توزيع تباين العينة

$MSD$ و $s^{2}.$ حيث عادة $E(X)=\mu \,$ غير معلوم ويقدر بواسطة $s^{2}={\frac {1}{n-1}}\sum \limits _{i=1}^{n}(x_{i}-{\bar {x}})^{2}$

بطريقة أخرى يمكن حساب تباين العينة أيضا كالتالي :

$MSD={\frac {1}{n}}\sum \limits _{i=1}^{n}(x_{i}-{\bar {x}})^{2}$

اشتقاق توزيع تباين العينة $s^{2}$ سيعطى في حالة المجتمع الموزع بشكل طبيعي بمعنى: $X\sim N(\mu .\sigma ^{2})$

تحت هذه الفروض المتغيرات العشوائية: $X_{i},i=1,\dots ,n$ موزعة طبيعيا بشكل مستقل ومتماثل مع: $E(X_{i})=\mu$ و $Var(X_{i})=\sigma ^{2}$

$X_{i}\sim N(\mu ,\sigma )\ \,\,\,i=1,\dots ,n$

متوسط العينة ${\bar {X}}$ له توزيع طبيعي أيضا مع: $E({\bar {x}})=\mu$ و $Var({\bar {x}})=\sigma ^{2}({\bar {x}})=\sigma ^{2}/n$ .

${\bar {x}}\sim N(\mu ,\sigma )\,.$

توزيع تباين العينة $s^{2}$  :

نعتبر المتغير العشوائي:

$\sum \limits _{i=1}^{n}\left({\frac {X_{i}-\mu }{\sigma }}\right)^{2}.$

وهو مجموع مربعات المتغيرات الطبيعية المعيارية المستقلة $n\,$ وله توزيع كاي مربع مع درجة الحرية $n\,$ بمعنى $\chi _{n}^{2}.$ نعتبر الأن:

${\frac {(n-1)s^{2}}{\sigma ^{2}}}={\frac {1}{\sigma ^{2}}}\sum \limits _{i=......x})^{2}=\sum \limits _{i=1}^{n}\left({\frac {X_{i}-{\bar {x}}}{\sigma }}\right)^{2}.$

ونلاحظ التشابه باستعمال ${\bar {x}}$ كتقدير الى $\mu$

سيظهر لدينا مجموع المربعات للمتغيرات الطبيعية المعيارية المستقلة $n-1$. وفي

حالة $(n-1)s^{2}/\sigma ^{2}$ لها توزيع كاي مربع مع درجات الحرية $n-1$

توزيع $s^{2}$ هو $(n-1)s^{2}/\sigma ^{2}.$ لهذا ينبغي عمل البيانات الاحتمالية حول $s^{2}$

باستعمال خواص توزيع كاي مربع القيمة المتوقعة والتباين الى $s^{2}$ هي :

$E(s^{2})=\sigma ^{2},\qquad Var(s^{2})=2\sigma ^{4}/(n-1)$

البيانات الاحتمالية حول $s^{2}$  :

اذا كان التباين المعلوم $\sigma ^{2}$ والمجتمع الموزع بشكل طبيعي يستطيع المرء حساب احتمال تباين العينة $s^{2}$ ستأخذ القيم في المجال المركزي مع الاحتمال المعين $1-\alpha .$.

$P\left(v_{1}\leq {\frac {(n-1)s^{2}}{\sigma ^{2}}}\leq v_{2}\right)=1-\alpha$

لذلك اذا أردنا وضع الاحتمال المتساوي نفرض ما يلي :

خطأ رياضيات (خطأ في التحويل. أبلغ الخادوم («cli») عن: «SyntaxError: Expected "-", "[", "\\", "\\begin", "\\begin{", "]", "^", "_", "{", [ \t\n\r], [%$], [().], [,:;?!'], [/|], [0-9], [><~], [\-+*=], or [a-zA-Z] but "&" found.in 1:54»): {\displaystyle P\left( \frac{(n-1)s^{2}}{\sigma^{2}}&lt;v_{1}\right) =\frac{\alpha}{2}\,;\quad P\left( \frac{(n-1)s^{2}}{\sigma^{2}}&gt;v_{2}\right) =\frac{\alpha}{2}}

مع درجة الحرية $n-1$ نحصل على حدود المجال من جداول توزيع كاي مربع:

$v_{1}=\chi _{{\frac {\alpha }{2}};n-1}^{2}\,;\quad v_{2}=\chi _{1-{\frac {\alpha }{2}};n-1}^{2}$

لهذا:

$P\left(\chi _{{\frac {\alpha }{2}};n-1}^{2}\leq {\frac {(n-1)s^{2}}{\sigma ^{2}}}\leq \chi _{1-{\frac {\alpha }{2}};n-1}^{2}\right)=1-\alpha$

تنتج لدينا العلاقة الاحتمالية :

خطأ رياضيات (خطأ في التحويل. أبلغ الخادوم («cli») عن: «SyntaxError: Expected "-", "[", "\\", "\\begin", "\\begin{", "]", "^", "_", "{", [ \t\n\r], [%$], [().], [,:;?!'], [/|], [0-9], [><~], [\-+*=], or [a-zA-Z] but "}" found.in 2:5»): {\displaystyle P\left( \frac{\sigma^{2}\chi_{\frac{\alpha}{2};n-1}^{2}}{n-1}\leq... ...2}\leq\frac{\sigma^{2}\chi_{1-\frac{\alpha}{2};n-1}^{2}}{n-1}\right) =1-\alpha }