المعلومات للتوزيع الطبيعي

$\infty$ - و $\infty$ -

يشار أحيانا للتوزيع الطبيعي بتوزيع غواسيان. تدعى أحيانا كثافة التوزيع الطبيعي بمنحنى بيل .

تشير الصيغ للكثافة (أو تابع التوزيع) بأن التوزيع الطبيعي سيعتمد على العناصر $\mu$ و $\sigma$

بتغير هذه العناصر نحصل على العديد من التوزيعات.

يظهر الشكل التالي الكثافات الطبيعية الخمسة مع العناصر المختلفة $\mu$ و $\sigma$:

يحدد العنصر $\mu$ موضع التوزيع. اذا غيرنا العنصر $\mu$ سيميل مركز التوزيع لكن يبقى شكله دون تغير.

بزيادة أو نقصان العنصر $\sigma$ الكثافة "الانتشارات "أو "المركز".

تنتج القيم الكبيرة من $\sigma$ كثافات احتمالية أكثر تسطحا و اتساعا. تنتج القيم الصغيرة من $\sigma$ توزيعات أضيق و أضيق.

الخواص الأخرى للتوزيع الطبيعي :

الكثافة لها قيمة عظمى (المنوال) عند النقطة $x=\mu$

الكثافة متناظرة حول النقطة $x=\mu$. يشير التناظر بأن الوسيط هو $x_{0.5}=\mu$

الكثافة لها نقاط تغير عند$x_{1}=\mu -\sigma$ و $x_{2}=\mu +\sigma$

الكثافة مساوية الى 0 لما $x\rightarrow -\infty$ أو $x\rightarrow \infty$

يحتوي الرسم الشكل البياني لتوزيع $N(2;1)$ التوزيع الطبيعي المعياري : تنظيم الجدول لتابع التوزيع للتوزيع الطبيعي لكل القيم من $\mu$ و $\sigma$غير ممكن. منذ تحويل المتغير العشوائي الطبيعي للحصول على متغير عشوائي طبيعي أخر , نحتاج فقط لتنظيم جدول لتوزيع واحد. عل أية حال الاختيار الواضح التوزيع الطبيعي مع القيمة المتوقعة $E(X)=\mu =0$ والانحراف المعياري $\sigma =1$ يدعى هذا التوزيع بالتوزيع الطبيعي المعياري ويرمز له: $N(0,1)$ تشار المتغيرات العشوائية المطابقة عادة بالحرف $Z$ . المتغير العشوائي $Z$ هو المتغير العشوائي $X$ مطروح من متوسطه ومقسم على انحرافه المعياري. حينئذ: $E(Z)=0$ و $Var(Z)=1$ اذا $X$ موزع طبيعيا عندئذ $Z$ له التوزيع الطبيعي المعياري. التوزيع الطبيعي المعياري مهم لأن كل متغير عشوائي $X$ مع التوزيع الطبيعي سيحول خطيا لمتغير عشوائي $Z$ مع التوزيع الطبيعي المعياري. في أغلب الجداول لتوابع التوزيع والكثافة الاحتمالية للتوزيع الطبيعي المعياري تستطيع ايجاد قيم موجبة فقط الى $Z$. جداول التوزيع الطبيعي المعياري للقيم السالبة الى $Z$ غير ضرورية لأن التوزيع الطبيعي هو توزيع متناظر. $\Phi (-z)=P(Z\leq -z)=1-P(Z\leq z)=1-\Phi (z)$