المعلومات الاضافية 1

المعلومات الاضافية 1

اشتقاق التوزيع الثنائي

توصف التجربة العشوائية بالخواص التالية :

حادثين فقط و

احتمالات هذه الحوادث و

نكرر التجربة n مرة , التكرارات مستقلة و الاحتمالات ثابتة

يدعى كل عنصر من هذه التجربة بتجربة بيرنولي .

لكل تجربة بيرنولي , نعرف المتغير العشوائي يأخذ القيم 0 ( نحصل على الحادث ) و 1 ( نحصل على الحادث ) .

احتمالات الحوادث في هذه التجربة: P(A) = p و ( =1-P) P , و المتغير العشوائي له تابع الاحتمال التالي (بمعنى توزيع بيرنولي):

بعد تكرار تجربة بيرنولي n مرة , نحصل على عدد ظهورات الحادث A , بمعنى نلاحظ المتغير العشوائي: عدد ظهورات الحادث A في n محاولة

X هو تابع من المتغيرات العشوائية (التركيب الخطي).

الحادث X=x يظهر اذا وفقط اذا الحادث A يشاهد x مرة والحادث يشاهد (n-x) مرة في n محاولة.

مثال:

يبين مؤشر الحادث عدد المحاولات .

تعني استقلال تجارب بيرنولي بأن الاحتمال X=x هو :

حساب الاحتمال فقط لأجل الترتيب المحدد للحادث A, الاحتمال لهذا الترتيب المحدد هو :

يشار لعدد التراتيب المختلفة لهذه الحوادث كمعامل ثنائي الحد ويحسب كالتالي :

نلاحظ بأن التراتيب المختلفة هي حوادث منفصلة , لذلك نحصل على التابع الاحتمالي التالي :

التوزيع الثنائي منقطع , سيعرض تابع الاحتمال كمدرج تكراري وتابع التوزيع كتابع خطوة.

تصور الأشكال البيانية التالية تابع الكثافة للقيم المتنوعة من p و n ثابتة .

لأجل , يميل التوزيع لليسار . الميل أكبر للقيم الصغيرة من p.

التوزيع متناظر لأجل p - 0.5 يكون مركز التوزيع. للقيم الكبيرة من n , نقرب تابع الكثافة

باستعمال التوزيع الطبيعي مع العناصر و .

تتحسن فعالية التقريب لتكون 0.5, يتبع التقريب نظرية الحد المركزية.