المعلومات 2

$E(X)=\sum _{i}\sum _{j}x_{i}\cdot f(x_{i},y_{j})=\sum _{i}x_{i}\sum _{j}f(x_{i},y_{j})=\sum _{i}x_{i}f(x_{i})$

$E(Y)=\sum _{j}\sum _{i}y_{j}\cdot f(x_{i},y_{j})=\sum _{j}y_{j}\sum _{i}f(x_{i},y_{j})=\sum _{j}y_{j}\cdot f(y_{j})$

$Var(X)=E[(X-E(X))]^{2}=\sum _{i}\sum _{j}[x_{i}-E(X)]^{2}f(x_{i},y_{j})=\sum _{i}[x_{i}-E(X)]^{2}\sum _{j}f(x_{i},y_{j})=$

$=\sum _{i}[x_{i}-E(X)]^{2}f(x_{i})=\sum _{i}x_{i}^{2}f(x_{i})-[E(X)]^{2}$

$Var(Y)=E[(Y-E(Y))]^{2}=\sum _{j}\sum _{i}[y_{j}-E(Y)]^{2}f(x_{i},y_{j})=\sum _{j}[y_{j}-E(Y)]^{2}\sum _{i}f(x_{i},y_{j})=$

$=\sum _{j}[y_{j}-E(Y)]^{2}f(y_{j})=\sum _{j}y_{j}^{2}f(y_{j})-[E(Y)]^{2}$

b-لأجل متغيرين عشوائيين مستمرين

خطأ رياضيات (خطأ في التحويل. أبلغ الخادوم («cli») عن: «SyntaxError: Expected [a-zA-Z] but "]" found.in 3:7»): {\displaystyle E(X) = \int_{-\infty}^{+\infty} \int_{-\infty}^{+\infty} x f(x,y)... ...^{+\infty} f(x,y \, dy \right] \, dx = \int_{-\infty}^{+\infty} x f(x) \, dx }

خطأ رياضيات (خطأ في التحويل. أبلغ الخادوم («cli») عن: «SyntaxError: Expected [a-zA-Z] but "]" found.in 3:7»): {\displaystyle E(Y) = \int_{-\infty}^{+\infty} \int_{-\infty}^{+\infty} y f(x,y)... ...{+\infty} f(x,y) \, dx \right] \, dy = \int_{-\infty}^{+\infty} y f(y) \, dy }

$Var(X)=\int _{-\infty }^{+\infty }[x-E(X)]^{2}\cdot f(x)\,dx=\int _{-\infty }^{+\infty }x^{2}f(x)\,dx-[E(X)]^{2}$

$Var(Y)=\int _{-\infty }^{+\infty }[y-E(Y)]^{2}\cdot f(y)\,dy=\int _{-\infty }^{+\infty }y^{2}f(y)\,dy-[E(Y)]^{2}$

القيم المتوقعة و التباينات للتوزيعات الشرطية

a-لأجل المتغيرات العشوائية المنقطعة

$E(X\vert y_{j})=\sum _{i}x_{i}f(x_{i}\vert y_{j}\,,\qquad E(Y\vert x_{i})=\sum _{j}y_{j}f(y_{j}\vert x_{i})$

$Var(X\vert y_{j})=\sum _{i}[x_{i}-E(X\vert y_{j})]^{2}f(x_{i}\vert y_{j})=\sum _{i}x_{i}^{2}f(x_{i}\vert y_{j})-[E(X\vert y_{j})]^{2}$

$Var(Y\vert x_{i})=\sum _{j}[y_{j}-E(y\vert x_{i})]^{2}f(y_{j}\vert x_{i})=\sum _{j}y_{j}^{2}f(y_{j}\vert x_{i})-[E(Y\vert x_{i})]^{2}$

لأجل المتغيرات العشوائية المستمرة

$E(X\vert y)=\int _{-\infty }^{+\infty }xf(x\vert y)\,dx\,,\qquad E(Y\vert x)=\int _{-\infty }^{+\infty }yf(y\vert x)\,dx$

$Var(X\vert y)=\int _{-\infty }^{+\infty }[x-E(X\vert y)]^{2}\cdot f(x\vert y)\,dx$

$Var(Y\vert x)=\int _{-\infty }^{+\infty }[y-E(Y\vert x)]^{2}\cdot f(y\vert x)\,dy$

التباين المشترك  :

حساب التباين المشترك $X$ و $Y$:

a-$X$ و $Y$ منقطعة :

$\sum _{i}\sum _{j}[x_{i}-E(X)][y_{j}-E(Y)]f(x_{i},y_{j})$ $=$ $Cov(X,Y)$

$\sum _{i}\sum _{j}x_{i}y_{j}f(x_{i},y_{j})-E(X)E(Y)$ $=$

b- $X$ و $Y$ مستمرة:

$\int _{-\infty }^{+\infty }\int _{-\infty }^{+\infty }[x-E(X)][y-E(Y)]f(x,y)\,dx\,dy$ $=$ $Cov(X,Y)$

$\int _{-\infty }^{+\infty }\int _{-\infty }^{+\infty }xyf(x,y)\,dx\,dy-E(X)E(Y)$ $=$

يشير تعريف التباين المشترك ضمنا بأن التباين المشترك لمتغير عشوائي مع نفسه مساوي للتباين:

$Cov(X,X)=E[(X-E(X))(X-E(X))]=E[(X-E(X))^{2}]\,.$

من تعريف التباين المشترك

$Cov(X,Y)=E[(X-E(X))(Y-E(Y))]=E(XY)-E(X)E(Y)$

نحصل:

$E(XY)=E(X)E(Y)+Cov(X,Y)\,\$

اذا $X\$ و $Y\$ مرتبطين ${\displaystyle }$ .

$E(XY)=E(X)E(Y)\,\$

اذا $X\$ و $Y\$ مستقلين ${\displaystyle }$

اضافة لذلك :

$Var(XY)=E\{[XY-E(XY)]^{2}\}=E\{(XY)^{2}-2XYE(XY)+E(XY)E(XY)\}=$

$=E[(XY)^{2}]-2E(XY)E(XY)+E(XY)E(XY)$

$\Longrightarrow$

$Var(XY)=E[(XY)^{2}]-[E(XY)]^{2}\$

اذا $X\$ و $Y\$ مرتبطين${\displaystyle }$

$Var(XY)=E(X^{2})E(Y^{2})-[E(X)E(Y)]^{2}\$

اذا $X\$ و $Y\$ مستقلين ${\displaystyle }$