الفرق بين المراجعتين لصفحة: «علاقات الحادث والعمليات»
من MM*Stat Arabisch
(Die Seite wurde neu angelegt: „صورة:H100.gif ''' 3.2 علاقات الحادث والعمليات ''' في القسم السابق , عرفنا الحوادث كمجموعات…“) |
لا ملخص تعديل |
||
سطر ١: | سطر ١: | ||
<math> S</math>. في تفسير الحوادث كمجموعات , نطبق نفس العمليات والعلاقات للحوادث , والتي تعرف من نظرية المجموعة الرئيسية . سنلخص الأن بعض المفاهيم الأكثر الأهمية لنظرية المجموعات . | |||
<math> A</math> مجموعة ثانوية من <math> B</math> بواسطة <math> \ A\subset B.</math>. لهذا اذا وقع الحادث <math> A</math> , سيقع أيضا <math> B</math>. | |||
سطر ١٤: | سطر ٨: | ||
<math> A</math>و <math> B</math> حوادث متكافئة اذا وفقط اذا (تختصر `iff`)<math> \ A\subset B</math> و <math> B\subset A</math>. | |||
اذا | اذا<math> \ A\subset B</math> , عندئذ نعرف متمم <math> A</math> بواسطة <math> \ \overline{A}</math> لتكون مجموعة النقاط في <math> B</math> والتي لا تكون في <math> A</math>. | ||
سطر ٢٤: | سطر ١٨: | ||
تدعى مجموعة النقاط التي تنتمي اما للمجموعة | تدعى مجموعة النقاط التي تنتمي اما للمجموعة <math> A</math> أو المجموعة <math> B</math> باجتماع المجموعتين <math> A</math> و <math> B</math>. ويعرف بواسطة <math> A\cup B</math>. لهذا اذا وقع الحادث <math> A\,or\,B</math> , عندئذ تؤخذ النتيجة الأساسية في المجموعة <math> A\cup B</math>. | ||
<math> n</math> مجموعة وحينئذ للحوادث <math> n</math> <math> A_{1},A_{2} | |||
,\ldots,A_{n}</math> : في هذه الحالة لدينا | |||
<math> A_{1}\cup A_{2}\cup\ldots\cup | |||
A_{n}=\cup_{i=1}^{n}A_{i}</math> | |||
مثال : رمي حجر نرد مرة واحدة | مثال : رمي حجر نرد مرة واحدة | ||
نعرف | نعرف <math> A=\{1,2\}</math> و <math> B=\{2,4,6\}</math> | ||
عندئذ | عندئذ <math> A\cup B=\{1,2,4,6\}</math> | ||
النتائج العامة : | النتائج العامة : | ||
<math> A\cup A=A</math> | |||
<math> A\cup S=S</math> حيث <math> S</math> فضاء العينة . | |||
<math> A\cup\emptyset=A</math> حيث <math> \emptyset</math> المجوعة الخالية أو المجموعة بدون عناصر . | |||
<math> A\cup\overline{A}=S</math> | |||
سطر ٥٨: | سطر ٥١: | ||
تعرف مجموعة النقاط المشتركة للمجموعات | تعرف مجموعة النقاط المشتركة للمجموعات <math> A</math> و <math> B</math> بتقاطع <math> A</math> و <math> B</math>,<math> A\cap B</math> . لهذا اذا وقع الحادث <math> A\,and\,B</math> , عندئذ تأخذ النتيجة الأساسية في المجموعة <math> A\cap B</math> . | ||
سطر ٦٥: | سطر ٥٨: | ||
يمكن امتداد تقاطع المجموعات الى | يمكن امتداد تقاطع المجموعات الى <math> n</math> مجموعة وحينئذ للحوادث <math> n</math> <math> A_{1},A_{2} | ||
,\ldots,A_{n}</math> | |||
<math> A_{1}\cap A_{2}\cap\ldots\cap A_{n} | |||
=\cap_{i=1}^{n}A_{i}</math> | |||
سطر ٧٤: | سطر ٦٩: | ||
نعرف | نعرف <math> A=\{1,2\}</math> و <math> B=\{2,4,6\}</math> | ||
عندئذ | عندئذ <math> A\cap B=\{2\}</math> | ||
سطر ٨٤: | سطر ٧٩: | ||
<math> A\cap A=A</math> | |||
<math> A \cap S=A</math> | |||
<math> A\cap\emptyset=\emptyset</math> | |||
<math> A \cap\overline{A}=\emptyset</math> | |||
<math> \emptyset\cap S=\emptyset</math> | |||
سطر ١٠٠: | سطر ٩٥: | ||
الحوادث المنفصلة : | الحوادث المنفصلة : | ||
نقول عن المجموعتين أو الحوادث بأنها منفصلة (أو متعارضة) اذا كان تقاطعهم المجموعة الخالية: | نقول عن المجموعتين أو الحوادث بأنها منفصلة (أو متعارضة) اذا كان تقاطعهم المجموعة الخالية: <math> A\cap B=\emptyset</math>. أي الحوادث <math> A</math> و <math> B</math> لا تقع معا. | ||
