاني للنسب الحقيقية البديلة <math>\pi</math> , يمكن حسابها بواسطة منحنى القوة
| |
| | |
| تلخص مستويات <math>G( \pi )</math> و <math>1 - G( \pi )</math> , للقيم المتنوعة من <math>\pi</math> في الجدول التالي:
| |
| | |
| | |
| {|border="1"
| |
| |align="center"|<math>\pi</math>
| |
| |align="center"|الفرضية الصحيحة
| |
| |align="center"|<math>G\left( \pi\right)</math>
| |
| |align="center"|<math>1-G\left( \pi\right)</math>
| |
| |-
| |
| |align="center"|<math>0</math>
| |
| |align="center"|<math>H_{0}</math>
| |
| |align="center"|<math>0=\alpha</math>
| |
| |align="center"|<math>1=1-\alpha</math>
| |
| |-
| |
| |align="center"|<math>0,05</math>
| |
| |align="center"|<math>H_{0}</math>
| |
| |align="center"|<math>0,0012=\alpha</math>
| |
| |0,9988
| |
| |-
| |
| |align="center"|<math>0,1</math>
| |
| |align="center"|<math>H_{0}</math>
| |
| |align="center"|<math>0,0334=\alpha_{a}</math>
| |
| |align="center"|<math>0,9666=1-\alpha_{a}</math>
| |
| |-
| |
| |align="center"|<math>0,15</math>
| |
| |align="center"|<math>H_{1}</math>
| |
| |align="center"|<math>0,1615=1-\beta</math>
| |
| |align="center"|<math>0,8385=\beta</math>
| |
| |-
| |
| |align="center"|<math>0,20</math>
| |
| |align="center"|<math>H_{1}</math>
| |
| |align="center"|<math>0,3833=1-\beta</math>
| |
| |align="center"|<math>0,6167=\beta</math>
| |
| |-
| |
| |align="center"|<math>0,25</math>
| |
| |align="center"|<math>H_{1}</math>
| |
| |align="center"|<math>0,6217=1-\beta</math>
| |
| |align="center"|<math>0,3783=\beta</math>
| |
| |-
| |
| |align="center"|<math>0,30</math>
| |
| |align="center"|<math>H_{1}</math>
| |
| |align="center"|<math>0,8065=1-\beta</math>
| |
| |align="center"|<math>0,1935=\beta</math>
| |
| |-
| |
| |align="center"|<math>0,35</math>
| |
| |align="center"|<math>H_{1}</math>
| |
| |align="center"|<math>0,9174=1-\beta</math>
| |
| |align="center"|<math>0,0826=\beta</math>
| |
| |-
| |
| |align="center"|<math>0,40</math>
| |
| |align="center"|<math>H_{1}</math>
| |
| |align="center"|<math>0,9706=1-\beta</math>
| |
| |align="center"|<math>0,0294=\beta</math>
| |
| |-
| |
| |align="center"|<math>0,45</math>
| |
| |align="center"|<math>H_{1}</math>
| |
| |align="center"|<math>0,9914=1-\beta</math>
| |
| |align="center"|<math>0,0086=\beta</math>
| |
| |-
| |
| |align="center"|<math>0,50</math>
| |
| |align="center"|<math>H_{1}</math>
| |
| |align="center"|<math>0,9980=1-\beta</math>
| |
| |align="center"|<math>0,0020=\beta</math>
| |
| |-
| |
| |align="center"|<math>0,60</math>
| |
| |align="center"|<math>H_{1}</math>
| |
| |align="center"|<math>0,9999=1-\beta</math>
| |
| |align="center"|<math>0,0001=\beta</math>
| |
| |-
| |
| |align="center"|<math>0,70</math>
| |
| |align="center"|<math>H_{1}</math>
| |
| |align="center"|<math>1=1-\beta</math>
| |
| |align="center"|<math>0=\beta</math>
| |
| |}
| |
| | |
| | |
| | |
| | |
| | |
| | |
| على سبيل المثال: اذا النسبة الحقيقية للكتب الاحصائية هي : <math>\pi = 0</math>
| |
| | |
| لا تحتوي العينة أي كتب احصائية وسنتوقع <math>x = 0</math> ولن نرفض الفرضية الصفرية.
