المعلومات الاضافية 1

$A$ و ${\bar {A}}$

احتمالات هذه الحوادث $P(A)=p$ و $P({\bar {A}})=1-p$

نكرر التجربة n مرة , التكرارات مستقلة و الاحتمالات ثابتة

يدعى كل عنصر من هذه التجربة بتجربة بيرنولي .

لكل تجربة بيرنولي , نعرف المتغير العشوائي $X_{i}(i=1,\dots ,n)$ يأخذ القيم 0 ( نحصل على الحادث ${\bar {A}}$ ) و 1 ( نحصل على الحادث $A$ ) .

احتمالات الحوادث في هذه التجربة: P(A) = p و (${\bar {A}}$ =1-P) P , و المتغير العشوائي $X_{i}$ له تابع الاحتمال التالي (بمعنى توزيع بيرنولي):

خطأ رياضيات (خطأ في التحويل. أبلغ الخادوم («cli») عن: «SyntaxError: Illegal TeX function Found \tin 4:25»): {\displaystyle f(x;p)=\left\{ \begin{array}{ll} p^{x}(1-p)^{1-x}\quad & \t... ...or}x=0,1 \\ 0\quad & \text{\rm otherwise} \end{array}\right. }

$E(X_{i})=p,Var(X_{i})=p(1-p)$

بعد تكرار تجربة بيرنولي n مرة , نحصل على عدد ظهورات الحادث A , بمعنى نلاحظ المتغير العشوائي: $\}$ عدد ظهورات الحادث A في n محاولة $X=\{$

$X=\sum \limits _{i=1}^{n}X_{i}$

X هو تابع من المتغيرات العشوائية (التركيب الخطي).

الحادث X=x يظهر اذا وفقط اذا الحادث A يشاهد x مرة والحادث ${\bar {A}}$ يشاهد (n-x) مرة في n محاولة.

مثال:

$A_{1}\cap A_{2}\cap \dots \cap A_{x}\cap {\bar {A}}_{x+1}\cap {\bar {A}}_{x+2}\cap \dots \cap {\bar {A}}_{n}$

$\vert \quad x-timesA\quad \vert \quad (n-x)-times{\bar {A}}\quad \vert$

يبين مؤشر الحادث عدد المحاولات .

تعني استقلال تجارب بيرنولي بأن الاحتمال X=x هو :

$=P(X=x)=P(A_{1}\cap A_{2}\cap \dots \cap A_{x}\cap {\bar {A}}_{x+1}\cap {\bar {A}}_{x+2}\cap \dots \cap {\bar {A}}_{n})$ $f(x)$

$P(A_{1})\cdot P(A_{2})\cdot \dots \cdot P(A_{x})\cdot P({\bar {A}}_{x}+1)\cdot P({\bar {A}}_{x}+2)\cdot \dots \cdot P({\bar {A}}_{n})$

$=p\cdot p\cdot \dots \cdot p\cdot (1-p)\cdot (1-p)\cdot \dots \cdot (1-p)$

$=p^{x}\cdot (1-p)^{n-x}$

حساب الاحتمال فقط لأجل الترتيب المحدد للحادث A, الاحتمال لهذا الترتيب المحدد هو :

$f(x)=p^{x}\cdot (1-p)^{n-x}$

يشار لعدد التراتيب المختلفة لهذه الحوادث كمعامل ثنائي الحد ويحسب كالتالي :

$\left({\begin{array}{c}n\\x\end{array}}\right)={\frac {n!}{x!(n-x)!}}$

نلاحظ بأن التراتيب المختلفة هي حوادث منفصلة , لذلك نحصل على التابع الاحتمالي التالي :

$P(X=x)=f(x)=\left({\begin{array}{c}n\\x\end{array}}\right)\cdot p^{x}\cdot (1-p)^{n-x}$

التوزيع الثنائي منقطع , سيعرض تابع الاحتمال كمدرج تكراري وتابع التوزيع كتابع خطوة.

تصور الأشكال البيانية التالية تابع الكثافة للقيم المتنوعة من p و n ثابتة .

لأجل $p<0.5$ , يميل التوزيع لليسار . الميل أكبر للقيم الصغيرة من p.

التوزيع متناظر لأجل p - 0.5 يكون مركز التوزيع. للقيم الكبيرة من n , نقرب تابع الكثافة

باستعمال التوزيع الطبيعي مع العناصر $\mu =np$ و $\sigma ^{2}=np(1-p)$.

تتحسن فعالية التقريب لتكون 0.5, يتبع التقريب نظرية الحد المركزية.