علاقات الحادث والعمليات

$S$. في تفسير الحوادث كمجموعات , نطبق نفس العمليات والعلاقات للحوادث , والتي تعرف من نظرية المجموعة الرئيسية . سنلخص الأن بعض المفاهيم الأكثر الأهمية لنظرية المجموعات .

$A$ مجموعة ثانوية من $B$ بواسطة $\ A\subset B.$. لهذا اذا وقع الحادث $A$ , سيقع أيضا $B$.

$A$و $B$ حوادث متكافئة اذا وفقط اذا (تختصر `iff`)$\ A\subset B$ و $B\subset A$.

اذا$\ A\subset B$ , عندئذ نعرف متمم $A$ بواسطة $\ {\overline {A}}$ لتكون مجموعة النقاط في $B$ والتي لا تكون في $A$.

اجتماع المجموعات

تدعى مجموعة النقاط التي تنتمي اما للمجموعة $A$ أو المجموعة $B$ باجتماع المجموعتين $A$ و $B$. ويعرف بواسطة $A\cup B$. لهذا اذا وقع الحادث $A\,or\,B$ , عندئذ تؤخذ النتيجة الأساسية في المجموعة $A\cup B$.

$n$ مجموعة وحينئذ للحوادث $n$ $A_{1},A_{2},\ldots ,A_{n}$ : في هذه الحالة لدينا

$A_{1}\cup A_{2}\cup \ldots \cup A_{n}=\cup _{i=1}^{n}A_{i}$

مثال : رمي حجر نرد مرة واحدة

نعرف $A=\{1,2\}$ و $B=\{2,4,6\}$

عندئذ $A\cup B=\{1,2,4,6\}$

النتائج العامة :

$A\cup A=A$

$A\cup S=S$ حيث $S$ فضاء العينة .

$A\cup \emptyset =A$ حيث $\emptyset$ المجوعة الخالية أو المجموعة بدون عناصر .

$A\cup {\overline {A}}=S$

تقاطع المجموعات

تعرف مجموعة النقاط المشتركة للمجموعات $A$ و $B$ بتقاطع $A$ و $B$,$A\cap B$ . لهذا اذا وقع الحادث $A\,and\,B$ , عندئذ تأخذ النتيجة الأساسية في المجموعة $A\cap B$ .

يمكن امتداد تقاطع المجموعات الى $n$ مجموعة وحينئذ للحوادث $n$ $A_{1},A_{2},\ldots ,A_{n}$

$A_{1}\cap A_{2}\cap \ldots \cap A_{n}=\cap _{i=1}^{n}A_{i}$

مثال : رمي حجر نرد مرة واحدة

نعرف $A=\{1,2\}$ و $B=\{2,4,6\}$

عندئذ $A\cap B=\{2\}$

النتائج العامة:

$A\cap A=A$

$A\cap S=A$

$A\cap \emptyset =\emptyset$

$A\cap {\overline {A}}=\emptyset$

$\emptyset \cap S=\emptyset$

الحوادث المنفصلة :

نقول عن المجموعتين أو الحوادث بأنها منفصلة (أو متعارضة) اذا كان تقاطعهم المجموعة الخالية: $A\cap B=\emptyset$. أي الحوادث $A$ و $B$ لا تقع معا.

بالتعريف , $A$ و $\ {\overline {A}}$ متعارضة ولكن لا يقبل العكس , بمعنى ليس بالضرورة الحوادث المنفصلة متممات لبعضها البعض .

مثال : رمي حجر نرد مرة واحدة

نعرف $A=\{1,3,5\}$ و $B=\{2,4,6\}$

عندئذ $B={\overline {A}}$ و $A={\overline {B}}$

$\Rightarrow A\cap B=A\cap {\overline {A}}=\emptyset$

التفسير : الحوادث (المجموعات ) $A$ و $B$ حوادث منفصلة ومتممة .