سطر ١٠٧: | سطر ١٠٢: | ||
بالتعريف , | بالتعريف , <math> A</math> و <math> \ \overline{A}</math> متعارضة ولكن لا يقبل العكس , بمعنى ليس بالضرورة الحوادث المنفصلة متممات لبعضها البعض . | ||
مثال : رمي حجر نرد مرة واحدة | مثال : رمي حجر نرد مرة واحدة | ||
نعرف | نعرف <math> A=\{1,3,5\}</math> و <math> B=\{2,4,6\}</math> | ||
عندئذ | عندئذ <math> B=\overline{A}</math> و <math> A=\overline{B}</math> | ||
<math> \Rightarrow A\cap B=A \cap\overline{A}= \emptyset</math> | |||
التفسير : الحوادث (المجموعات ) | التفسير : الحوادث (المجموعات ) <math> A</math> و <math> B</math> حوادث منفصلة ومتممة . | ||
نعرف | نعرف <math> C=\{1,3\}</math> و <math> B=\{2,4\}</math> | ||
<math> \Rightarrow C\cap D=\emptyset</math> | |||
التفسير : الحوادث | التفسير : الحوادث <math> C</math> و <math> D</math> منفصلة لكنها ليست متممة | ||
سطر ١٣٥: | سطر ١٣٠: | ||
تعرف المجموعة أو الحادث | تعرف المجموعة أو الحادث <math> C</math> الفرق المنطقي للحوادث <math> A</math> و <math> B</math> اذا الحادث <math> A</math> يقع ولكن <math> B</math> لا يقع , بمعنى النتائج في <math> A</math> , لا تكون في <math> B</math> : | ||
<math> A\backslash B=C\equiv A\cap\overline{B}</math> | |||
<math> A=\{1,2,3\}</math> و <math> B=\{3,4\}</math> | |||
عندئذ | عندئذ | ||
<math> A\backslash B=C=\{1,2\}</math> و <math> B\backslash A=\{4\}</math> | |||
سطر ١٥٨: | سطر ١٤٨: | ||
تدعى مجموعة الحوادث | تدعى مجموعة الحوادث <math> A_{1},A_{2} | ||
,\ldots,A_{n}</math>, بالتحليل المنفصل الى <math> S</math> , اذا شملت الشروط التالية : | |||
<math> A_{i}\neq\emptyset\quad\left( i=1,2,\ldots,n\right) </math> | |||
<math> A_{i} \cap A_{k}=\emptyset\quad\left( i\neq k;i,k=1,2,\ldots,n\right) </math> | |||
<math> A_{1}\cup A_{2}\cup\ldots\cup A_{n}=S</math> | |||
سطر ١٧٤: | سطر ١٦٥: | ||
مثال : رمي حجر نرد | مثال : رمي حجر نرد | ||
فضاء العينة هو | فضاء العينة هو <math> S=\{1,2,3,4,5,6\}</math> | ||
نعرف: | نعرف: <math> A_{1}=\{1\},A_{2}=\{3,4\},A_{3}=\{1,3,4\},A_{4}=\{5,6\},A_{5} | ||
=\{2,5\},A_{6}=\{6\}</math> | |||
القضية : تحليل منفصل واحد معطى بواسطة | القضية : تحليل منفصل واحد معطى بواسطة <math> A_{1},A_{2} | ||
,A_{5},A_{6}</math> . | |||
البرهان : | البرهان : <math> A_{1}\cap A_{2}=\emptyset</math>,<math> A_{1}\cap A_{5}=\emptyset</math>,<math> A_{1}\cap | ||
A_{6}=\emptyset</math>,<math> A_{2}\cap A_{5}=\emptyset</math>,<math> A_{2}\cap A_{6}=\emptyset | |||
</math>,<math> A_{5}\cap A_{6}=\emptyset</math>,<math> A_{1}\cup A_{2}\cup A_{5}\cup A_{6}=S</math> | |||
<math> \overline{A \cap B}=\overline{A} \cup\overline{B} | |||
</math> | |||
<math> \overline{A \cup B}=\overline{A} \cap\overline{B}</math> | |||
الخاصة التجميعية | الخاصة التجميعية | ||
<math> \left( A \cap B \right) \cap C=A \cap\left( B | |||
\cap C \right) </math> | |||
<math> \left( A \cup B \right) \cup C=A \cup\left( B | |||
\cup C \right) </math> | |||
الخاصة التبادلية | الخاصة التبادلية | ||
<math> A\cap B=B\cap A</math> | |||
<math> A\cup B=B\cup A</math> | |||
الخاصة التوزيعية | الخاصة التوزيعية | ||
<math> A \cap\left( B \cup C \right) = \left( A \cap B | |||
\right) \cup\left( A \cap C \right) </math> | |||
<math> A \cup\left( B \cap C | |||
\right) = \left( A \cup B \right) \cap\left( A \cup C \right) </math> | |||