| |
| | |
| رفض الفرضية الصفرية هو حادث غير ممكن مع الاحتمال المتعلق والمساوي للصفر. [[القوة]] هي الاحتمال الشرطي
| |
| لرفض الفرضية الصفرية والتي تعطي المقدار النسبي المساوي للصفر:
| |
| | |
| | |
| <math>G\left(\pi = 0 \right) =P\left( V=X\in \mbox{ } H_{0}|\pi =0\right) =P\left('H_{1}'|0\right) =0</math>
| |
| | |
| | |
| من جهة أخرى , تكون النسبة الحقيقية للكتب الاحصائية <math>\pi = 0,35</math> , تحسب القوة كالتالي:
| |
| | |
| | |
| | |
| <math>G\left(0,35\right)=P\left(V>5|\pi=0,35\right)=1-P\left(V\leq5|\pi=0,35\right)=1-0,0826=0,9174</math>
| |
| | |
|
| |
| حيث <math>P\left( V\leq 5|\pi=0,35\right)</math> تشاهد في جدول تابع التوزيع التجميعي كقيمة الى <math>B(25; 0,35)</math> , لأجل <math>x_{c}=5</math>
| |
| | |
| <math>G(\pi = 0,35)</math>هو احتمال رفض الفرضية الصفرية بشكل صحيح <math>P\left('H_{1}'|H_{1}\right)=1- \beta</math>
| |
| | |
| احتمالات رفض الفرضيات الصفرية وعدم رفضها يجب أن تجمع للواحد لأي قيمة عنصر حقيقية معطاة ضمن
| |
| | |
| المجال المحدد بواسطة الفرضية البديلة:
| |
| | |
| | |
| [[صورة:Mmengjavaimg3008.gif]]
| |
| | |
| | |
| لأجل النسبة الحقيقية <math>\pi = 0,35</math>, تنتج صيغة العينة المقادير لعمل خطأ النوع الثاني , يشار للاحتمال بواسطة [[صورة:Mmengjavaimg3009.gif]] لهذا نكتب :
| |
| | |
| | |
| | |
| [[صورة:Mmengjavaimg3010.gif]]
| |
|
| |
|
|
| |
|
سطر ٢٦٢: |
سطر ١٣: |
|
| |
|
|
| |
|
| [[صورة:Mmengjavaimg3011.gif]]
| | <math> \Prob\left( \lq \text{H}_{1}^{\prime }\vert\text{H}_{1}\right) =1-\beta \left( 0.35\right) .</math> |
|
| |
|
|
| |
|
|
| |
|
| لما [[صورة:Mmengjavaimg2669.gif]] قيمة القوة عند النقطة <math>\pi = 0,35</math> , نحسب احتمال عمل خطأ النوع الثاني كالتالي: | | لما <math> \Prob |
| | \left( \lq \text{H}_{1}^{\prime }\vert\text{H}_{1}\right) </math> قيمة القوة عند النقطة <math>\pi = 0,35</math> , نحسب احتمال عمل خطأ النوع الثاني كالتالي: |
|
| |
|
|
| |
|
|
| |
|
| [[صورة:Mmengjavaimg3012.gif]]
| | <math> \beta \left( 0.35\right) =1-P\left( 0.35\right) =0.0826.</math> |
|
| |
|
|
| |
|
خطأ رياضيات (خطأ في التحويل. أبلغ الخادوم («cli») عن: «SyntaxError: Illegal TeX function
Found \Probin 1:17»): {\displaystyle \Prob\left( \lq \text{H}_{0}^{\prime }\vert\text{H}_{1}\right) +\Prob\left( \lq \text{H }_{1}^{\prime }\vert\text{H}_{1}\right) =1.}
لأجل النسبة الحقيقية , تنتج صيغة العينة المقادير لعمل خطأ النوع الثاني , يشار للاحتمال بواسطة لهذا نكتب :
خطأ رياضيات (خطأ في التحويل. أبلغ الخادوم («cli») عن: «SyntaxError: Illegal TeX function
Found \Probin 1:43»): {\displaystyle \beta \left( 0.35\right) +\Prob\left( \lq \text{H}_{1}^{\prime }\vert\text{H} _{1}\right) =1}
أو
خطأ رياضيات (خطأ في التحويل. أبلغ الخادوم («cli») عن: «SyntaxError: Illegal TeX function
Found \Probin 1:17»): {\displaystyle \Prob\left( \lq \text{H}_{1}^{\prime }\vert\text{H}_{1}\right) =1-\beta \left( 0.35\right) .}
لما خطأ رياضيات (خطأ في التحويل. أبلغ الخادوم («cli») عن: «SyntaxError: Illegal TeX function
Found \Probin 1:17»): {\displaystyle \Prob \left( \lq \text{H}_{1}^{\prime }\vert\text{H}_{1}\right) }
قيمة القوة عند النقطة , نحسب احتمال عمل خطأ النوع الثاني كالتالي:
اذا النسبة الحقيقية للكتب الاحصائية هي 35 بالمئة , 8.26 بالمئة لكل العينات من الحجم ستقود لقبول الفرضية الصفرية.
بمعنى , لن نكتشف الاختلاف الدلالي ما بين و .
يبين الشكل التالي منحنى القوة للاختبار الأحادي الجانب الأيمن (حيث ناقشنا): و