المعلومات الاضافية لخصائص المقدرات

$MSD={\frac {1}{n}}\sum \limits _{i=1}^{n}(X_{i}-{\bar {x}})^{2}\,,$

متحيز حيث

خطأ رياضيات (خطأ في التحويل. أبلغ الخادوم («cli») عن: «SyntaxError: Expected [a-zA-Z] but "]" found.in 2:53»): {\displaystyle E(MSD)=E\left[ \frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^{n}(X_{i}-\bar{x})^{2... ...t[ \sum\limits_{i=1}^{n}(X_{i}-\bar{x})^{2}\right] =\frac{n-1}{n}\sigma^{2}\,, }

شاهد قسم $E(MSD)-\sigma ^{2}={\frac {n-1}{n}}\sigma ^{2}-\sigma ^{2}=-{\frac {\sigma ^{2}}{n}}\,.$

سيميل الشخص لانقاص التباين المجهول يقرب المقدر $MSD$ على أية حال لعدم التحيز مع زيادة حجم العينة $n$.

الفعالية:

• متوسط العينة ${\bar {x}}$ هو تقدير فعال لتوقع المجتمع المجهول $\mu$ وهذا صحيح لأي توزيع.

• نفترض البيانات المسحوبة من توزيع $N(\mu ;\sigma ^{2})$, متوسط العينة ${\bar {x}}$ هو تقدير فعال الى $\mu$ يمكن اظهار وجود مقدر متحيز الى $\mu$ وله التباين الأصغري.

• متوسط العينة ${\bar {x}}$ هو تقدير فعال للعنصر المجهول $\lambda$ لتوزيع بواسون .

• نسبة العينة ${\widehat {\pi }}$ هي تقدير فعال لنسبة المجتمع المجهول $\pi$ لأجل المجتمعات ثنائية التصنيف بمعنى المتغيرات العشوائية لها توزيع بيرنولي العام.

• المجتمع الموزع طبيعيا متوسط العينة ${\bar {x}}$ ووسيط العينة ${\bar {x_{z}}}$ هي مقدرات غير متحيزة للتوقع المجهول $\mu$, للعينات العشوائية (مع الاعادة) لدينا

${\sigma ^{2}({\bar {x}})={\frac {\sigma ^{2}}{n}}}$

علاوة على ذلك يمكن اظهار أن

$\sigma ^{2}({\bar {x_{z}}})={\frac {\pi }{2}}{\frac {\sigma ^{2}}{n}}=1,571\;\sigma ^{2}({\bar {x}})$

وحينئذ

$\sigma ^{2}({\bar {x}})<\sigma ^{2}({\bar {x_{z}}})$

متوسط العينة ${\bar {x}}$ فعال بشكل نسبي عكس وسيط العينة ${\bar {x_{z}}}$.

التقارب:

• يعتبر التقارب عادة الحد الأدنى للمقدر بالطبع لا يمنع التقارب المقدر ليكون له تحيز كبير

والتباين في أحجام عينات صغيرة أو متوسطة الحجم يضمن التقارب فقط أن التحيز والتباين يذهب للصفر

لأجل العينات الكبيرة بشكل كافي.

• للعينات العشوائية متوسط العينة ${\bar {x}}_{n}$ تقدير متقارب لتوقع المجتمع $\mu$

حيث ${\bar {X}}_{n}$ والتباين $Var({\bar {x}}_{n})=\sigma ^{2}/n$ يقترب للصفر بمعنى :

$\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {\sigma ^{2}}{n}}=0$

• للعينات العشوائية نسبة العينة ${\widehat {\pi }}_{n}$ هي تقدير متقارب لنسبة المجتمع $\pi$ كمقدر غير متحيز والتباين يقترب للصفر $Var({\widehat {\pi }}_{n})=\pi (1-\pi )/n$ بمعنى

$\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {\pi (1-\pi )}{n}}=0$

• لأجل المجتمع الموزع بتوزيع غواسيان وسيط العينة ${\bar {x_{z}}}$ هو مقدر متقارب للعنصر المجهول $\mu$

• لأجل توزيع غواسيان: المقدر هو $s^{2}={\frac {1}{n-1}}\sum \limits _{i=1}^{n}(X_{i}-{\bar {X}})^{2}$

متقارب للتباين المجهول $\sigma ^{2}$ حيث المقدر غير متحيز والتباين يقترب للصفر $Var(s^{2})=2\sigma ^{4}/(n-1)$

$\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {2\sigma ^{4}}{n-1}}=0$

تباين العينة هو تقدير متقارب لتباين المجتمع لأجل التوزيعات التي لها متوسط محدد وتباين.