سطر ٢٣٠: | سطر ٢٢٥: | ||
|- | |- | ||
| اذا وقع | | اذا وقع <math> A</math>, عندئذ سيقع <math> B</math> أيضا | ||
| | |<math> B</math> مجموعة ثانوية من <math> A</math> | ||
| | |<math> \ A\subset B</math> | ||
|- | |- | ||
| | |<math> A</math> و <math> B</math> يقعان معا | ||
| | |<math> A</math>و<math> B</math> حوادث متكافئة | ||
| | |<math> A\equiv B</math> | ||
|- | |- | ||
| | |<math> A</math>و <math> B</math>لا يقعان معا | ||
| | |<math> A</math>و<math> B</math> حوادث منفصلة | ||
| | |<math> A\cap B=\emptyset</math> | ||
|- | |- | ||
| | |<math> A</math> يقع اذا وفقط اذا <math> B</math> لا يقع | ||
| | |<math> A</math> و <math> B</math> حوادث متممة | ||
| | |<math> B=\overline{A}</math> | ||
|- | |- | ||
| | |<math> A</math>يقع اذا وفقط اذا على الأقل واحد من <math> A_{i}</math> يقع | ||
| | |<math> A</math>هو اجتماع حوادث <math> A_{i}</math> | ||
| | |<math> A=\cup_{i}A_{i}</math> | ||
|- | |- | ||
| | |<math> A</math> يقع اذا وفقط اذا كل حوادث <math> A_{i}</math> تقع | ||
| | |<math> A</math> تقاطع حوادث <math> A_{i}</math> | ||
| | |<math> A=\cap_{i}A_{i}</math> | ||
|} | |} |
مراجعة ١٦:٤١، ٣١ يوليو ٢٠٢٠
. في تفسير الحوادث كمجموعات , نطبق نفس العمليات والعلاقات للحوادث , والتي تعرف من نظرية المجموعة الرئيسية . سنلخص الأن بعض المفاهيم الأكثر الأهمية لنظرية المجموعات .
مجموعة ثانوية من بواسطة . لهذا اذا وقع الحادث , سيقع أيضا .
و حوادث متكافئة اذا وفقط اذا (تختصر `iff`) و .
اذا , عندئذ نعرف متمم بواسطة لتكون مجموعة النقاط في والتي لا تكون في .
تدعى مجموعة النقاط التي تنتمي اما للمجموعة أو المجموعة باجتماع المجموعتين و . ويعرف بواسطة . لهذا اذا وقع الحادث , عندئذ تؤخذ النتيجة الأساسية في المجموعة .
مجموعة وحينئذ للحوادث : في هذه الحالة لدينا
مثال : رمي حجر نرد مرة واحدة
نعرف و
عندئذ
النتائج العامة :
حيث فضاء العينة .
حيث المجوعة الخالية أو المجموعة بدون عناصر .
تعرف مجموعة النقاط المشتركة للمجموعات و بتقاطع و , . لهذا اذا وقع الحادث , عندئذ تأخذ النتيجة الأساسية في المجموعة .
يمكن امتداد تقاطع المجموعات الى مجموعة وحينئذ للحوادث
مثال : رمي حجر نرد مرة واحدة
نعرف و
عندئذ
النتائج العامة:
الحوادث المنفصلة :
نقول عن المجموعتين أو الحوادث بأنها منفصلة (أو متعارضة) اذا كان تقاطعهم المجموعة الخالية: . أي الحوادث و لا تقع معا.
بالتعريف , و متعارضة ولكن لا يقبل العكس , بمعنى ليس بالضرورة الحوادث المنفصلة متممات لبعضها البعض .
مثال : رمي حجر نرد مرة واحدة
نعرف و
عندئذ و
التفسير : الحوادث (المجموعات ) و حوادث منفصلة ومتممة .
نعرف و
التفسير : الحوادث و منفصلة لكنها ليست متممة
الفرق المنطقي للمجموعات أو الحوادث
تعرف المجموعة أو الحادث الفرق المنطقي للحوادث و اذا الحادث يقع ولكن لا يقع , بمعنى النتائج في , لا تكون في :
و
عندئذ
و
تدعى مجموعة الحوادث , بالتحليل المنفصل الى , اذا شملت الشروط التالية :
يعتبر الشخص هذا التحليل هو تقسيم لفضاء العينة حيث تسقط كل النتائج الرئيسية لمجموعة واحدة أو حادث.
مثال : رمي حجر نرد
فضاء العينة هو
نعرف:
القضية : تحليل منفصل واحد معطى بواسطة .
البرهان : ,,,,,,
الخاصة التجميعية
الخاصة التبادلية
الخاصة التوزيعية
التعبير | التقني | الجبري |
اذا وقع , عندئذ سيقع أيضا | مجموعة ثانوية من | |
و يقعان معا | و حوادث متكافئة | |
و لا يقعان معا | و حوادث منفصلة | |
يقع اذا وفقط اذا لا يقع | و حوادث متممة | |
يقع اذا وفقط اذا على الأقل واحد من يقع | هو اجتماع حوادث | |
يقع اذا وفقط اذا كل حوادث تقع | تقاطع حوادث |
|