خواص التوزيعات الثنائية البعد

خواص التوزيعات الثنائية البعد,مثال لكيفية حساب التباين المشترك ,المعلومات الاضافية للتباين المشترك

10.5 خواص التوزيعات الثنائية البعد

لأجل التوزيع الهامشي والتوزيع الشرطي نستعمل قياسات النزعة المركزية والتشتت وبنفس الطريقة كما في التوزيعات الأحادية البعد.

التباين المشترك:

التباين المشترك هو الخاصة المحددة للتوزيعات الثنائية البعد والذي يقيس التباين المشترك للمتغيرين $X$ و $Y$ المقاسة على المقياس المستمر

التباين المشترك لزوج من المتغيرات العشوائية المنقطعة مع الاحتمالات الحقيقية

تعطى بواسطة:

اذا لدينا المشاهدات n لهذه المتغيرات مع التكرارات المطلقة $h(x_{i};y_{j})$ والتكرارات النسبية $f(x_{i};y_{j})\quad (i=1,\ldots ,m;\;j=1,\ldots ,r)$. نحسب التباين المشترك للعينة:

$={\frac {1}{n(n-1)}}\sum _{i=1}^{m}\sum _{j=1}^{r}(x_{i}-{\bar {x}})(y_{j}-{\bar {y}})\cdot h_{ij}$	$Cov(X,Y)=s_{xy}$
	$={\frac {1}{n-1}}\sum _{i=1}^{m}\sum _{j=1}^{r}(x_{i}-{\bar {x}})(y_{j}-{\bar {y}})\cdot f_{ij}$

بعكس التباين يأخذ التباين المشترك القيم السالبة.

خواص التباين المشترك

• اذا المتغيرين $X$ و $Y$ مستقلين عندئذ التباين المشترك يساوي للصفر.

• مساهمة القيم الفعلية $(x_{i};y_{j})$ للتباين المشترك موجب اذا الفرق $(x_{i}-{\bar {x}})$ و $(y_{j}-{\bar {y}})$ لهما نفس الاشارة.

ويكون سالب اذا الفرق $(x_{i}-{\bar {x}})$ و $(y_{j}-{\bar {y}})$ لهما اشارتين مختلفتين .

• التباين المشترك للمتغير مع نفسه يساوي لتباين هذا المتغير $s_{x}^{2}=s_{xx}=Cov(X,X)$

• التحويل الخطي $S=a+bX,\quad T=c+dY$

عندئذ: $Cov(S,T)=Cov(a+bX,c+dY)=b\cdot d\cdot Cov(X,Y)$

المتغيرات المستقلة

يعني الاستقلال بأن توزيع المتغير لا يعتمد على قيم المتغير الأخر. اذا المتغيرين $X$ و $Y$مستقلين  :

• كل التوزيعات الشرطية للمتغير $X$ متساوية مع بعضها البعض وللتوزيع الهامشي المطابق.

ذلك للتوزيع الشرطي للمتغير $X$:

$f(x_{i}|y_{j})=f(x_{i}|y_{k})=f(x_{i})$

لأجل: $j,k=1,\ldots ,r$ ولأجل: $i=1,\ldots ,m$

ونفس الشي للتوزيع الشرطي للمتغير $Y$:

$f(y_{j}|x_{i})=f(y_{j}|x_{h})=f(y_{j})$

لأجل $i,h=1,\ldots ,m$, لأجل $j=1,\ldots ,r$

• يساوي التوزيع المشترك لجداء التوزيعات الهامشية:

$f(x_{i}|y_{j})=f(x_{i})={\frac {f(x_{i},y_{j})}{f(y_{j})}}$

$\rightarrow f(x_{i},y_{j})=f(x_{i})\cdot f(y_{j})$

$f(y_{j}|x_{i})=f(y_{j})={\frac {f(x_{i},y_{j})}{f(x_{i})}}$

$\rightarrow f(x_{i},y_{j})=f(x_{i})\cdot f(y_{j})$

بشكل مشابه في حالة الاستقلال الاحتمالات المشتركة الحقيقية كعامل لجداء الاحتمالات الهامشية .