خواص التوزيعات الثنائية البعد

$j=1,\dots ,r)$ $\,p_{ij\,\,}\,=\,p(x_{i};y_{j}),(i=1,\dots ,m;$ تعطى بواسطة:

$Cov(X,Y)=\sum _{i=1}^{m}\sum _{j=1}^{r}(x_{i}-E(x))(y_{j}-E(y))\cdot p_{ij}$

اذا لدينا المشاهدات n لهذه المتغيرات مع التكرارات المطلقة $h(x_{i};y_{j})$ والتكرارات النسبية $f(x_{i};y_{j})\quad (i=1,\ldots ,m;\;j=1,\ldots ,r)$. نحسب التباين المشترك للعينة:

$={\frac {1}{n(n-1)}}\sum _{i=1}^{m}\sum _{j=1}^{r}(x_{i}-{\bar {x}})(y_{j}-{\bar {y}})\cdot h_{ij}$	$Cov(X,Y)=s_{xy}$
	$={\frac {1}{n-1}}\sum _{i=1}^{m}\sum _{j=1}^{r}(x_{i}-{\bar {x}})(y_{j}-{\bar {y}})\cdot f_{ij}$

بعكس التباين يأخذ التباين المشترك القيم السالبة.

خواص التباين المشترك

• اذا المتغيرين $X$ و $Y$ مستقلين عندئذ التباين المشترك يساوي للصفر.

• مساهمة القيم الفعلية $(x_{i};y_{j})$ للتباين المشترك موجب اذا الفرق $(x_{i}-{\bar {x}})$ و $(y_{j}-{\bar {y}})$ لهما نفس الاشارة.

ويكون سالب اذا الفرق $(x_{i}-{\bar {x}})$ و $(y_{j}-{\bar {y}})$ لهما اشارتين مختلفتين .

• التباين المشترك للمتغير مع نفسه يساوي لتباين هذا المتغير $s_{x}^{2}=s_{xx}=Cov(X,X)$

• التحويل الخطي $S=a+bX,\quad T=c+dY$

عندئذ: $Cov(S,T)=Cov(a+bX,c+dY)=b\cdot d\cdot Cov(X,Y)$

المتغيرات المستقلة

يعني الاستقلال بأن توزيع المتغير لا يعتمد على قيم المتغير الأخر. اذا المتغيرين $X$ و $Y$مستقلين  :

• كل التوزيعات الشرطية للمتغير $X$ متساوية مع بعضها البعض وللتوزيع الهامشي المطابق.

ذلك للتوزيع الشرطي للمتغير $X$:

$f(x_{i}|y_{j})=f(x_{i}|y_{k})=f(x_{i})$

لأجل: $j,k=1,\ldots ,r$ ولأجل: $i=1,\ldots ,m$

ونفس الشي للتوزيع الشرطي للمتغير $Y$:

$f(y_{j}|x_{i})=f(y_{j}|x_{h})=f(y_{j})$

لأجل $i,h=1,\ldots ,m$, لأجل $j=1,\ldots ,r$

• يساوي التوزيع المشترك لجداء التوزيعات الهامشية:

$f(x_{i}|y_{j})=f(x_{i})={\frac {f(x_{i},y_{j})}{f(y_{j})}}$

$\rightarrow f(x_{i},y_{j})=f(x_{i})\cdot f(y_{j})$

$f(y_{j}|x_{i})=f(y_{j})={\frac {f(x_{i},y_{j})}{f(x_{i})}}$

$\rightarrow f(x_{i},y_{j})=f(x_{i})\cdot f(y_{j})$

بشكل مشابه في حالة الاستقلال الاحتمالات المشتركة الحقيقية كعامل لجداء الاحتمالات الهامشية .

$j=1,\dots ,r)$ $\,p_{ij\,\,}\,=\,p(x_{i};y_{j})=p(x_{i})\cdot p(x_{j})=p_{i}\cdot p_{j},\,(i=1,\dots ,m;$