نعرف $C=\{1,3\}$ و $B=\{2,4\}$

$\Rightarrow C\cap D=\emptyset$

التفسير : الحوادث $C$ و $D$ منفصلة لكنها ليست متممة

الفرق المنطقي للمجموعات أو الحوادث

تعرف المجموعة أو الحادث $C$ الفرق المنطقي للحوادث $A$ و $B$ اذا الحادث $A$ يقع ولكن $B$ لا يقع , بمعنى النتائج في $A$ , لا تكون في $B$ :

$A\backslash B=C\equiv A\cap {\overline {B}}$

$A=\{1,2,3\}$ و $B=\{3,4\}$

عندئذ

$A\backslash B=C=\{1,2\}$ و $B\backslash A=\{4\}$

التحليل المنطقي لفضاء العينة

تدعى مجموعة الحوادث $A_{1},A_{2},\ldots ,A_{n}$, بالتحليل المنفصل الى $S$ , اذا شملت الشروط التالية :

$A_{i}\neq \emptyset \quad \left(i=1,2,\ldots ,n\right)$

$A_{i}\cap A_{k}=\emptyset \quad \left(i\neq k;i,k=1,2,\ldots ,n\right)$

$A_{1}\cup A_{2}\cup \ldots \cup A_{n}=S$

يعتبر الشخص هذا التحليل هو تقسيم لفضاء العينة حيث تسقط كل النتائج الرئيسية لمجموعة واحدة أو حادث.

مثال : رمي حجر نرد

فضاء العينة هو $S=\{1,2,3,4,5,6\}$

نعرف: $A_{1}=\{1\},A_{2}=\{3,4\},A_{3}=\{1,3,4\},A_{4}=\{5,6\},A_{5}=\{2,5\},A_{6}=\{6\}$

القضية : تحليل منفصل واحد معطى بواسطة $A_{1},A_{2},A_{5},A_{6}$ .

البرهان : $A_{1}\cap A_{2}=\emptyset$,$A_{1}\cap A_{5}=\emptyset$,$A_{1}\cap A_{6}=\emptyset$,$A_{2}\cap A_{5}=\emptyset$,$A_{2}\cap A_{6}=\emptyset$,$A_{5}\cap A_{6}=\emptyset$,$A_{1}\cup A_{2}\cup A_{5}\cup A_{6}=S$

${\overline {A\cap B}}={\overline {A}}\cup {\overline {B}}$

${\overline {A\cup B}}={\overline {A}}\cap {\overline {B}}$

الخاصة التجميعية

$\left(A\cap B\right)\cap C=A\cap \left(B\cap C\right)$

$\left(A\cup B\right)\cup C=A\cup \left(B\cup C\right)$

الخاصة التبادلية

$A\cap B=B\cap A$

$A\cup B=B\cup A$

الخاصة التوزيعية

$A\cap \left(B\cup C\right)=\left(A\cap B\right)\cup \left(A\cap C\right)$

$A\cup \left(B\cap C\right)=\left(A\cup B\right)\cap \left(A\cup C\right)$

الخلاصة

التعبير	التقني	الجبري
اذا وقع $A$, عندئذ سيقع $B$ أيضا	$B$ مجموعة ثانوية من $A$	$\ A\subset B$
$A$ و $B$ يقعان معا	$A$و$B$ حوادث متكافئة	$A\equiv B$
$A$و $B$لا يقعان معا	$A$و$B$ حوادث منفصلة	$A\cap B=\emptyset$
$A$ يقع اذا وفقط اذا $B$ لا يقع	$A$ و $B$ حوادث متممة	$B={\overline {A}}$
$A$يقع اذا وفقط اذا على الأقل واحد من $A_{i}$ يقع	$A$هو اجتماع حوادث $A_{i}$	$A=\cup _{i}A_{i}$
$A$ يقع اذا وفقط اذا كل حوادث $A_{i}$ تقع	$A$ تقاطع حوادث $A_{i}$	$A=\cap _{i}A_{i}$