خواص أعداد اولر(الأعداد التوافقية )

$\left({\begin{array}{c}n\\k\end{array}}\right)$ في النظرية التوافقية في أغلب الأحيان . لذا من المفيد الحصول على الخواص الهامة المتعددة لهذه الأعداد التوافقية.

$\left({\begin{array}{c}n\\k\end{array}}\right)=\left({\begin{array}{c}n\\n-k\end{array}}\right)$

برهان التناظر

${\frac {n\,!}{k\,!(n-k)\,!}}={\frac {n\,!}{(n-k)\,!(n-(n-k))\,!}}$

${\frac {n\,!}{0\,!(n-0)\,!}}=1$ $=$ $\left({\begin{array}{c}n\\0\end{array}}\right)$

${\frac {n\,!}{1\,!(n-1)\,!}}=n$ $=$ $\left({\begin{array}{c}n\\1\end{array}}\right)$

$\left({\begin{array}{c}n\\n\end{array}}\right)=1$ $=$ $\left({\begin{array}{c}0\\0\end{array}}\right)$

$\ k>n\geq 0$ $0\$ $=$ $\left({\begin{array}{c}n\\k\end{array}}\right)$

خطأ رياضيات (خطأ في التحويل. أبلغ الخادوم («cli») عن: «SyntaxError: Expected "{Bmatrix}", "{Vmatrix}", "{alignat}", "{alignedat}", "{aligned}", "{align}", "{array}", "{bmatrix}", "{cases}", "{matrix}", "{pmatrix}", "{smallmatrix}", "{vmatrix}", [ \t\n\r], or [a-zA-Z] but "." found.in 1:82»): {\displaystyle \left( \begin{array}{c} n\\ k \end{array} \right) + \left( \begin... ...\end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} n + 1\\ k + 1 \end{array} \right)}

اشتقاق الخاصة

${\frac {(k+1)n\,!}{(k+1)k\,!(n-k)\,!}}+{\frac {(n-k)n\,!}{(k+1)\,!(n-(k+1))\,!(n-k)}}$ $=$ ${\frac {n\,!}{k\,!(n-k)\,!}}+{\frac {n\,!}{(k+1)\,!(n-(k+1))\,!}}$

${\frac {n\,!((k+1)+(n-k))}{(k+1)\,!(n-k)\,!}}$ $=$

${\frac {n\,!(n+1)}{((n+1)-(k+1))\,!(k+1)\,!}}$ $=$

${\frac {(n+1)\,!}{((n+1)-(k+1))\,!(k+1)\,!}}$ $=$

$\left({\begin{array}{c}n+1\\k+1\end{array}}\right)$ $=$

$(a+b)^{n}$ وفي العمود الأيمن التعابير المأخوذة بتوسيع العبارات الجبرية في العمود الأيسر .

$(a+b)^{6}=a^{6}+6a^{5}b+15a^{4}b^{2}+20a^{3}b^{3}+15a^{2}b^{4}+6ab^{5}+b^{6}$

نظرية ذي الحدين

تزود نظرية ذي الحدين الارتباط المذكور بين أعداد اولر و الأعداد التوافقية .

خطأ رياضيات (خطأ في التحويل. أبلغ الخادوم («cli») عن: «SyntaxError: Expected [a-zA-Z] but ")" found.in 2:14»): {\displaystyle (a+b)^n = \left( \begin{array}{c} n\\ 0 \end{array} \right) a^n +... ...ay} \right) ab^{n-1} + \left( \begin{array}{c} n\\ n \end{array} \right) b^n = }

$=\sum _{k=0}^{n}\left({\begin{array}{c}n\\k\end{array}}\right)a^{n-k}b^{k}$